第二講線代數(shù)的運算ppt恢復

第二講線代數(shù)的運算ppt恢復第1頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例1.計算矩陣的特征值解：設(shè)為A的特征值，是對應于的特征向量此線性齊次方程組有非零解的充要條件是系數(shù)行列式的值為零，由第2頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三在MATLAB中計算矩陣X的特征值與特征向量的方法如下：[V,D]=EIG(X)producesadiagonalmatrixDofeigenvaluesandafullmatrixVwhosecolumnsarethecorrespondingeigenvectorssothatX*V=V*D.D是由矩陣X的特征值組成的對角矩陣，V的每一列是對應于特征值的特征向量.例2求矩陣的特征值與特征向量解：A=[4,6,0;-3,-5,0;-3,-6,1];[V,D]=eig(A)第3頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三V=00.5774-0.89440-0.57740.44721-0.57740D=1000-20001即對應的兩個特征向量為：而對應的一個特征向量為：對應的全部特征向量為：而對應的全部特征向量為：第4頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例3.求矩陣B，BB’的特征值、特征向量解：B=[3,0,0;0,2,0;1,1,1],[D1,V1]=eig(B),[D,V]=eig(B*B’),

D=-0.2953-0.3048-0.9054-0.49540.8592-0.12770.81690.4109-0.4048V=0.70240004.956400010.3412第5頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例4.將矩陣A的行向量與列向量標準化解：A=[1,2,3;4,5,6;7,8,0];B=normr(A)，C=normc(A)B=0.26730.53450.80180.45580.56980.68380.65850.75260C=0.12310.20740.44720.49240.51850.89440.86160.82960二.向量的標準化與矩陣的范數(shù)1.Matlab中將矩陣的行向量、列向量單位化的命令：normr(A)，normc(A)第6頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三2.矩陣的范數(shù)有以下幾種：(1)n=norm(A)矩陣A的普范數(shù)(2范數(shù)),

=A’A的最大特征值的算術(shù)根.(2)n=norm(A,1)矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）等于A的最大列之和.(3)n=norm(A,inf)矩陣A的行范數(shù)(無窮大范數(shù))

等于A的最大行之和.(4)n=norm(A,'fro')矩陣A的Frobenius范數(shù).記為：第7頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三

3.方陣的譜半徑：方陣A的特征值的絕對值之最大值稱為A的譜半徑記為：上述范數(shù)之間的關(guān)系：例5.求矩陣的譜半徑由例2知矩陣A的特征值分別為1，-2。第8頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例6.計算矩陣A的各種范數(shù)n1=norm(A,1),n2=norm(A),n3=norm(A,inf)，n4=norm(A,'fro')解：A=[1,2,3,4;2,3,4,1;3,4,1,2;4,1,2,9];n1=16，n2=12.4884，n3=16，n4=13.8564第9頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三三.求線性方程組AX=b的解1.若矩陣A可逆，則X=A\b例7.

解線性方程組解：A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4];b=[12;34;43];

det(A)=-29,矩陣A可逆，于是X=A\bans=0.275912.3793-5.1379檢驗：A*Xans=12.000034.000043.0000第10頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三2.求齊次線性方程組AX=0的非零解Matlab中Z=null(A,‘r’)就是求AX=0的基礎(chǔ)解系，其中Z的列向量即為所求基礎(chǔ)解系例8.求方程組的通解：formatrat %指定有理式格式輸出Z=null(A,‘r’) %求解空間的有理基

Z=25/3-2-4/31001解：A=[1,2,2,1;2,1,-2,-2;1,-1,-4,-3];故所求通解為：第11頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三化成行簡化階梯形求AX=b的解Matlab中的命令為：C=[A,b]%增廣矩陣C.D=rref(C)%將C化成行最簡化階梯形則D的最后一列元素就是所求的解.例9.求線性方程組AX=b的解其中A=[2,3,5;3,6,8;6,5,4]，b=[12;34;43].解：C=[A,b]；D=rref(C)；

D=1000.275901012.3793001-5.1379

第12頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三四.特殊矩陣及其應用E=eye(n):表示n維單位矩陣,E=eye(m,n):表示主對角元素為1,其余元素為零的矩陣.例如：eye(3)=2.A=ones(n,m)：表示元素全為1的n×m矩陣3.A=zeros(n,m)：產(chǎn)生n×m維零矩陣4.A=rand(n,m):產(chǎn)生n×m維隨機矩陣（元素在0～1之間）第13頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三例10.下表是全國5個主要湖泊的實測數(shù)據(jù)

指標湖泊總磷（mg/L）耗氧量(mg/L)透明度(m)總氮(mg/L)杭州西湖13010.300.352.76武漢東湖10510.700.402.0青海湖201.44.50.22巢湖306.260.251.67滇池2010.130.500.23試用矩陣A表示上表所示的矩陣，2.計算每個指標與該指標平均值之差的絕對值.第14頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三解：A=[130,10.3,0.35,2.76;105,10.7,0.4,2;20,1.4,4.5,0.22;30,6.26,0.25,1.67;20,10.13,0.5,0.23];mean(A)=[61.00007.75801.20001.3760]各指標的平均值為：生成一個5-by-4的矩陣B，各行都是mean(A):B=ones(5,1)*mean(A),然后得到所求矩陣C為：C=abs(A-B)=69.00002.54200.85001.384044.00002.94200.80000.624041.00006.35803.30001.156031.00001.49800.95000.294041.00002.37200.70001.1460為什么？怎樣生成?第15頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三生成一個5-by-4的矩陣B，各行都是mean(A)還有如下方法

：B=a(ones(5,1),:)，其中a=mean(A)練習：將各指標與該指標的最大值相減，然后再比上該指標的極差.提示：max(A):表示矩陣A中各列向量的最大值；min(A):表示矩陣A中各列向量的最大值；range(A)=max(A)-min(A):表示各列極差.第16頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三本次課學習的MATLAB命令一覽表命令功能[V,D]=EIG(X)求矩陣X的特征值與特征向量normr(A)將矩陣A的行向量單位化normc(A)將矩陣A的列向量單位化Z=null(A,‘r’)求AX=0的基礎(chǔ)解系(Z的列向量)rref(C)將C化成行最簡化階梯形矩陣norm(A)矩陣A的普范數(shù)(2范數(shù))norm(A,1)矩陣A的列范數(shù)（1-范數(shù)）norm(A,inf)矩陣A的行范數(shù)(無窮大范數(shù))norm(A,'fro')矩陣A的Frobenius范數(shù)ones(n,m)表示元素全為1的n×m矩陣zeros(n,m)產(chǎn)生n×m維零矩陣第17頁，共19頁，2023年，2月20日，星期三作業(yè)：命令功能max(A)計算矩陣A的各列元素的最大值min(A)計算矩陣A的各列元素的最小值range(A)計算矩陣A的各列元素的極差sum(A)計算矩陣A的各列元素的和abs(A)將矩陣A中各元素取絕對值eye(n)產(chǎn)生n階單位矩陣1.求矩陣A的特征值、特征向量、各種范數(shù)、譜半徑2.A中各行向量夾角余弦、及各種距離，判別那兩個最接近3.