2013屆高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)《第三十講數(shù)列求和》課件

2013屆高考數(shù)學(xué)考點回歸總復(fù)習(xí)?第三十講數(shù)列(shùliè)求和?課件第一頁，共46頁。回歸(huíguī)課本第二頁，共46頁。對于等差數(shù)列和等比數(shù)列,在求和(qiúhé)時可直接套用它們的前n項和公式:①等差數(shù)列前n項和公式:Sn=na1+②等比數(shù)列前n項和公式:Sn=第三頁，共46頁。另外,還有一些常見(chánɡjiàn)的求和公式:(1)1+2+3+…+n=(2)1+3+5+…+(2n-1)=n2,(3)12+22+32+…+n2=第四頁，共46頁。一個數(shù)列如果距首末兩項等距離的兩項和相等,那么求這個數(shù)列的前n項和可用倒序相加法.如等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo).如果當(dāng)數(shù)列的每一項可分解為兩個因式的乘積,各項的第一個因子成公差為d的等差數(shù)列,第二個因子成公比(ɡōnɡbǐ)為q的等比數(shù)列,可將此數(shù)列前n項的和乘以公比(ɡōnɡbǐ)q,然后錯項相減從而求出Sn.第五頁，共46頁。把不能直接求和的數(shù)列分解成幾個(jǐɡè)可以求和的數(shù)列,分別求和.第六頁，共46頁。把數(shù)列的每一項變?yōu)閮蓴?shù)之差,以便大局部項能“正〞?“負(fù)〞相消,只剩下有限的幾項.裂項時可直接從通項入手,并且要判斷(pànduàn)清楚消項后余下哪些項,常用的裂項公式為:第七頁，共46頁。有時候把兩項并成一項考慮(kǎolǜ),也可以實現(xiàn)我們的轉(zhuǎn)化目的.通常適用于數(shù)列中各項的符號是正負(fù)間隔的情況.第八頁，共46頁?？键c(kǎodiǎn)陪練第九頁，共46頁。答案(dáàn):A第十頁，共46頁。n=(n∈N*),記數(shù)列(shùliè){an}的前n項和為Sn,那么使Sn>0的n的最小值為()答案(dáàn):B第十一頁，共46頁。3.首項為2,公比為3的等比數(shù)列(děnɡbǐshùliè),從第n項到第N項的和為720,那么n,N的值分別為( )A.2,6 B.2,7C.3,6 D.3,7解析:由題意知SN-Sn-1=720,代入得解得n=3,N=6,應(yīng)選C.答案:C第十二頁，共46頁。答案(dáàn):B第十三頁，共46頁。5.(2010·黃岡中學(xué)(zhōngxué)月考題)化簡Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1的結(jié)果是( )n+1n+1-n+2nn+1-n-2第十四頁，共46頁。解析:將Sn兩邊(liǎngbiān)同時乘以2,可以得到:2Sn=2n+(n-1)×22+(n-2)×23+…+2×2n-1+2n,與Sn=n+(n-1)×2+(n-2)×22+…+2×2n-2+2n-1兩邊(liǎngbiān)同時相減可得到2Sn-Sn=-n+(2+22+23+…+2n-1)+2n=-n++2n,∴Sn=-n+2n-2+2n=2n+1-n-2.應(yīng)選D.答案:D第十五頁，共46頁。類型一 公式法求和解題準(zhǔn)備:如果數(shù)列是等差數(shù)列或等比數(shù)列等特殊(tèshū)數(shù)列時,直接應(yīng)用求和公式求解.第十六頁，共46頁。第十七頁，共46頁。[解]當(dāng)n為奇數(shù)時,奇數(shù)項組成(zǔchénɡ)以a1=1為首項,公差為12的等差數(shù)列,偶數(shù)項組成(zǔchénɡ)以a2=4為首項,公比為4的等比數(shù)列.第十八頁，共46頁。類型二 分組轉(zhuǎn)化法求和解題準(zhǔn)備:1.有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,但假設(shè)把數(shù)列的每一項分成多個項或把數(shù)列的項重新組合,就能轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列.從而可以利用等差、等比數(shù)列的求和公式解決(jiějué).這種求和方法叫分組轉(zhuǎn)化法.2.此類問題求解的關(guān)鍵是要分析研究數(shù)列的通項公式.第十九頁，共46頁。第二十頁，共46頁。第二十一頁，共46頁。[反思感悟]有一類數(shù)列,既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列.假設(shè)將這類數(shù)列適當(dāng)拆開,可分為幾個(jǐɡè)等差?等比或常見的數(shù)列,即能分別求和,然后再合并.第二十二頁，共46頁。類型三 裂項相消法求和解題準(zhǔn)備:1.裂項相消法是分解與組合思想在數(shù)列求和中的具體應(yīng)用,其實質(zhì)是將數(shù)列中的某些(mǒuxiē)項分解,然后重新組合,使之能消去一些項,最終到達求和的目的.第二十三頁，共46頁。2.數(shù)列中的每一項均能分裂成一正一負(fù)兩項,這是裂項相消法使用的前提,一般地,形如(其中{an}是等差數(shù)列)的數(shù)列可嘗試采用(cǎiyòng)此法.常用的裂項技巧有:第二十四頁，共46頁。第二十五頁，共46頁。[分析]準(zhǔn)確(zhǔnquè)寫出an的表達式,然后用裂項相消法.第二十六頁，共46頁。第二十七頁，共46頁。類型四 錯位相減法求和解題準(zhǔn)備:錯位相減法是推導(dǎo)等比數(shù)列(děnɡbǐshùliè)的前n項和公式時所用的方法,也是數(shù)列求和中經(jīng)常用到的一種方法.第二十八頁，共46頁。【典例4】數(shù)列{an}是等差數(shù)列,且a1=2,a1+a2+a3=12.(1)求數(shù)列{an}的通項公式(gōngshì);(2)令bn=anxn(x∈R).求數(shù)列{bn}的前n項和公式(gōngshì).[分析]用錯位相減法解(2).第二十九頁，共46頁。[解](1)設(shè)數(shù)列(shùliè){an}公差為d,那么a1+a2+a3=3a1+3d=12,∵a1=2,∴d=2,∴an=2n.(2)令Sn=b1+b2+…+bn,那么由bn=anxn=2nxn,得Sn=2x+4x2+…+(2n-2)xn-1+2nxn.①xSn=2x2+4x3+…+(2n-2)xn+2nxn+1.②當(dāng)x≠1時,①減去②,得(1-x)Sn=2(x+x2+…+xn)-2nxn+1=-2nxn+1,∴Sn=第三十頁，共46頁。第三十一頁，共46頁。錯源一 思維(sīwéi)定勢,數(shù)錯項數(shù)第三十二頁，共46頁。第三十三頁，共46頁。[剖析]此題的錯誤原因在于(zàiyú)乘公比錯位相減后,中間是n-1項求和,錯當(dāng)成了n項和,對相減后的結(jié)構(gòu)認(rèn)識不清楚或認(rèn)識模糊.第三十四頁，共46頁。第三十五頁，共46頁。錯源二 忽略根本(gēnběn)“特征〞【典例2】兩個等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項和為Sn和Tn,且對一切正整數(shù)n都有試求的值.第三十六頁，共46頁。[錯解]設(shè)Sn=(5n+3)k,Tn=(2n+7)k,那么a9=S9-S8=(5×9+3)k-(5×8+3)k=5k.b9=T9-T8=(2×9+7)k-(2×8+7)k=2k.因此[剖析]錯解忽略了等差數(shù)列前n項和公式(gōngshì)的根本“特征〞.其實,等差數(shù)列的前n項和是關(guān)于n的二次函數(shù),且常數(shù)項為零.第三十七頁，共46頁。[正解]設(shè)Sn=(5n+3)nk,Tn=(2n+7)nk,那么(nàme),a9=S9-S8=(5×9+3)×9k-(5×8+3)×8k=88k,b9=T9-T8=(2×9+7)×9k-(2×8+7)×8k=41k,因此第三十八頁，共46頁。技法一 分類(fēnlèi)討論思想【典例1】定義“等和數(shù)列〞:在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和都為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.數(shù)列{an}是等和數(shù)列,且a1=2,公和為5,那么a18的值為________;這個數(shù)列的前n項和Sn的計算公式為________.[解題切入點]此題重點考查同學(xué)們在新情境下的獨立分析問題和解決問題的能力.第三十九頁，共46頁。[解析(jiěxī)]由定義知a1+a2=a2+a3=…=a2k-1+a2k=a2k+a2k+11=2,所以a1=a3=…=a2k+1=2,a2=a4=…=a2k18=3.第四十頁，共46頁。第四十一頁，共46頁。技法二 函數(shù)思想【典例2】假設(shè)數(shù)列(shùliè){an}的前n項和Sn=n2-10n(n=1,2,3,…),那么此數(shù)列(shùliè)的通項公式為________;數(shù)列(shùliè){nan}中數(shù)值最小的項是第________項.[解析]當(dāng)n≥2時,an=Sn-Sn-1=n2-10n-(n-1)2+10(n-1)=2n-11.①當(dāng)n=1時,S1=a1=-9,也滿足①式.所以an=2n-11.第四十二頁，共46頁。nan=(2n-11)n=2n2-11n.所以n=時,nan最小.由于n∈N*,所以n=3時,使得nan最小.故通項公式為an=2n-11,數(shù)列{nan}中數(shù)值(shùzí)最小的項是第3項.[答案]an=2n-113第四