定積分在實際問題中的應(yīng)用

-.z.第二節(jié) 定積分在實際問題中的應(yīng)用ApplicationofDefiniteIntegral教學目的:熟練掌握求解平面圖形的面積方法,并能靈活、恰當?shù)剡x擇積分變量;會求平行截面面積的立體的體積,并能求解旋轉(zhuǎn)體的體積;能夠解決物理應(yīng)用中變力作功、液體壓力方面的問題.容:定積分幾何應(yīng)用;定積分在物理中的應(yīng)用.教學重點:求解平面圖形的面積;求旋轉(zhuǎn)體的體積.教學難點:運用定積分求平面圖形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積教學方法:精講:定積分的幾何應(yīng)用;多練:用定積分求平面圖形的面積和立體的體積教學內(nèi)容:一、定積分的幾何應(yīng)用1.平面圖形的面積設(shè)函數(shù)均在區(qū)間上連續(xù),且,現(xiàn)計算由所圍成的平面圖形的面積.分析求解如下:(1)如圖6-3所示,該圖形對應(yīng)變量的變化區(qū)間為,且所求平面圖形的面積對區(qū)間具有可加性.(2)在區(qū)間內(nèi)任取一小區(qū)間,其所對應(yīng)的小曲邊梯形的面積,可用以為底,為高的小矩形的面積(圖6-3)中陰影局部的面積)近似代替.即面積微元為 (3)所求圖形的面積圖6-3【例1】 求曲線，直線及所圍成的平面圖形的面積.解 對應(yīng)變量的變化區(qū)間為,在內(nèi)任取一小區(qū)間,其所對應(yīng)小窄條的面積用以為底,以為高的矩形的面積近似代替,即面積微元于是所求面積 【例2】 求曲線及所圍成的平面圖形的面積.解 由求出交點坐標為和,積分變量的變化區(qū)間為,面積微元即于是所求面積假設(shè)平面圖形是由連續(xù)曲線所圍成的,其面積應(yīng)如何表達呢"分析求解如下:(1) 對應(yīng)變量的變化區(qū)間為,且所求面積對區(qū)間具有可加性.(2) 在的變化區(qū)間內(nèi)任取一小區(qū)間,其所對應(yīng)的小曲邊梯形的面積可用以為長,以為寬的矩形面積近似代替,即面積微元為于是所求面積 【例3】 求曲線,直線所圍成的平面圖形的面積.解 由解得交點坐標為和,則對應(yīng)變量的變化區(qū)間為,此時,則面積微元于是所求面積 【例4】 求由及所圍成的平面圖形的面積.解 為了確定積分變量的變化范圍,首先求交點的坐標.由得交點.方法一選為積分變量,則對應(yīng)的變化區(qū)間為,此時面積微元于是方法二選為積分變量,對應(yīng)的變化區(qū)間為,此時,則面積微元于是注:由此例可知,積分變量的選取不是唯一的,但在有些問題中,積分變量選擇的不同,求解問題的難易程度也會不同.【例5】 求橢圓的面積.解 橢圓關(guān)于軸,軸均對稱,故所求面積為第一象限局部的面積的4倍,即 利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分的換元法,,且當時,時,,于是 2. 空間立體的體積 (1) 平行截面面積為的立體的體積 設(shè)*空間立體垂直于一定軸的各個截面面積,則這個立體的體積可用微元法求解. 不失一般性,不妨取定軸為軸,垂直于軸的各個截面面積為關(guān)于的連續(xù)函數(shù),的變化區(qū)間為. 該立體體積對區(qū)間具有可加性.取為積分變量,在內(nèi)任取一小區(qū)間,其所對應(yīng)的小薄片的體積用底面積為,高為的柱體的體積近似代替,即體積微元為于是所求立體的體積 【例6】 一平面經(jīng)過半徑為的圓柱體的底圓中心,并與底面交成角,計算這個平面截圓柱體所得契形體的體積.解 取該平面與底面圓的交線為軸建立直角坐標系,則底面圓的方程為,半圓的方程即為. 在軸的變化區(qū)間內(nèi)任取一點,過作垂直于軸的截面,截得一直角三角形,其底長為,高度為,故其面積于是體積 (2) 旋轉(zhuǎn)體的體積類型1:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積. 過任意一點作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積 【例7】 求由及所圍成的平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成立體的體積.解 積分變量軸的變化區(qū)間為,此處,則體積 【例8】 連接坐標原點及點的直線,直線及軸圍成一個直角三角形,求將它繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐體的體積.解 積分變量的變化區(qū)間為,此處為直線的方程,于是體積類型2:求由連續(xù)曲線,直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積. 過任意一點,作垂直于軸的平面,截面是半徑為的圓,其面積為,于是所求旋轉(zhuǎn)體的體積 【例9】 求由及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的立體的體積.解 積分變量的變化區(qū)間為,此處.于是體積 【例10】求橢圓分別繞軸、軸旋轉(zhuǎn)而成橢球體的體積.解 假設(shè)橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積假設(shè)橢圓繞軸旋轉(zhuǎn),積分變量的變化區(qū)間為,此處,于是體積二、定積分在物理中的應(yīng)用1.變力所做的功 如果一個物體在恒力的作用下,沿力的方向移動距離,則力對物體所做的功是. 如果一個物體在變力的作用下作直線運動,不妨設(shè)其沿軸運動,則當物體由軸上的點移動到點時,變力對物體所做的功是多少" 我們?nèi)圆捎梦⒃?所做的功對區(qū)間具有可加性.設(shè)變力是連續(xù)變化的,分割區(qū)間,任取一小區(qū)間,由的連續(xù)性,物體在這一小段路徑上移動時,的變化很小,可近似看作不變的,則變力在小段路徑上所做的功可近似看作恒力做功問題,于是得到功的微元為將微元從到積分,得到整個區(qū)間上力所做的功 【例11】將彈簧一段固定,令一段連一個小球,放在光滑面上,點為小球的平衡位置.假設(shè)將小球從點拉到點,求抑制彈性力所做的功.解 由物理學知道,彈性力的大小和彈簧伸長或壓縮的長度成正比,方向指向平衡位置,即其中是比例常數(shù). 假設(shè)把小球從點拉到點,抑制彈性力,所用力的大小與相等,但方向相反,即,它隨小球位置的變化而變化. 在的變化區(qū)間上任取一小段,則力所做的功的微元于是功 【例12】*空氣壓縮機,其活塞的面積為,在等溫壓縮的過程中,活塞由處壓縮到處,求壓縮機在這段壓縮過程中所消耗的功.解 由物理學知道,一定量的氣體在等溫條件下,壓強與體積的乘積為常數(shù),即由,體積是活塞面積與任一點位置的乘積,即,因此于是氣體作用于活塞上的力 活塞作用力,則力所做的功的微元于是所求功 【例13】一圓柱形的貯水桶高為5米,底圓半徑為3米,桶內(nèi)盛滿了水.試問要把桶內(nèi)的水全部吸出需做多少功.解 取深度為積分變量,則所求功對區(qū)間具有可加性.應(yīng)用微元法,在上任取一小區(qū)間,則所對應(yīng)的小薄層的質(zhì)量. 將這一薄層水吸出桶外時,需提升的距離近似為,因此需做功的近似值,即功的微元為于是所求功 將,得 2.液體壓力 現(xiàn)有面積為的平板,水平置于密度為,深度為的液體中,則平板一側(cè)所受的壓力為水深為處的壓強值 假設(shè)將平板垂直放于該液體中,對應(yīng)不同的液體深度,壓強值也不同,則平板所受壓力應(yīng)如何求解呢" 設(shè)平板邊緣曲線方程為,則所求壓力對區(qū)間具有可加性,現(xiàn)用微元法來求解. 在上任取一小區(qū)間,其對應(yīng)的小橫條上各點液面深度均近似看成,且液體對它的壓力近似看成長為、寬為的小矩形所受的壓力,即壓力微元為于是所求壓力 【例14】有一底面半徑為1米,高為2米的圓柱形貯水桶,里面盛滿水.求水對桶壁的壓力.解 積分變量的變化區(qū)間為,在其上任取一小區(qū)間,高為的小圓柱面所受壓力的近似值,即壓力微元為于是所求壓力為將代入 【例15】有一半徑米的圓形溢水洞,試求水位為3米時作用在閘板上的壓力.解 如果水位為3米,積分變量的變化區(qū)間為,在其上任取一小區(qū)間,所對應(yīng)的小窄條上所受壓力近似值,即壓力微元于是所求壓力將代入得課堂練習