等差數(shù)列的前項和優(yōu)質(zhì)課比賽

等差數(shù)列的前項和優(yōu)質(zhì)課比賽課件第1頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三高斯（Gauss,1777—1855），德國著名數(shù)學(xué)家，他研究的內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域，是歷史上最偉大的數(shù)學(xué)家之一，被譽為“數(shù)學(xué)王子”.第2頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三有一次，老師與高斯去買鉛筆，在商店發(fā)現(xiàn)了一個堆放鉛筆的V形架，V形架的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層放100支.老師問：高斯，你知道這個V形架上共放著多少支鉛筆嗎？創(chuàng)設(shè)情景問題就是：計算1＋

2＋

3＋…＋

99＋100第3頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三高斯的算法計算：1＋

2＋

3＋…＋

99＋100高斯算法的高明之處在于他發(fā)現(xiàn)這100個數(shù)可以分為50組：第一個數(shù)與最后一個數(shù)一組；第二個數(shù)與倒數(shù)第二個數(shù)一組；第三個數(shù)與倒數(shù)第三個數(shù)一組，……每組數(shù)的和均相等，都等于101，50個101就等于5050了。高斯算法將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運算，迅速準確得到了結(jié)果.首尾配對相加法中間的一組數(shù)是什么呢？第4頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三若V形架的的最下面一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面一層多放一支，最上面一層有很多支鉛筆，老師說有n支。問：這個V形架上共放著多少支鉛筆？創(chuàng)設(shè)情景問題就是：1＋

2＋

3＋…＋

(n-1)＋n若用首尾配對相加法，需要分類討論.三角形平行四邊形第5頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三n＋

(n-1)＋

(n-2)＋…＋

2＋1倒序相加法那么，對一般的等差數(shù)列，如何求它的前n項和呢？前n項和分析：這其實是求一個具體的等差數(shù)列前n項和.①②第6頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三問題分析已知等差數(shù)列｛an

｝的首項為a1，項數(shù)是n，第n項為an，求前n項和Sn.如何才能將等式的右邊化簡？①②第7頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三由此得到等差數(shù)列的{an}前n項和的公式即：等差數(shù)列前n項的和等于首末項的和與項數(shù)乘積的一半。上面的公式又可以寫成差由等數(shù)列的通項公式an=a1+(n-1)d解題時需根據(jù)已知條件決定選用哪個公式。知三求二第8頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n項和公式.na1an第9頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三公式的記憶我們可結(jié)合梯形的面積公式來記憶等差數(shù)列前n項和公式.a1(n-1)dna1an將圖形分割成一個平行四邊形和一個三角形.第10頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三公式應(yīng)用根據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛an｝的Sn

：（1）a1=5，an=95，n=10

（2）a1=100，d=－2，n=50練一練5002550第11頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三已知等差數(shù)列{an}．(2)a1＝4，S8＝172，求a8和d.[思路探索]根據(jù)等差數(shù)列前n項和公式解方程．題型一

與等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本量的計算【例1】第12頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三a1，d，n稱為等差數(shù)列的三個基本量，an和Sn都可以用這三個基本量來表示，五個量a1，d，n，an，Sn中可知三求二，一般通過通項公式和前n項和公式聯(lián)立方程(組)求解，在求解過程中要注意整體思想的運用．第13頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三在等差數(shù)列{an}中；(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；(2)已知a3＋a15＝40，求S17.【變式1】第14頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三解：由題意，該市在“校校通”工程中每年投入的資金構(gòu)成等差數(shù)列{an}，【例2】2000年11月14日教育部下發(fā)了《關(guān)于在中小學(xué)實施“校校通”工程的通知》，某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學(xué)建成不同標準的校園網(wǎng).據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么，從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？故，該市在未來10年內(nèi)的總投入為答：從2001年起的未來10年內(nèi)，該市在“校校通”工程中的總投入是7250萬元.且a1=500,d=50,n=10.題型二利用等差數(shù)列求和公式解決實際問題第15頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

【變式2】一個屋頂?shù)哪骋恍泵娉傻妊菪危钌厦嬉粚愉佂咂?1塊，往下每一層多鋪1塊，斜面上鋪了19層，共鋪瓦片多少塊？解：由題意，該屋頂斜面每層所鋪的瓦片數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，且a1=21，d=1，n=19.答：屋頂斜面共鋪瓦片570塊.于是，屋頂斜面共鋪瓦片：第16頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三題型三

利用Sn求an已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝3＋2n，求an.解

(1)當(dāng)n＝1時，a1＝S1＝3＋2＝5.(2)當(dāng)n≥2時，Sn－1＝3＋2n－1，又Sn＝3＋2n，∴an＝Sn－Sn－1＝2n－2n－1＝2n－1.又當(dāng)n＝1時，a1＝21－1＝1≠5，【例3】第17頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三(1)已知Sn求an，其方法是an＝Sn－Sn－1(n≥2)，這里常常因為忽略條件“n≥2”而出錯．第18頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三

已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n2＋3n，求an.解

a1＝S1＝5，當(dāng)n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n)－[2(n－1)2＋3(n－1)]＝4n＋1，當(dāng)n＝1時也適合，∴an＝4n＋1.【變式3】第19頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三【例4】已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？解：由于S10＝310，S20＝1220，將它們代入公式可得所以題型四已知等差數(shù)列的某些項的和求出n項和第20頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三【例4】已知一個等差數(shù)列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎？另解：

兩式相減得第21頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三一個等差數(shù)列的前10項之和為100，前100項之和為10，求前110項之和．[思路探索]解答本題可利用前n項和公式求出a1和d，即可求出S110，或利用等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)求解．【變式4】第22頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三第23頁，共26頁，2023年，2月20日，星期三故此數(shù)列的前110項之和為－110.法二數(shù)列S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100為等差數(shù)列，設(shè)公差為d′，則又∵S10＝100，代入上式得d′＝－22，∴S110－S100＝S10＋(11－1)×d′＝100＋10×(－22)＝－120，∴S110＝－120＋S100＝－110.法三設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和