第十一章動量矩定理

第十一章動量矩定理第1頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四第11章質(zhì)點系動量矩定理□動量矩定理□剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程□討論□質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理□剛體平面運動微分方程□動量矩第2頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點動量矩★質(zhì)點系動量矩□動量矩第3頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四質(zhì)點對于點O的位矢與質(zhì)點動量叉乘，所得到的矢量稱為質(zhì)點對于點O的動量矩。□動量矩—質(zhì)點的動量矩動量矩矢量垂直于矢徑r與動量mv所形成的平面，指向按右手法則確定，其大小為：點O稱為矩心。動量矩(momentofmomentum)矢量是定位矢量；質(zhì)點對于點O的動量矩矢在z軸上的投影，等于對z軸的動量矩。第4頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四m1mnmim3m2xzyOviri質(zhì)點系中所有質(zhì)點對于點O的動量矩的矢量和，稱為質(zhì)點系對點O的動量矩?！鮿恿烤亍|(zhì)點系的動量矩質(zhì)點系對于點O的動量矩矢在通過該點的z軸上的投影等于質(zhì)點系對該軸的動量矩。第5頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點動量矩定理★質(zhì)點系動量矩定理□動量矩定理第6頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點動量矩定理質(zhì)點對固定點的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用于質(zhì)點上的力對同一點的力矩——質(zhì)點的動量矩定理。第7頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點系動量矩定理m1mnmim3m2xzyOviriFiFnF1F2設(shè)質(zhì)系內(nèi)有n個質(zhì)點，對于任意質(zhì)點Mi有式中分別為作用于質(zhì)點上的內(nèi)力和外力。求n個方程的矢量和有——作用于系統(tǒng)上的外力系對于O點的主矩式中第8頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四質(zhì)點系對于定點O的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用在系統(tǒng)上所有外力對于同一點的主矩——質(zhì)點系對于定點的動量矩定理(theoremofthemomentofmomentumofasystemofpatties)。交換左端求和及求導(dǎo)的次序，有m1mnmim3m2xzyOviriFiFnF1F2第9頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點系動量矩定理質(zhì)點系對于定軸的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)等于作用在系統(tǒng)上的外力主矩在投影軸上的投影(或所有外力在同一軸上投影的代數(shù)和)。#投影形式第10頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★質(zhì)點系動量矩定理#守恒形式

如果外力系對于定點的主矩等于0，則質(zhì)點系對這一點的動量矩守恒(conservationofmomentOfmorrlentulllofsystemofpardc1es)。如果外力系對于定軸之矩等于0，則質(zhì)點系對這一軸的動量矩守恒。第11頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四兩個質(zhì)量為m1，m2的重物分別系在繩子的兩端，如圖所示。兩繩分別繞在半徑為，并固結(jié)在一起的兩鼓輪上求：鼓輪的角加速度和軸承的約束力。例題1★質(zhì)點系動量矩定理#應(yīng)用舉例第12頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四系統(tǒng)對O的軸總動量矩應(yīng)用動量矩定理解：設(shè)鼓輪的角速度和角加速度分別為。求軸承的約束反力：討論：若兩鼓輪對O軸的轉(zhuǎn)動慣量為Jo，重為W，結(jié)論如何？第13頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例題2★質(zhì)點系動量矩定理#應(yīng)用舉例水平桿AB長為2a,可繞鉛垂軸z轉(zhuǎn)動，其兩端各用鉸鏈與長為l的桿AC及BD相連，桿端各聯(lián)結(jié)重為P的小球C和D。起初兩小球用細線相連，使桿AC與BD均為鉛垂，系統(tǒng)繞z軸的角速度為。如某瞬時此細線拉斷后，桿AC與BD各與鉛垂線成角，如圖所示。不計各桿重量，求這時系統(tǒng)的角速度。第14頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四解：系統(tǒng)所受外力有小球的重力及軸承的約束力，這些力對z軸之矩都等于零。所以系統(tǒng)對z軸的動量矩守恒。即，=常數(shù)開始時系統(tǒng)的動量矩為細線拉斷后的動量矩為由，有由此求出細線拉斷后的角速度第15頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四（4）象這樣的爬繩比賽能比出誰的力氣大嗎？討論：1．花樣滑冰運動員在光滑的冰面上，可做出許多優(yōu)美的動作。試分析運動員繞鉛垂軸角速度的變化。2．兩人A、B同時爬繩，設(shè)兩人質(zhì)量相同，不計繩重及摩擦。試討論下面幾種情形（1）A以絕對速度v爬繩，B不爬，問B的絕對速度為多少？（3）在（2）中繩子移動的速度為多少？（2）開始時兩人靜止在同一高度，而后兩人分別以相對于繩子的速度同時爬繩，問誰先到達頂點？第16頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四□剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程★剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程★剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量★工程實例★應(yīng)用舉例第17頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四——剛體對z軸的轉(zhuǎn)動慣量

(momentOfinertia)

★剛體定軸轉(zhuǎn)動微分方程——剛體定軸轉(zhuǎn)動運動微分方程(differentialequationsOfrotationofbodywithafixedaxis)

virimiF1F2FnFiyxz第18頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★剛體對軸轉(zhuǎn)動慣量如果剛體的質(zhì)量是連續(xù)分布的，則上式可寫為積分形式1．簡單形狀的均質(zhì)剛體轉(zhuǎn)動慣量的計算(1)長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)細長桿第19頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四2.慣性半徑（或回轉(zhuǎn)半徑）

在工程中，常將轉(zhuǎn)動慣量表示為——m為剛體的質(zhì)量，稱為回轉(zhuǎn)半徑

回轉(zhuǎn)半徑的物理意義為：若將物體的質(zhì)量集中在以為半徑、Oz為對稱軸的細圓環(huán)上，則轉(zhuǎn)動慣量不變(2)半徑為R，質(zhì)量為m的均質(zhì)薄圓盤第20頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四形狀簡圖轉(zhuǎn)動慣量慣性半徑體積

細直桿

圓柱

薄壁圓筒常見均質(zhì)物體的轉(zhuǎn)動慣量和回轉(zhuǎn)半徑第21頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

空心圓柱

薄壁空心球

實心球

第22頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

圓錐體

圓環(huán)

橢圓形薄板

第23頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

立方體

矩形薄板

第24頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四定理：剛體對于任一軸的轉(zhuǎn)動慣量等于剛體對于通過質(zhì)心、并與該軸平行的軸的轉(zhuǎn)動慣量，加上剛體的質(zhì)量與兩軸間距離平方的乘積。即3．轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理（3）過質(zhì)心的軸的轉(zhuǎn)動慣量最小。（1）兩軸互相平行注意點：（2）其中一軸過質(zhì)心；第25頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四CAlOk例題3扭擺裝置中，圓盤A對通過圓心C的鉛垂軸的轉(zhuǎn)動慣量為JC；彈性桿件OC的長度為l、切變模量為G、橫截面的極慣性矩為IP，桿件的質(zhì)量與圓盤相比可以忽略不計。若不考慮空氣阻力，求：扭擺的扭轉(zhuǎn)振動周期?！飸?yīng)用舉例第26頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四CAlOk將扭擺看作一扭轉(zhuǎn)彈簧，其剛度系數(shù)解：假設(shè)圓盤扭過一任意角度，根據(jù)圓軸扭轉(zhuǎn)的變形與扭矩的關(guān)系應(yīng)用剛體定軸轉(zhuǎn)動運動微分方程扭擺的周期為第27頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例題4CABOC′A′B′z用于測量圓盤轉(zhuǎn)動慣量的三線擺中，三根長度相等(l)的彈性線，等間距懸掛被測量的圓盤。已知圓盤半徑為R、重量為W。怎樣才能測量出圓盤轉(zhuǎn)動慣量？★應(yīng)用舉例第28頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例題4★應(yīng)用舉例第29頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四CABOC′A′B′z

解：讓三線擺作微小扭轉(zhuǎn)振動建立振動周期與轉(zhuǎn)動慣量之間的關(guān)系，通過測量振動周期，就可以測量出圓盤轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤繞z軸轉(zhuǎn)過微小角度OABCzC′A′B′FTFTFTWFT圓盤周邊切線方向上的分量第30頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四直升飛機如果沒有尾翼將發(fā)生什么現(xiàn)象？★工程實例第31頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四？航天器是怎樣實現(xiàn)姿態(tài)控制的★工程實例第32頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理□質(zhì)點系相對質(zhì)心的動量矩定理

★對定點O與對質(zhì)心C的動量矩之間的關(guān)系第33頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四m1mnm3m2miCxzyOvirx′z′y′★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩質(zhì)點系中所有質(zhì)點,在以質(zhì)心為原點的平移參考系中，相對運動動量對質(zhì)心C之矩的矢量和，稱為質(zhì)點系相對質(zhì)心(平移系)的動量矩。定位矢，作用點在質(zhì)心。第34頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

★對定點O與對質(zhì)心C的動量矩之間的關(guān)系質(zhì)系對于固定點O的矩為圖中C為質(zhì)系的質(zhì)心，有上式中——為質(zhì)系相對質(zhì)心C的動量矩于是得質(zhì)系對定點O的動量矩，等于質(zhì)系對質(zhì)心的動量矩，與將質(zhì)系的動量集中于質(zhì)心對于定點動量矩的矢量和。第35頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四對時間的相對導(dǎo)數(shù)★相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理在動系為平移系的情形下，變矢量的相對導(dǎo)數(shù)等于絕對導(dǎo)數(shù)第36頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四根據(jù)質(zhì)心的定義，(質(zhì)心到平移系原點的位矢)質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩對時間的一階導(dǎo)數(shù)，等于作用于質(zhì)點系上的外力系對質(zhì)心的主矩，這就是質(zhì)點系相對于質(zhì)心(平移系)的動量矩定理(theoremofmomentofmomentumwithrespecttoacenterofmass)。*

該式與質(zhì)點系相對定點動量矩定理形式相同。*當外力對質(zhì)心的主矩為0時，——質(zhì)點系相對質(zhì)心(平移系)動量矩守恒第37頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四□剛體平面運動微分方程☆剛體平面運動微分方程☆應(yīng)用舉例☆工程實例第38頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四SCxyF2F1FnFiaCS－平面圖形；C－平面圖形的質(zhì)心；

－平面圖形的角速度；

－平面圖形的角加速度；aC

－平面圖形質(zhì)心加速度；Oxyz－定系；Cxyz－動系；xyOF1、F2、…、Fi、…、Fn－力系☆剛體平面運動微分方程第39頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四SCxyF2F1FnFiaCxyOmirivir在平移系中，任意質(zhì)點mi對平面圖形質(zhì)心的動量矩為：剛體對平面圖形質(zhì)心的動量矩為：應(yīng)用質(zhì)心運動定理應(yīng)用相對質(zhì)心動量矩定理——剛體平面運動微分方程第40頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四？跳遠運動員怎樣使身體在空中不發(fā)生轉(zhuǎn)動☆工程實例第41頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四？跳遠運動員怎樣使身體在空中不發(fā)生轉(zhuǎn)動☆工程實例第42頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四？無論力偶加在哪里，為什么圓盤總是繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動☆工程實例第43頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四？無論力偶加在哪里，為什么圓盤總是繞著質(zhì)心轉(zhuǎn)動☆工程實例第44頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例題5C

求：1、圓輪滾動到任意位置時，質(zhì)心的加速度；2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動所需要的最小摩擦因數(shù)。CCCCCCC☆應(yīng)用舉例半徑為r的均質(zhì)圓輪，在傾角的斜面上，從靜止開始向下作無滑動的滾動。第45頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四

解：受力分析

CW＝mgFN1、圓輪質(zhì)心加速度:W＝mg－圓輪所受重力；F－滑動摩擦力；

FN－斜面約束力。xyxyOFaC根據(jù)平面運動微分方程圓輪作平面運動，根據(jù)圓輪作純滾動的條件aC=r第46頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四2、圓輪在斜面上不發(fā)生滑動所需要的最小摩擦因數(shù):純滾動時，滑動摩擦力一般小于最大靜摩擦力FNfsCW＝mgFNxyFaC第47頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例題6R求：1、圓柱體的運動微分方程；2、圓槽對圓柱體的約束力；3、微振動周期與運動規(guī)律?！顟?yīng)用舉例半徑為r、質(zhì)量為m的均質(zhì)圓柱體，在半徑為R的剛性圓槽內(nèi)作純滾動。在初始位置，由靜止向下滾動。C第48頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四解：分析圓柱體受力

mg－重力；F－滑動摩擦力；FN－圓槽對圓柱體的約束力。RCs=0s+mgFNF圓柱體作平面運動，自由度N＝1，廣義坐標，弧坐標s與圓柱體質(zhì)心軌跡重合。1、圓柱體的運動微分方程C*為瞬心，第49頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四2、圓槽對圓柱體的約束力由第二個運動微分方程圓槽對圓柱體的約束力為：——法向力——摩擦力RCs=0s+mgFNF這是大小角度都適用的圓柱體非線性運動微分方程。第50頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四3、微振動的周期與運動規(guī)律，非線性微分方程線性化線性微分方程的一般解為：A和為待定常數(shù)，由運動的初始條件確定。第51頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例7均質(zhì)細桿AB，長l，重，兩端分別沿鉛垂墻和水平面滑動，不計摩擦，如圖所示。若桿在鉛垂位置受干擾后，由靜止狀態(tài)沿鉛垂面滑下，求桿在任意位置的角加速度?！顟?yīng)用舉例第52頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例8均質(zhì)實心圓柱體A和薄鐵環(huán)B的質(zhì)量均為m，半徑都等于r，兩者用桿AB鉸接，無滑動地沿斜面滾下，斜面與水平面的夾角為，如圖所示。如桿的質(zhì)量忽略不計，求桿AB的加速度和桿的內(nèi)力?！顟?yīng)用舉例第53頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例9均質(zhì)圓柱體A和B的質(zhì)量均為m，半徑為r，一繩纏在繞固定軸O轉(zhuǎn)動的圓柱A上，繩的另一端繞在圓柱B上，如圖所示。摩擦不計。求：（1）圓柱體B下落時質(zhì)心的加速度；（2）若在圓柱體A上作用一逆時針轉(zhuǎn)向，矩為M的力偶，試問在什么條件下圓柱體B的質(zhì)心加速度將向上。☆應(yīng)用舉例第54頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四例10均質(zhì)桿AB長l，質(zhì)量為m，用兩根細繩懸掛如圖所示。設(shè)繩與桿的夾角為且OA=OB，求當細繩OB被突然剪斷時，OA繩的拉力?！顟?yīng)用舉例——突然解除約束問題第55頁，共60頁，2023年，2月20日，星期四＊突然解除約束問題☆應(yīng)用舉例第56頁，共60頁，202