相似矩陣的性質及應用

-.z.華北水利水電大學相似矩陣的性質及應用課程名稱：線性代數(shù)專業(yè)班級：成員組成：聯(lián)系方式：2013年11月6日摘要：假設矩陣P可逆,則矩陣P-1AP與A稱為相似。矩陣相似的概念是為深入研究矩陣特性而提出的，其中一局部的問題可以轉化為與一個對角化矩陣相似問題進而使問題研究簡化，而另一些矩陣不能與一個對角矩陣相似，則這類問題就只能用定義或者假設而當標準型來解決。相似矩陣有很多應用。例如：利用相似矩陣的性質來確定矩陣中未知元素方法的完整性；兩個相似矩陣屬于同一個特征值的特征向量之間的關系；矩陣相似與特征多項式的等價條件及相關結果；尤其是矩陣的標準形及其對角化問題,在高等代數(shù)和其他學科中都有極其廣泛的應用。本文將討論相似矩陣的有關性質及其應用。關鍵詞：相似矩陣；對角化；Jordan標準型；特征向量；特征值英文題目：Thepropertiesandapplicationofsimilarmatri*Abstract:Therearealotofapplicationsaboutsimilarmatri*.Matri*forfurtherresearchistheconceptofsimilaritymatri*characteristics,andthatpartoftheproblemcanbeconvertedintosimilarproblemswithadiagonalizationmatri*tosimplifytheproblemstudy,whileothersmatri*cannotbesimilartoadiagonalmatri*,sothiskindofproblemcanonlyuseadefinitionorifandwhenthestandardtosolve.Fore*ample,wecandiscusstheintegralityofthemethodbyusingthepropertiesofsimilarmatricestoconfirmunknownelementsandcharacteristicsubspacesofsimilarmatricesbelongtothesamecharacteristicvalueareisomorphism.Alsowemaydiscusstheequivalentconditionsforsimilarmatricesandtheircharacteristicpolynomialandtheircorrespondingresults,especially,applicationsofdigitalizationmatricesinadvancedalgebratheoryandothersubjectsareprobedinto.InthispaperIwillgiveoutsomecorrespondingpropertiesofsimilarmatricesandshowtheirappliance.Keywords:similarmatrices;diagonalmatri*;Jordan’snormalform;characteristicvalue;characteristicvector引言：矩陣相似的理論是數(shù)學分析的重要概念之一，同時也是教學中的難點之一，特別是矩陣相似與可對角化矩陣問題，在各個版本的數(shù)學類圖書中，往往將這兩個問題緊湊的聯(lián)系在一起。由于矩陣相似的應用圍相當廣泛。本文主要是從矩陣相似定義以及各種性質的理論根底上直接引入矩陣在微分方程、自動控制理論根底等領域應用的實例并由此進展研究，也使這局部容能夠相互融合起來，更有利于學習者的掌握和應用。1.矩陣相似的定義與根本性質1.1矩陣相似的定義設A,B是n階方陣,如果存在可逆陣P使得P-1AP=B,則稱矩陣A與B相似.假設矩陣A相似于對角陣,則稱A可相似對角化,即存在可逆陣P使,為A的n個特征值.令為非奇異矩陣，考察矩陣的線性變換令線性變換的特征值為，對應的特征向量為，即將式代入上式，即有或令或，則式可以寫作比擬和兩式可知，矩陣A和具有一樣的特征值，并且矩陣B的特征向量是矩陣的特征向量的線性變換，即。由于矩陣和的特征值一樣，特征向量存在線性變換的關系，所以稱這兩個矩陣"相似〞。于是：設、都是階方陣，假設有可逆方陣，使，則稱是的相似矩陣。或者說矩陣與相似。對進展運算稱為對進展相似變換。可逆矩陣稱為把變成的相似變換陣。1.2矩陣相似的一些根本性質：自反性：。對稱性：則。傳遞性：及可得：。如果階矩陣,相似，則它們有一樣的特征值。但逆命題不成立。相似矩陣另外的一些特性：1)相似矩陣有一樣的秩。2)相似矩陣的行列式相等。3)相似矩陣或都可逆，或都不可逆。當它們可逆時，它們的逆也相似。4)則，、、〔假設，均可逆〕、從而，有一樣的特征值。5).假設A與B都可對角化,則A與B相似的充分條件是A與B由一樣的特征多項式.6).A的屬于同一特征值的特征向量的線形組合只要不是零向量,仍是對應的特征向量.7).A的屬于不同特征值的特征向量線形無關.8).實對稱矩陣A的特征值都是實數(shù),屬于不同特征值的特征向量正交.9).假設是實對稱矩陣A的r重特征值,則A對應特征值恰有r個線性無關的特征向量.10).任何一個n階復矩陣A都與一個Jordan形矩陣相似.11).對n階方陣A，以下三條等價:⑴A可對角化;⑵A有n個特征值〔重根按重數(shù)計〕，且r〔＞1〕重特征值;⑶A有n個線性無關的特征向量.12).對角化的根本方法有如下兩種:特征值法,特征向量法.1.3相似矩陣與假設爾當標準形雖然非單純矩陣不能相似于對角陣，但它能夠相似于一個形式上比對角矩陣稍微復雜的假設爾當標準形。由于假設爾當標準形的獨特構造提醒了兩個矩陣相似的本質關系，故在數(shù)值計算和理論推導中經常采用。利用它不僅容易求出矩陣的乘冪，還可以討論矩陣函數(shù)和矩陣級數(shù)，求解矩陣微分方程。定義：形如的方陣稱為階假設爾當塊。其中可以是實數(shù)，也可以是復數(shù)。定理：矩陣的充要條件是他們相應的特征矩陣。每個階復矩陣都與一個假設爾當標準形相似，且這個假設爾當標準形在不計其中假設爾當塊的排列次序時，完全有矩陣唯一決定。復矩陣可對角化的充要條件是的特征矩陣的初等因子全為一次式。2.相似矩陣在微分方程中的應用許多實際問題最后都歸結為求解微分方程〔組〕的問題.因此,如何求解微分方程〔組〕是個很重要的問題.下面舉例說明特征值和特征向量,約當標準形在其中的應用.2.1將常系數(shù)線性微分方程組(2-1)寫成矩陣形式(2-2)其中u=(,為系數(shù)矩陣,令(3-2)式的解u=,(2-3)即(=.將(2-3)式代入〔2-2〕得==,化簡得,即(2-3)式中為A的特征值,*為對應的特征向量;假設A可對角化,則存在n個線性無關的特征向量于是得到(2-2)式的n個線性無關的特解.u=,u=,u=.它們的線性組合c+c+…+c,(2-4)(其中為任意常數(shù))為(2-1)式的一般解,將(2-4)式改寫成矩陣形式u=,記c=(),=()p=,則(2-1)式或(2-2)式有一般解(2-5)對于初值問題(2-6)解為(2-7)因為t=0代入(2-5)式得c=.例2解線性常系數(shù)微分方程組初始值為:解此題的初始值問題為其中,可得A的約當標準形,即有可逆矩陣=,使.由(2-7)式,該初值問題的解為(2-8)其中(2-9)(2-10)將(2-10)式代入(2-9)式得(2-11)再將(2-11)式及代入(2-8)式得2.2對于階線性齊次常系數(shù)微分方程(2-12)可令于是可得與方程(2-12)同解的方程組(2-13)式(2-13)可寫成矩陣形式(2-14)其中,,于是這類微分方程可以歸納為等價的線性微分方程組,然后再利用特征值和特征向量求解.例2.求解微分方程(2-15)解令于是(2-15)式可變成等價的方程組即其中,,可求得的特征值為，對應的特征向量分別為于是由上例知,從而其中為任意常數(shù).3相似矩陣在現(xiàn)實生活中的應用例3.污染與環(huán)境開展的增長模型——開展與環(huán)境已成為21世紀各國政府關注的重點,為了定量分析污染與工業(yè)開展間的關系，我們可提出以下的工業(yè)增長模型:解設*是*地區(qū)目前的污染水平〔以空氣或河湖水質的*種污染指數(shù)為測量單位〕,y是目前的工業(yè)開展水平〔以*種工業(yè)開展指數(shù)為測量單位〕,以5年作為一個期間,第個期間的污染和工業(yè)開展水平分別記為*和y,它們之間的關系是：t=1,2,…(3-1)記A=,,則(3-1)的矩陣形式為t=1,2,…(3-2)如果該地區(qū)目前〔亦稱為基年〕的污染和工業(yè)開展水平=利用(3-2)就可以預測第k個期間該地區(qū)的污染和工業(yè)開展水平,這是因為由(3-2)可得這說明可通過求得,為此考察A能否對角化,計算出A的特征多項式.=||=由A有2個相異的特征值1和4知,A能對角化,所以可用性質來計算.對于,解可得A屬于1的一個特征向量對于解可得A屬于4的一個特征向量令有A=所以=(3-3)就是所要的預測結果,對不同的值代入(4-3)即可求得.例如：假設，有,(實際上此時就是屬于4的特征向量,所以假設有這些都說明,盡管工業(yè)開展水平可以到達相當高的程度,但照此模式開展，環(huán)境污染不容無視.例4.人口流動模型——假設*省城人口總數(shù)保持不變,每年有20％的農村人口流入城鎮(zhèn),有10％的城鎮(zhèn)人口流入農村.試問該省城人口與農村人口的分布最終是否會趨向一個"穩(wěn)定狀態(tài)〞？為解答這個問題，可設該省城人口總數(shù)為m,從今年開場,第k年該省城的城鎮(zhèn)人口和農村人口分別設為,,據題意有即則為計算,仍考察能否對角化.計算出的特征多項式由于有2個相異的特征值1和0.7知,能對角化,所以可用性質來計算.對于解可得屬于1的一個特征向量;對于解可得屬于0.7的一個特征向量.令,有,利用,可得從而有數(shù)列的極限為這說明該省城的城鎮(zhèn)人口與農村人口的分布會趨于一個"穩(wěn)定狀態(tài)〞:大約有為城鎮(zhèn)人口,為農村人口.4.矩陣相似在代數(shù)方面的應用.例5.*實驗性生產線每年一月份進展熟練工與非熟練工的人數(shù)統(tǒng)計，然后將熟練工支援其他生產部門，其缺額由招收新的非熟練工補齊。新、老非熟練工經過培訓及時間至年終考核有成為熟練工。設第年一月份統(tǒng)計的熟練工和非熟練工所占百分比分別為和，記成向量。求與的關系式并寫成矩陣形式:=;驗證，是的兩個線性無關的特征向量，并求出相應的特征值；當時，求。解：〔1〕按題意有化簡得對其用矩陣表示即為=，于是令，則由知，，線性無關。因。故為的特征向量，且相應的特征值。因，故為的特征向量，且鄉(xiāng)音的特征值為。由于有=A====。由，有。于是有又，故=。因此有==完畢語本文通過對矩陣相似性質與應用問題的深入探討，我們獲益非淺，一方面對于矩陣相似的定義以及相關理論的熟練掌握。特別是將矩陣相似與可對角化矩陣這兩個問題緊湊的聯(lián)系在一起。將矩陣問題應用定義定理轉化為與一個相似對角型矩陣或者是假設爾當標準型進而使問題研究簡化。由于矩陣相似的性質特性決定其應用圍相當廣泛。比方其在微分方程、自動控制理論根底等領域的應用，使其與相似矩陣的概念和性質能夠相互融會貫穿起來。提高對相似矩陣深入的研究。參考文獻[1]交通大學數(shù)學系主