第四章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)

第四章控制系統(tǒng)的傳遞函數(shù)第1頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1.傳遞函數(shù)的概念傳遞函數(shù)是在拉氏變換的基礎(chǔ)上建立起來的一種數(shù)學(xué)模型，是經(jīng)典控制論中對(duì)線性系統(tǒng)進(jìn)行研究、分析與綜合的重要數(shù)學(xué)工具。

因此，系統(tǒng)的傳遞函數(shù)就是系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)的拉氏變換。定義：初始條件為零時(shí)，系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比，稱為該系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。即

，特別地，當(dāng)xi(t)=δ(t)，亦即Xi(s)=1時(shí)，G(s)=Xo(s)第2頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三2.傳遞函數(shù)的性質(zhì)①傳遞函數(shù)是系統(tǒng)本身的固有特性，與輸入量的大小及性質(zhì)無關(guān)；②傳遞函數(shù)以簡明的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)模型組成，只要?jiǎng)討B(tài)性能相似，就可以用相似的傳遞函數(shù)；③傳遞函數(shù)可以有量綱，也可以無量綱；④傳遞函數(shù)是s的有理分式；

一般地,傳遞函數(shù)的表達(dá)式為第3頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三3.典型環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)①比例環(huán)節(jié)系統(tǒng)總是由各種元件組成，不管這些元件的屬性如何，只要其動(dòng)態(tài)性能相似，就可以用相同的傳遞函數(shù)來表達(dá)。如果把系統(tǒng)的元件按其運(yùn)動(dòng)方程的形式來分類，就得到各種不同的動(dòng)態(tài)環(huán)節(jié)。這樣，就可以把一個(gè)復(fù)雜的系統(tǒng)分解為由簡單的環(huán)節(jié)組成，從而方便地建立整個(gè)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型。凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)成比例，不失真也不延時(shí)的環(huán)節(jié)，又稱P調(diào)節(jié)器。比例環(huán)節(jié)運(yùn)動(dòng)方程為xo(t)=kxi(t)，所以比例環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)為k為比例環(huán)節(jié)的增益或稱為放大系數(shù)第4頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例1解求一對(duì)齒輪傳動(dòng)的傳遞函數(shù)最基本的運(yùn)算放大器z1z2ni(t)no(t)∴G(s)=k例2eieoR1R2i1i2i3-+aeaKoi1=i2k—

運(yùn)算放大器的閉環(huán)增益第5頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三②微分環(huán)節(jié)例3求圖示微分電路的G(s)解凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)的一階導(dǎo)數(shù)成比例的環(huán)節(jié)，又稱為D調(diào)節(jié)器。運(yùn)動(dòng)方程為因此傳遞函數(shù)為：UiUoi{微分環(huán)節(jié)不能單獨(dú)存在。G(s)=TS第6頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三③積分環(huán)節(jié)凡輸出量xo(t)與輸入量xi(t)的一次積分成比例的環(huán)節(jié)，又稱為I調(diào)節(jié)器。運(yùn)動(dòng)方程為因此傳遞函數(shù)為：n(t)xo(t)D例4右圖為一齒輪齒條傳動(dòng)機(jī)構(gòu)。n(t)為輸入轉(zhuǎn)速，xo(t)為線位移。求該傳動(dòng)機(jī)構(gòu)的傳遞函數(shù)。解：根據(jù)傳動(dòng)關(guān)系有但如以vo(t)表示齒條的移動(dòng)速度，則G(s)=T/S第7頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1、電阻元件U(s)=RI(s)ZR=R2、電感元件u(t)=Ri(t)3.電容元件ZC(s)=1/sCZL=Ls第8頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例5下圖是一個(gè)由運(yùn)算放大器組成的積分器，求G(s)。解：uiuoRuci-+CUi(s)Uo(s)Ri-+Zc取拉氏變換第9頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三④慣性環(huán)節(jié)凡能用一階線性微分方程來描述的環(huán)節(jié)，又稱為一階環(huán)節(jié)。運(yùn)動(dòng)方程為因此傳遞函數(shù)為：K—慣性環(huán)節(jié)的增益；T—慣性環(huán)節(jié)的時(shí)間常數(shù)例6求右圖電路的G(s)。uiuoiRC解：如果Rcs?1，則G(s)=1/Rcs=1/Ts第10頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例7下圖是運(yùn)算放大器組成的慣性環(huán)節(jié)，求該環(huán)節(jié)的K和T。解：Ui(s)Uo(s)R1i-+ZuiuoR1R2-+CZ=R2∥Zc=R2∥1/cs=R2/(R2cs+1)第11頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三⑤二階環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)凡能用二階線性微分方程來描述的環(huán)節(jié)都稱為二階環(huán)節(jié)。運(yùn)動(dòng)方程為兩邊取拉氏變換得——環(huán)節(jié)的固有頻率——環(huán)節(jié)的阻尼比其中，如果0≤ξ<1，二階環(huán)節(jié)稱為振蕩環(huán)節(jié)第12頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例7圖示是由質(zhì)量m、阻尼c、彈簧k組成的動(dòng)力系統(tǒng).Xi(t)Xo(t)mck求G(s)依動(dòng)力平衡原理有{第13頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三

f(t)Xo(t){上例中，如果輸入量為外力f(t),則系統(tǒng)的固有頻率和阻尼系數(shù)為多少第14頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三⑥延時(shí)環(huán)節(jié)凡輸出量滯后于輸入量一個(gè)時(shí)間τ，但不失真地反映輸入量的環(huán)節(jié)。運(yùn)動(dòng)方程為xo(t)=xi(t-τ)t01xi(t)=1(t)t01t01注意延時(shí)環(huán)節(jié)和慣性環(huán)節(jié)的區(qū)別第15頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三①比例環(huán)節(jié)xo(t)=kxi(t)②微分環(huán)節(jié)G(s)=TS③積分環(huán)節(jié)G(s)=T/S④慣性環(huán)節(jié)⑤二階環(huán)節(jié)和振蕩環(huán)節(jié)xo(t)=xi(t-τ)⑥延時(shí)環(huán)節(jié)小節(jié)第16頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三求右圖油缸-阻尼-彈簧系統(tǒng)的傳遞函數(shù).其中，p為輸入，xo為輸出。解pcKxoA第17頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三LiRCuiuo求下圖的傳遞函數(shù)ZLI(s)ZUi(S)Uo(S)ZL=LsZ=R//1/cs第18頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1.復(fù)合環(huán)節(jié)概念單一典型環(huán)節(jié)組合2.復(fù)合環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)復(fù)合環(huán)節(jié)，如PI調(diào)節(jié)器、PD調(diào)節(jié)器①

PD調(diào)節(jié)器G(s)=Ts+KT——時(shí)間常數(shù)，K——比例系數(shù)根據(jù)傳遞函數(shù)判斷是何種調(diào)節(jié)器，并求出相應(yīng)的參數(shù)。第19頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例1

KCRUO(s)Ui(s)Uf(s)E(s)下圖是由放大電路組成的PD調(diào)節(jié)器，求G(s)解第20頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例2Ui(s)Uo(s)RiZmIf(s)auiuoRiR1iifaR2CubR1I(s)If(s)aR2CUb(s)Uo(s)第21頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例3解比例積分環(huán)節(jié)組成的調(diào)節(jié)器。②

PI調(diào)節(jié)器T——時(shí)間常數(shù)，K——比例系數(shù)下圖是由放大電路組成的PI調(diào)節(jié)器，求G(s)一般來說，采用調(diào)節(jié)器的控制系統(tǒng)，既能獲得較高的靜態(tài)精度，又具有較快的動(dòng)態(tài)響應(yīng)。ui(t)uo(t)RiR1aR2CUi(s)Uo(s)RiZmaZm=(R1+1/cs)∥R2請先行練習(xí)第22頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三比例、積分、微分環(huán)節(jié)組成的調(diào)節(jié)器。③

PID調(diào)節(jié)器R1uOuiR2C1C2ifiRiUi(s)Uo(s)RiZmaR1I(s)If(s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1例4下圖是由放大電路組成的PID調(diào)節(jié)器，求G(s)第23頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三R1I(s)If(s)aR2C2Ub(s)Uo(s)C1第24頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三PID控制的重要性比例-積分-微分控制規(guī)律是工業(yè)上最常用的控制規(guī)律。人們一般根據(jù)比例-積分-微分的英文縮寫，將其簡稱為PID控制。即使在更為先進(jìn)的控制規(guī)律廣泛應(yīng)用的今天，各種形式的PID控制仍然在所有控制回路中占85%以上。第25頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三1.傳遞函數(shù)框圖的概念系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)結(jié)構(gòu)圖，即用來表達(dá)環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)的方塊圖。下圖表示一個(gè)框圖單元。目的是為了說明一個(gè)環(huán)節(jié)在系統(tǒng)中的作用。2.繪制框圖的要點(diǎn)方框內(nèi)只允許填寫傳遞函數(shù)G(s)；框圖中的全部變量都是取了拉氏變換后的變量，要求大寫；變量一般置于箭頭的上方，箭頭的指向表示信號(hào)的流向；框圖的聯(lián)接是按信號(hào)流向進(jìn)行的，有串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接三種。G(s)Xi(s)Xo(s)第26頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三3.框圖的聯(lián)接串聯(lián)設(shè)X1(s)=Xi(s)·G1(s),Xo(s)=X1(s)·G2(s)則用框圖表示如下G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s)對(duì)于串聯(lián)的傳遞函數(shù)Xo(s)=X1(s)·G2(s)=G1(s)·G2(s)·Xi(s)

∴G(s)=G1(s)·G2(s)如一個(gè)系統(tǒng)由n各環(huán)節(jié)串聯(lián)而成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為第27頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三并聯(lián)設(shè)X1(s)=Xi(s)·G1(s),X2(s)=Xi(s)·G2(s),Xo(s)=X1(s)±X2(s)則用框圖表示如下Xo(s)=X1(s)±X2(s)=Xi(s)·G1(s)±Xi(s)·G2(s)=

[G1(s)±G2(s)]Xi(s)對(duì)于并聯(lián)的傳遞函數(shù)∴G(s)=G1(s)±

G2(s)G1(s)Xi(s)Xo(s)G2(s)X1(s)X2(s)±如一個(gè)系統(tǒng)由n各環(huán)節(jié)并聯(lián)而成，則系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為各環(huán)節(jié)傳遞函數(shù)的代數(shù)和。若把并聯(lián)處都看成相加，則第28頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三反饋聯(lián)接反饋聯(lián)接框圖如下圖所示E(s)=Xi(s)±B(s)Xo(s)=G(s)E(s)B(s)=H(s)Xo(s)由圖可知所以對(duì)于該閉環(huán)系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為：“-”表示正反饋，“+”表示負(fù)反饋控制系統(tǒng)中主要采用負(fù)反饋，則G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)±+B(s)A單位負(fù)反饋第29頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三G(s)Xi(s)Xo(s)H(s)E(s)±+B(s)如果在點(diǎn)處將反饋回路切斷，則得到以E(s)為輸入，B(s)為輸出的傳遞函數(shù)Gk(s)，稱之為閉環(huán)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)。Gk(s)

=H(s)G(s)Gb(s)Xi(s)Xo(s)A第30頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三4.框圖的變換與化簡框圖的變換分支點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)第31頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三相加點(diǎn)移動(dòng)規(guī)則G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±G(s)X1(s)X2(s)X3(s)+±作上述變換后，原來的輸入和輸出都不變，變換前后的系統(tǒng)框圖應(yīng)等效。第32頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三框圖的化簡

規(guī)則為了計(jì)算和研究方便，常要把框圖化簡?？驁D化簡，主要是依據(jù)基本的串聯(lián)、并聯(lián)和反饋聯(lián)接進(jìn)行。但若有回路交叉，必須先進(jìn)行移位，消除交叉?？驁D的化簡與中間變量無關(guān)當(dāng)有多個(gè)輸入量的線性系統(tǒng)時(shí)，可按疊加原理進(jìn)行化簡當(dāng)進(jìn)行相加點(diǎn)移位時(shí)，必須保證各分支點(diǎn)處原來的信號(hào)值不變當(dāng)進(jìn)行分支點(diǎn)移位時(shí)，必須保證各相加點(diǎn)處原來的反饋信號(hào)值不變第33頁，共38頁，2023年，2月20日，星期三例1G1G2G3H2H1Xi(s)Xo(s)+-+++-化簡框圖，求Gb(s)G1G2G3H1Xi(s)Xo(s)+-+++-第34