復(fù)積分的幾種算法

復(fù)積分的幾種算法

摘要復(fù)積分的計(jì)算方法按照積分路徑分為閉合積分路徑和非閉合積分路徑兩類。當(dāng)給定起點(diǎn)、終點(diǎn)的積分路徑(非閉合積分路徑)的復(fù)積分，若被積函數(shù)在某一個(gè)包含起點(diǎn)、終點(diǎn)在內(nèi)的單連通區(qū)域內(nèi)解析，可以采用不定積分法，找到被積函數(shù)的原函數(shù)；若積分路徑參數(shù)方程易寫出，可以采用參數(shù)方程法，寫出路徑參數(shù)方程，確定起點(diǎn)和終點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，從而確定積分的上、下限；閉合積分路徑的復(fù)積分，主要觀察被積函數(shù)的在閉合路徑中有幾個(gè)奇點(diǎn)：若沒有奇點(diǎn)，運(yùn)用柯西積分定理，積分值為零；若只有一個(gè)奇點(diǎn)，可以運(yùn)用柯西積分公式或者柯西留數(shù)定理；若有若干個(gè)奇點(diǎn)，可以運(yùn)用柯西留數(shù)定理，或者先借助柯西積分定理挖去奇點(diǎn)，再利用柯西積分定理或柯西積分公式來計(jì)算。1)化為實(shí)、虛部?jī)蓚€(gè)二元實(shí)函數(shù)若函數(shù)f⑵=u(x,y)+iv(x,y)沿曲線C連續(xù)，則Jf(z)沿C可積分，且Jf(z)dz=Judx一vdy+iJvdx+udy.CCC2)參數(shù)方程法設(shè)有光滑曲線C:z二z(t)二x(t)+iy(t),(a<t<卩)，又設(shè)f⑵沿C連續(xù).令fI(t)]=ulx(t),y(t)]+ivlv(t),v(t)]=u(t)+iv(t) 則Jf(z)=Jpf[z(t)b(t)dtaC3)不定積分法如果在單連通區(qū)域D內(nèi)函數(shù)f(z)解析，則沿D內(nèi)任意曲線L的積分Jf(匚)d?只與其L起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)?當(dāng)起點(diǎn)z固定時(shí)，這積分就在D內(nèi)定義了一個(gè)變上限z的單值函數(shù)，我們0把它記成變上限積分3.1)F(z)=Jzf(Gd?3.1)z0設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則由(3.1)定義的函數(shù)F(z)在D內(nèi)解析，且F'(z)二f(z)淋函數(shù)F(z)為f(z)的一個(gè)不定積分或原函數(shù).(不定積分法)如果F(z)為f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)的任意一個(gè)原函數(shù)，則Jzf(Gd匚二F(z)-F(z) (z,zeD)00z04)柯西積分定理a)設(shè)函數(shù)f(z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任一閉曲線(不必是簡(jiǎn)單的),

則Jf(z)dz二0.Cb)設(shè)函數(shù)f(Z)在z平面上的單連通區(qū)域D內(nèi)解析，則f(z)在D內(nèi)積分與路徑無關(guān)?即對(duì)D內(nèi)任意兩點(diǎn)z和z，積分Jzif(z)之值，不依賴于D內(nèi)連線起點(diǎn)z與終點(diǎn)z的曲線.TOC\o"1-5"\h\z0l 0 lz05)復(fù)周線柯西積分定理設(shè)D是由復(fù)周線C=C+C-+...+C_所圍成的界多連通區(qū)域,f(z)在D內(nèi)解析,0l n在D=D+C上連續(xù)，則Jf(z)dz二0，或?qū)懗蒍f⑵dz=Jf⑵dz+...+Jf⑵dzC C0 C1 Cn(沿外界積分等于沿內(nèi)邊界積分之和)6)形如 的復(fù)積分，且E=z是被積函數(shù)F(g)= 在C內(nèi)部的唯一奇點(diǎn)，運(yùn)S-z g-zC用柯西積分公式(柯西積分公式)設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線)C,函數(shù)f(Z)在D內(nèi)解析，在D二D+C上連續(xù)，則有f⑵=哈［理尤(ZD兒即'雲(yún)心2砒⑵C7)形如J:f(Zo+站⑷的復(fù)積分，運(yùn)用解析函數(shù)平均值定理(解析函數(shù)平均值定理)如果函數(shù)心在圓1:-十R內(nèi)解析，在閉圓1:-十R1上面連續(xù)，則f(z°)=藥：f(zo+曲心 即:佗+Rei?)心2g°)8)形如J*f(g)dg (n=l,2,…)的復(fù)積分，且g=z是被積函數(shù)F(g)= 理一(g-z)n+1 (g-z)n+1C在C內(nèi)部的唯一奇點(diǎn)，運(yùn)用解析函數(shù)的無窮可微性(解析函數(shù)的無窮可微性)設(shè)區(qū)域D的邊界是周線(或復(fù)周線)C,函數(shù)f(Z)在D內(nèi)解析，在D=D+C上連續(xù)，函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)有各階導(dǎo)數(shù)，且有f(n)f(n)(z)=昱J dg2兀iC(g-z)n+1(zeD,n=1,2,...)2兀f(n)(z)

n!((zeD，n=1,2，…)9)形如Jf(z)dz的復(fù)積分，且被積函數(shù)f(z)在C內(nèi)有一個(gè)或若干個(gè)奇點(diǎn)，運(yùn)用柯西留數(shù)C定理(柯西留數(shù)定理)f(z)在周線或復(fù)周線C所范圍的區(qū)域D內(nèi)，除ai，a2，...，an外解析,

在閉域D=d在閉域D=d+C上除ai,行…,a外連續(xù),則Jf(z)dz二2兀i工Resf(z)k=1z=ak柯西留數(shù)定理是最實(shí)用的求復(fù)積分的方法，實(shí)際上柯西積分定理和柯西積分公式都是柯西留數(shù)定理的特殊情形，而運(yùn)用柯西留數(shù)定理的關(guān)鍵在于如何準(zhǔn)確快速地求出被積函數(shù)f(z)的在C內(nèi)的所有奇點(diǎn)的留數(shù)。而在計(jì)算孤立奇點(diǎn)a的留數(shù)時(shí)，我們只關(guān)心其洛朗展示中這一項(xiàng)的系數(shù)，所以應(yīng)用洛朗展示求留數(shù)是最基礎(chǔ)的方法。下面，簡(jiǎn)單介紹求留數(shù)z-a的方法。我們將孤立奇點(diǎn)分成三類，分別為可去奇點(diǎn)，極點(diǎn)，本質(zhì)奇點(diǎn)。函數(shù)在有限可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為零；對(duì)于極點(diǎn)，若a為f(z)的一階極點(diǎn)，則Res[f(z),a]=lim(z-a)f(z)；zTa若a為f(z)的n階極點(diǎn)(n>2)，f(z)=少⑵，其中9(z)在點(diǎn)a解析，9(a)豐0，(z-a)n則Res[f(z),a]= 畀.對(duì)于本質(zhì)奇點(diǎn)，若a為f(z)的本質(zhì)奇點(diǎn)，求出f(z)在a點(diǎn)的(n-1)!1洛朗展示中 這一項(xiàng)的系數(shù)，就是f(z)在有限本質(zhì)奇點(diǎn)a處的留數(shù)。若積分路徑C內(nèi)z-a包含f(z)的所有的有限奇點(diǎn)，則可以先求f(z)在無窮奇點(diǎn)g處的留數(shù)。運(yùn)用定理，如果函數(shù)f⑵在擴(kuò)充z平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無窮遠(yuǎn)點(diǎn))，設(shè)為ai,a2，...，an，叫則f(z)在各點(diǎn)的留數(shù)總和為零。于是YResf(z)=-Resf(z).對(duì)于Resf⑵，我們令k=1z=ak z=g z=g111t