復積分的幾種算法

復積分的幾種算法

摘要復積分的計算方法按照積分路徑分為閉合積分路徑和非閉合積分路徑兩類。當給定起點、終點的積分路徑(非閉合積分路徑)的復積分，若被積函數(shù)在某一個包含起點、終點在內(nèi)的單連通區(qū)域內(nèi)解析，可以采用不定積分法，找到被積函數(shù)的原函數(shù)；若積分路徑參數(shù)方程易寫出，可以采用參數(shù)方程法，寫出路徑參數(shù)方程，確定起點和終點所對應的參數(shù)值，從而確定積分的上、下限；閉合積分路徑的復積分，主要觀察被積函數(shù)的在閉合路徑中有幾個奇點：若沒有奇點，運用柯西積分定理，積分值為零；若只有一個奇點，可以運用柯西積分公式或者柯西留數(shù)定理；若有若干個奇點，可以運用柯西留數(shù)定理，或者先借助柯西積分定理挖去奇點，再利用柯西積分定理或柯西積分公式來計算。1)化為實、虛部兩個二元實函數(shù)若函數(shù)f⑵=u(x,y)+iv(x,y)沿曲線C連續(xù)，則Jf(z)沿C可積分，且Jf(z)dz=Judx一vdy+iJvdx+udy.CCC2)參數(shù)方程法設有光滑曲線C:z二z(t)二x(t)+iy(t),(a<t<卩)，又設f⑵沿C連續(xù).令fI(t)]=ulx(t),y(t)]+ivlv(t),v(t)]=u(t)+iv(t) 則Jf(z)=Jpf[z(t)b(t)dtaC3)不定積分法如果在單連通區(qū)域D內(nèi)函數(shù)f(z)解析，則沿D內(nèi)任意曲線L的積分Jf(匚)d?只與其L起點和終點有關(guān)?當起點z固定時，這積分就在D內(nèi)定義了一個變上限z的單值函數(shù)，我們0把它記成變上限積分3.1)F(z)=Jzf(Gd?3.1)z0設函數(shù)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則由(3.1)定義的函數(shù)F(z)在D內(nèi)解析，且F'(z)二f(z)淋函數(shù)F(z)為f(z)的一個不定積分或原函數(shù).(不定積分法)如果F(z)為f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)的任意一個原函數(shù)，則Jzf(Gd匚二F(z)-F(z) (z,zeD)00z04)柯西積分定理a)設函數(shù)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一閉曲線(不必是簡單的),

則Jf(z)dz二0.Cb)設函數(shù)f(Z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)積分與路徑無關(guān)?即對D內(nèi)任意兩點z和z，積分Jzif(z)之值，不依賴于D內(nèi)連線起點z與終點z的曲線.TOC\o"1-5"\h\z0l 0 lz05)復周線柯西積分定理設D是由復周線C=C+C-+...+C_所圍成的界多連通區(qū)域,f(z)在D內(nèi)解析,0l n在D=D+C上連續(xù)，則Jf(z)dz二0，或?qū)懗蒍f⑵dz=Jf⑵dz+...+Jf⑵dzC C0 C1 Cn(沿外界積分等于沿內(nèi)邊界積分之和)6)形如 的復積分，且E=z是被積函數(shù)F(g)= 在C內(nèi)部的唯一奇點，運S-z g-zC用柯西積分公式(柯西積分公式)設區(qū)域D的邊界是周線(或復周線)C,函數(shù)f(Z)在D內(nèi)解析，在D二D+C上連續(xù)，則有f⑵=哈［理尤(ZD兒即'雲(yún)心2砒⑵C7)形如J:f(Zo+站⑷的復積分，運用解析函數(shù)平均值定理(解析函數(shù)平均值定理)如果函數(shù)心在圓1:-十R內(nèi)解析，在閉圓1:-十R1上面連續(xù)，則f(z°)=藥：f(zo+曲心 即:佗+Rei?)心2g°)8)形如J*f(g)dg (n=l,2,…)的復積分，且g=z是被積函數(shù)F(g)= 理一(g-z)n+1 (g-z)n+1C在C內(nèi)部的唯一奇點，運用解析函數(shù)的無窮可微性(解析函數(shù)的無窮可微性)設區(qū)域D的邊界是周線(或復周線)C,函數(shù)f(Z)在D內(nèi)解析，在D=D+C上連續(xù)，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導數(shù)，且有f(n)f(n)(z)=昱J dg2兀iC(g-z)n+1(zeD,n=1,2,...)2兀f(n)(z)

n!((zeD，n=1,2，…)9)形如Jf(z)dz的復積分，且被積函數(shù)f(z)在C內(nèi)有一個或若干個奇點，運用柯西留數(shù)C定理(柯西留數(shù)定理)f(z)在周線或復周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除ai，a2，...，an外解析,

在閉域D=d在閉域D=d+C上除ai,行…,a外連續(xù),則Jf(z)dz二2兀i工Resf(z)k=1z=ak柯西留數(shù)定理是最實用的求復積分的方法，實際上柯西積分定理和柯西積分公式都是柯西留數(shù)定理的特殊情形，而運用柯西留數(shù)定理的關(guān)鍵在于如何準確快速地求出被積函數(shù)f(z)的在C內(nèi)的所有奇點的留數(shù)。而在計算孤立奇點a的留數(shù)時，我們只關(guān)心其洛朗展示中這一項的系數(shù)，所以應用洛朗展示求留數(shù)是最基礎(chǔ)的方法。下面，簡單介紹求留數(shù)z-a的方法。我們將孤立奇點分成三類，分別為可去奇點，極點，本質(zhì)奇點。函數(shù)在有限可去奇點處的留數(shù)為零；對于極點，若a為f(z)的一階極點，則Res[f(z),a]=lim(z-a)f(z)；zTa若a為f(z)的n階極點(n>2)，f(z)=少⑵，其中9(z)在點a解析，9(a)豐0，(z-a)n則Res[f(z),a]= 畀.對于本質(zhì)奇點，若a為f(z)的本質(zhì)奇點，求出f(z)在a點的(n-1)!1洛朗展示中 這一項的系數(shù)，就是f(z)在有限本質(zhì)奇點a處的留數(shù)。若積分路徑C內(nèi)z-a包含f(z)的所有的有限奇點，則可以先求f(z)在無窮奇點g處的留數(shù)。運用定理，如果函數(shù)f⑵在擴充z平面上只有有限個孤立奇點(包括無窮遠點)，設為ai,a2，...，an，叫則f(z)在各點的留數(shù)總和為零。于是YResf(z)=-Resf(z).對于Resf⑵，我們令k=1z=ak z=g z=g111t