相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用

-.z.華北水利水電大學(xué)相似矩陣的性質(zhì)及應(yīng)用課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級(jí)：成員組成：聯(lián)系方式：2013年11月6日摘要：假設(shè)矩陣P可逆,則矩陣P-1AP與A稱為相似。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一局部的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為與一個(gè)對(duì)角化矩陣相似問(wèn)題進(jìn)而使問(wèn)題研究簡(jiǎn)化，而另一些矩陣不能與一個(gè)對(duì)角矩陣相似，則這類問(wèn)題就只能用定義或者假設(shè)而當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型來(lái)解決。相似矩陣有很多應(yīng)用。例如：利用相似矩陣的性質(zhì)來(lái)確定矩陣中未知元素方法的完整性；兩個(gè)相似矩陣屬于同一個(gè)特征值的特征向量之間的關(guān)系；矩陣相似與特征多項(xiàng)式的等價(jià)條件及相關(guān)結(jié)果；尤其是矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形及其對(duì)角化問(wèn)題,在高等代數(shù)和其他學(xué)科中都有極其廣泛的應(yīng)用。本文將討論相似矩陣的有關(guān)性質(zhì)及其應(yīng)用。關(guān)鍵詞：相似矩陣；對(duì)角化；Jordan標(biāo)準(zhǔn)型；特征向量；特征值英文題目：Thepropertiesandapplicationofsimilarmatri*Abstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatri*.Matri*forfurtherresearchistheconceptofsimilaritymatri*characteristics,andthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalizationmatri*tosimplifytheproblemstudy,whileothersmatri*cannotbesimilartoadiagonalmatri*,sothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Fore*ample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatri*;Jordan’snormalform;characteristicvalue;characteristicvector引言：矩陣相似的理論是數(shù)學(xué)分析的重要概念之一，同時(shí)也是教學(xué)中的難點(diǎn)之一，特別是矩陣相似與可對(duì)角化矩陣問(wèn)題，在各個(gè)版本的數(shù)學(xué)類圖書中，往往將這兩個(gè)問(wèn)題緊湊的聯(lián)系在一起。由于矩陣相似的應(yīng)用圍相當(dāng)廣泛。本文主要是從矩陣相似定義以及各種性質(zhì)的理論根底上直接引入矩陣在微分方程、自動(dòng)控制理論根底等領(lǐng)域應(yīng)用的實(shí)例并由此進(jìn)展研究，也使這局部容能夠相互融合起來(lái)，更有利于學(xué)習(xí)者的掌握和應(yīng)用。1.矩陣相似的定義與根本性質(zhì)1.1矩陣相似的定義設(shè)A,B是n階方陣,如果存在可逆陣P使得P-1AP=B,則稱矩陣A與B相似.假設(shè)矩陣A相似于對(duì)角陣,則稱A可相似對(duì)角化,即存在可逆陣P使,為A的n個(gè)特征值.令為非奇異矩陣，考察矩陣的線性變換令線性變換的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量為，即將式代入上式，即有或令或，則式可以寫作比擬和兩式可知，矩陣A和具有一樣的特征值，并且矩陣B的特征向量是矩陣的特征向量的線性變換，即。由于矩陣和的特征值一樣，特征向量存在線性變換的關(guān)系，所以稱這兩個(gè)矩陣"相似〞。于是：設(shè)、都是階方陣，假設(shè)有可逆方陣，使，則稱是的相似矩陣?；蛘哒f(shuō)矩陣與相似。對(duì)進(jìn)展運(yùn)算稱為對(duì)進(jìn)展相似變換?？赡婢仃嚪Q為把變成的相似變換陣。1.2矩陣相似的一些根本性質(zhì)：自反性：。對(duì)稱性：則。傳遞性：及可得：。如果階矩陣,相似，則它們有一樣的特征值。但逆命題不成立。相似矩陣另外的一些特性：1)相似矩陣有一樣的秩。2)相似矩陣的行列式相等。3)相似矩陣或都可逆，或都不可逆。當(dāng)它們可逆時(shí)，它們的逆也相似。4)則，、、〔假設(shè)，均可逆〕、從而，有一樣的特征值。5).假設(shè)A與B都可對(duì)角化,則A與B相似的充分條件是A與B由一樣的特征多項(xiàng)式.6).A的屬于同一特征值的特征向量的線形組合只要不是零向量,仍是對(duì)應(yīng)的特征向量.7).A的屬于不同特征值的特征向量線形無(wú)關(guān).8).實(shí)對(duì)稱矩陣A的特征值都是實(shí)數(shù),屬于不同特征值的特征向量正交.9).假設(shè)是實(shí)對(duì)稱矩陣A的r重特征值,則A對(duì)應(yīng)特征值恰有r個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.10).任何一個(gè)n階復(fù)矩陣A都與一個(gè)Jordan形矩陣相似.11).對(duì)n階方陣A，以下三條等價(jià):⑴A可對(duì)角化;⑵A有n個(gè)特征值〔重根按重?cái)?shù)計(jì)〕，且r〔＞1〕重特征值;⑶A有n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量.12).對(duì)角化的根本方法有如下兩種:特征值法,特征向量法.1.3相似矩陣與假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形雖然非單純矩陣不能相似于對(duì)角陣，但它能夠相似于一個(gè)形式上比對(duì)角矩陣稍微復(fù)雜的假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形。由于假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形的獨(dú)特構(gòu)造提醒了兩個(gè)矩陣相似的本質(zhì)關(guān)系，故在數(shù)值計(jì)算和理論推導(dǎo)中經(jīng)常采用。利用它不僅容易求出矩陣的乘冪，還可以討論矩陣函數(shù)和矩陣級(jí)數(shù)，求解矩陣微分方程。定義：形如的方陣稱為階假設(shè)爾當(dāng)塊。其中可以是實(shí)數(shù)，也可以是復(fù)數(shù)。定理：矩陣的充要條件是他們相應(yīng)的特征矩陣。每個(gè)階復(fù)矩陣都與一個(gè)假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形相似，且這個(gè)假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在不計(jì)其中假設(shè)爾當(dāng)塊的排列次序時(shí)，完全有矩陣唯一決定。復(fù)矩陣可對(duì)角化的充要條件是的特征矩陣的初等因子全為一次式。2.相似矩陣在微分方程中的應(yīng)用許多實(shí)際問(wèn)題最后都?xì)w結(jié)為求解微分方程〔組〕的問(wèn)題.因此,如何求解微分方程〔組〕是個(gè)很重要的問(wèn)題.下面舉例說(shuō)明特征值和特征向量,約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形在其中的應(yīng)用.2.1將常系數(shù)線性微分方程組(2-1)寫成矩陣形式(2-2)其中u=(,為系數(shù)矩陣,令(3-2)式的解u=,(2-3)即(=.將(2-3)式代入〔2-2〕得==,化簡(jiǎn)得,即(2-3)式中為A的特征值,*為對(duì)應(yīng)的特征向量;假設(shè)A可對(duì)角化,則存在n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量于是得到(2-2)式的n個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解.u=,u=,u=.它們的線性組合c+c+…+c,(2-4)(其中為任意常數(shù))為(2-1)式的一般解,將(2-4)式改寫成矩陣形式u=,記c=(),=()p=,則(2-1)式或(2-2)式有一般解(2-5)對(duì)于初值問(wèn)題(2-6)解為(2-7)因?yàn)閠=0代入(2-5)式得c=.例2解線性常系數(shù)微分方程組初始值為:解此題的初始值問(wèn)題為其中,可得A的約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形,即有可逆矩陣=,使.由(2-7)式,該初值問(wèn)題的解為(2-8)其中(2-9)(2-10)將(2-10)式代入(2-9)式得(2-11)再將(2-11)式及代入(2-8)式得2.2對(duì)于階線性齊次常系數(shù)微分方程(2-12)可令于是可得與方程(2-12)同解的方程組(2-13)式(2-13)可寫成矩陣形式(2-14)其中,,于是這類微分方程可以歸納為等價(jià)的線性微分方程組,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程(2-15)解令于是(2-15)式可變成等價(jià)的方程組即其中,,可求得的特征值為，對(duì)應(yīng)的特征向量分別為于是由上例知,從而其中為任意常數(shù).3相似矩陣在現(xiàn)實(shí)生活中的應(yīng)用例3.污染與環(huán)境開展的增長(zhǎng)模型——開展與環(huán)境已成為21世紀(jì)各國(guó)政府關(guān)注的重點(diǎn),為了定量分析污染與工業(yè)開展間的關(guān)系，我們可提出以下的工業(yè)增長(zhǎng)模型:解設(shè)*是*地區(qū)目前的污染水平〔以空氣或河湖水質(zhì)的*種污染指數(shù)為測(cè)量單位〕,y是目前的工業(yè)開展水平〔以*種工業(yè)開展指數(shù)為測(cè)量單位〕,以5年作為一個(gè)期間,第個(gè)期間的污染和工業(yè)開展水平分別記為*和y,它們之間的關(guān)系是：t=1,2,…(3-1)記A=,,則(3-1)的矩陣形式為t=1,2,…(3-2)如果該地區(qū)目前〔亦稱為基年〕的污染和工業(yè)開展水平=利用(3-2)就可以預(yù)測(cè)第k個(gè)期間該地區(qū)的污染和工業(yè)開展水平,這是因?yàn)橛?3-2)可得這說(shuō)明可通過(guò)求得,為此考察A能否對(duì)角化,計(jì)算出A的特征多項(xiàng)式.=||=由A有2個(gè)相異的特征值1和4知,A能對(duì)角化,所以可用性質(zhì)來(lái)計(jì)算.對(duì)于,解可得A屬于1的一個(gè)特征向量對(duì)于解可得A屬于4的一個(gè)特征向量令有A=所以=(3-3)就是所要的預(yù)測(cè)結(jié)果,對(duì)不同的值代入(4-3)即可求得.例如：假設(shè)，有,(實(shí)際上此時(shí)就是屬于4的特征向量,所以假設(shè)有這些都說(shuō)明,盡管工業(yè)開展水平可以到達(dá)相當(dāng)高的程度,但照此模式開展，環(huán)境污染不容無(wú)視.例4.人口流動(dòng)模型——假設(shè)*省城人口總數(shù)保持不變,每年有20％的農(nóng)村人口流入城鎮(zhèn),有10％的城鎮(zhèn)人口流入農(nóng)村.試問(wèn)該省城人口與農(nóng)村人口的分布最終是否會(huì)趨向一個(gè)"穩(wěn)定狀態(tài)〞？為解答這個(gè)問(wèn)題，可設(shè)該省城人口總數(shù)為m,從今年開場(chǎng),第k年該省城的城鎮(zhèn)人口和農(nóng)村人口分別設(shè)為,,據(jù)題意有即則為計(jì)算,仍考察能否對(duì)角化.計(jì)算出的特征多項(xiàng)式由于有2個(gè)相異的特征值1和0.7知,能對(duì)角化,所以可用性質(zhì)來(lái)計(jì)算.對(duì)于解可得屬于1的一個(gè)特征向量;對(duì)于解可得屬于0.7的一個(gè)特征向量.令,有,利用,可得從而有數(shù)列的極限為這說(shuō)明該省城的城鎮(zhèn)人口與農(nóng)村人口的分布會(huì)趨于一個(gè)"穩(wěn)定狀態(tài)〞:大約有為城鎮(zhèn)人口,為農(nóng)村人口.4.矩陣相似在代數(shù)方面的應(yīng)用.例5.*實(shí)驗(yàn)性生產(chǎn)線每年一月份進(jìn)展熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計(jì)，然后將熟練工支援其他生產(chǎn)部門，其缺額由招收新的非熟練工補(bǔ)齊。新、老非熟練工經(jīng)過(guò)培訓(xùn)及時(shí)間至年終考核有成為熟練工。設(shè)第年一月份統(tǒng)計(jì)的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量。求與的關(guān)系式并寫成矩陣形式:=;驗(yàn)證，是的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量，并求出相應(yīng)的特征值；當(dāng)時(shí)，求。解：〔1〕按題意有化簡(jiǎn)得對(duì)其用矩陣表示即為=，于是令，則由知，，線性無(wú)關(guān)。因。故為的特征向量，且相應(yīng)的特征值。因，故為的特征向量，且鄉(xiāng)音的特征值為。由于有=A====。由，有。于是有又，故=。因此有==完畢語(yǔ)本文通過(guò)對(duì)矩陣相似性質(zhì)與應(yīng)用問(wèn)題的深入探討，我們獲益非淺，一方面對(duì)于矩陣相似的定義以及相關(guān)理論的熟練掌握。特別是將矩陣相似與可對(duì)角化矩陣這兩個(gè)問(wèn)題緊湊的聯(lián)系在一起。將矩陣問(wèn)題應(yīng)用定義定理轉(zhuǎn)化為與一個(gè)相似對(duì)角型矩陣或者是假設(shè)爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型進(jìn)而使問(wèn)題研究簡(jiǎn)化。由于矩陣相似的性質(zhì)特性決定其應(yīng)用圍相當(dāng)廣泛。比方其在微分方程、自動(dòng)控制理論根底等領(lǐng)域的應(yīng)用，使其與相似矩陣的概念和性質(zhì)能夠相互融會(huì)貫穿起來(lái)。提高對(duì)相似矩陣深入的研究。參考文獻(xiàn)[1]交通大學(xué)數(shù)學(xué)系主