第四章靜態(tài)場中的邊值問題

第四章靜態(tài)場中的邊值問題第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三解邊界值問題的方法：

1、理論計算方法◆解析法◆近似計算法數(shù)值計算法圖解法

2、場的實驗研究方法：◆直接測量法◆電模擬法第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.1問題的分類一、分布型問題(1)已知場源分布，求解電場或磁場。(2)已知電場（或電位）、磁場分布，反推場源。二、邊值型問題邊值型問題究竟是什么？邊值型問題都有哪些類型？怎樣保證邊值型問題有且僅有惟一解？（惟一性定理）第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三靜態(tài)場邊值型問題：已知場量（或其位函數(shù)）在場域邊界上的值（含法向?qū)?shù)），求解場域內(nèi)部任一點的場量。定解條件=泛定方程+邊界條件+初始條件。銜接條件：在場域內(nèi)，媒質(zhì)參數(shù)必須是已知的，但允許它們突變（即存在不同媒質(zhì)的分界面）或漸變（是空間坐標(biāo)的函數(shù)）。在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或其位函數(shù)）應(yīng)滿足邊值關(guān)系，在偏微分方程定解問題中常被稱為銜接條件。第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

靜態(tài)場邊值問題解滿足3個條件：(1)

對于場域的內(nèi)點（既非邊界點又不在媒質(zhì)分界面上的點）泛定方程成立；(2)

在不同媒質(zhì)分界面的兩側(cè)，場量（或位函數(shù)）邊值關(guān)系（銜接條件）成立；(3)

對于場域的邊界點，場量（或其位函數(shù)）符合給定的邊界條件。第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

邊值型問題的分類方法（以電位函數(shù)的泊松方程為例）第一類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位。為狄里赫利問題（Dirichlet）。第二類邊值問題的特征：已知全部邊界上任一點的電位的法向?qū)?shù)。稱為諾埃曼問題(Neumann)。第三類邊值問題的特征是：已知部分邊界上任一點的電位和另一部分邊界上任一點的電位的法向?qū)?shù)。稱為混合邊值問題(Robbin)。

第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.2惟一性定理惟一性定理：在每一類邊界條件下，泊松方程或拉普拉斯方程的解唯一

【反證法】

假如存在兩個滿足相同邊界條件的不同解和令在場域內(nèi)，u滿足拉普拉斯方程在邊界上，要么（第一類邊值問題），要么（第二類邊值問題）。令格林第一恒等式（1-157）中的，即第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

因為，并且u（或u的法向?qū)?shù)）沿處處等于0，上式簡化為即u梯度等于0。故在場域內(nèi)，u=常數(shù)。對于第一類邊值型問題，電位不可躍變，故在場域內(nèi)，u=0，從而。故對于第一類邊值問題，電位的解惟一對于第二類邊值型問題，u未必是0，可以是任一常數(shù)，但對于電場強度和電位移矢量來說，解仍然是惟一的，因為常數(shù)的梯度恒等于0。第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三說明：①第一、二、三類邊值問題是適定的因為它們對邊界條件提出的要求既是充分的也是必要的。求解時先判斷問題的邊界條件是否足夠，當(dāng)滿足必要條件時，則可斷定解是唯一的。用不同方法得到的形式上不同的解是等價的。②定理說明：只要能夠找一個滿足邊界條件的位函數(shù)，且這個位函數(shù)又滿足拉普拉斯方程，則這就是所求的解。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.2直角坐標(biāo)中的分離變量法◆分離變量法：通過偏微分方程求解邊值問題?！艋舅枷耄?/p>

1.要求給定邊界與一個適當(dāng)坐標(biāo)系的坐標(biāo)面相合，或者至少分段地與坐標(biāo)面相合；

2.在坐標(biāo)系中，待求偏微分方程的解可表示為三個函數(shù)的乘積，其中的每個函數(shù)分別僅是一個坐標(biāo)的函數(shù)。

3.通過分離變量將偏微分方程化為常微分方程求解。第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三◆二維問題的分離變量過程：若邊界面形狀適合用直角坐標(biāo)表示，則在直角坐標(biāo)系中求解，以二維的拉普拉斯方程為例，求解電位函數(shù)，設(shè)，電位函數(shù)滿足（4-1）待求的電位函數(shù)用二個函數(shù)的乘積表示為 （4-2）將式（4-2）代入式（4-1），得第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三用除上式，得

（4-3）上式成立的唯一條件是二項中每項都是常數(shù)，故有 （4-4） （4-5）為分離常數(shù)，是待定的常數(shù)，須滿足（4-6）第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三1.當(dāng)時方程（4-4）和(4-5)的解為方程（4-1）的解為

(4-7)2.當(dāng),時,

方程（4-5）和(4-6)的解為

(4-8) (4-9a）或第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

所以

(4-10a)

或

(4-10b)3.當(dāng),時，同理可得（4-11a）（4-11b）綜上所述：

a：當(dāng)時，偏微分方程（4-1）的通解為

第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

(4-12a）或（4-12b）b.當(dāng)時，偏微分方程（4-1）的通解為

（4-13a）第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

或（4-13b）拉普拉斯方程的解：

然后根據(jù)所給定的邊界條件定出滿足所有邊界條件的具體問題的解（包括待定常數(shù)和分離常數(shù)）。第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.3圓柱坐標(biāo)系中的分離變量法對二維平面場，即與無關(guān)的情形，拉普拉斯方程變?yōu)椋?-25）

設(shè)解具有，代入上式化簡（4-26）要上式對所有的r、值成立，須每項都等于常數(shù)。令第一項等于（），得第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

（4-27） （4-28）1.當(dāng)時，（4-27）的解為2.當(dāng)時，（4-27）的解為如果所討論的空間包含從0→2，因為必須是單值的，即，（4-29）第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

（4-28）式變?yōu)椋?-30）即（4-31）式（4-31）為歐拉方程，場與無關(guān)。1.當(dāng)時，（4-31）式的解為

2.當(dāng)時，（4-31）式的解為（4-32）第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三圓柱坐標(biāo)中二維場的的通解

（4-33）由于（K為整數(shù)），所以（4-33）式中的第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.4球坐標(biāo)系中的分離變量法討論場問題與坐標(biāo)無關(guān)時：與坐標(biāo)無關(guān)的拉普拉斯方程為（4-47）令，代入上式得第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三得到關(guān)于和的常微分方程：（4-48）（4-49）引入一個新的自變量，有式（4-49）可變?yōu)椋?-50）

這是勒讓德方程。第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三對于x的變化范圍從1到-1的情況，勒讓德方程有一個有界解（4-51）稱為勒讓德多項式。方程（4-48）是歐拉方程，其解為方程（4-47）的通解為（4-52）該式的系數(shù)由問題的邊界條件確定。第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三勒讓德多項式的前幾項：勒讓德多項式具有正交性第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.5鏡像法◆鏡像法的基本思想：

1.電場區(qū)域外某個位置上，有一假想鏡像電荷。

2.電荷的引入不改變所求電場區(qū)域的場方程，鏡像電荷產(chǎn)生的電場與導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)產(chǎn)生的電場等效。

3.鏡像電荷代替導(dǎo)體面(或介質(zhì)面)上的感應(yīng)電荷(或極化電荷)后：

首先所求電場區(qū)域內(nèi)的場方程不變，

其次給定的邊界條件仍滿足，第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

由靜電場的惟一性定理：用鏡像電荷代替后所解得的電場必是唯一正確的解。◆鏡像法的實質(zhì)：

將靜電場的邊值問題轉(zhuǎn)化為無界空間中計算電荷分布的電場問題。在區(qū)域外的假象電荷（或電流）稱為鏡像電荷（或電流），大多是一些點電荷或線電荷（二維平面場情況）。鏡像法往往比分離變量法簡單，容易寫出所求問題的解，但它只能用于一些特殊的邊界情況。第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用鏡像法求解的關(guān)鍵：

如何確定像電荷鏡像電荷的確定應(yīng)應(yīng)遵循以下兩條原則：

（根據(jù)唯一性定理）(1)所有的鏡像電荷必須位于所求的場域以外的空間中。(2)鏡像電荷的個數(shù)、位置及電荷量的大小由滿足場域邊界上的邊界條件來確定。第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

一、靜電場中的鏡像法1.平面邊界的鏡像法【例4-6】

設(shè)在無限大導(dǎo)體平面()附近有一點電荷，與平面距離為，導(dǎo)體平面是等位面，假設(shè)其電位為零，如圖4-6所示。求上半空間中的電場。

（a）（b）圖4-6平面邊界的鏡像法第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

【解】

1.在的上半空間內(nèi)，除點電荷外，電位滿足拉普拉斯方程；

2.由于導(dǎo)體接地，所以在處，。

3.設(shè)導(dǎo)體平面不存在，在平面與點電荷對稱地放置一點電荷(相反電荷)，則平面仍為零電位面。

4.在的上半空間內(nèi)，圖4-6（a）和圖4-6（b）具有相同的電荷分布。根據(jù)唯一性定理，圖4-6（a）中上半空間的電位分布與圖4-6（b）的上半空間電位分布相同。可用和其像電荷()構(gòu)成的系統(tǒng)來代替原來的邊值問題。上半空間內(nèi)任意點的電位為第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

（4-66）由（4-66）式，可求出平面導(dǎo)體上的感應(yīng)電荷密度為（4-67）導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷為（4-68）可見：導(dǎo)體平面上總的感應(yīng)電荷恰好等于所設(shè)置的鏡像電荷。

第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

【例4-7】如圖4-7所示，為無限大接地的導(dǎo)電（平面（電壁），在處有一無限長均勻帶電的細直導(dǎo)線，導(dǎo)線與y軸平行且經(jīng)過直角坐標(biāo)（0，0，h）點，求上半空間（）場的電位函數(shù)。

圖4-7線電荷的平面鏡像第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

【解】電壁的作用可以等效為：鏡像位置處的鏡像線電荷（線電荷密度不變，但極性相反）。設(shè)細直導(dǎo)線的電荷密度為，則鏡像線電荷密度為。這時，帶電體系在空間的電位為式中不能選為無窮遠點。同樣第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

式中，所以第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三2.角形區(qū)域的鏡像法圖4-9所示為相交成直角的兩個導(dǎo)體平面AOB附近的一個點電荷的情形，也可以用鏡像法求解。

圖4-9點電荷對角形區(qū)域的鏡像第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三q在OA面的鏡像為在點的-q，又q在OB面的鏡像為在點的-q，這樣并不能使OA和OB平面成為等位面。若在點處再設(shè)置一個電荷q，則一個原點電荷和三個像電荷共同的作用將OA和OB保持相等電位能滿足原來的邊界條件，故所求區(qū)域內(nèi)任一點的電位函數(shù)不僅相交成直角的兩個導(dǎo)體平面間的場可用鏡像法求解，所有相互成的兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面間的場都可用鏡像法求解，像電荷個數(shù)為。例如，兩塊半無限大接地導(dǎo)體平面角域內(nèi)點電荷的像電荷，如圖4-10所示。第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

圖4-10夾角為兩塊半無限大接地導(dǎo)板的鏡象第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三3.球面邊界的鏡像法基本思想：當(dāng)一個電荷位于導(dǎo)體球面附近時，導(dǎo)體球面上會出現(xiàn)感應(yīng)電荷，球外任一點的電位由點電荷和感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生。這類問題仍用鏡像電荷來代替分界面的感應(yīng)電荷對電位的貢獻，出發(fā)點仍是在所求解區(qū)域內(nèi)，電位函數(shù)滿足方程和邊界條件。第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

【例4-9】

設(shè)一點電荷與半徑為a的接地導(dǎo)體球心相距，如圖4-11所示。試推導(dǎo)球外的電位函數(shù)。

圖4-11點電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像第38頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

【解】:

接地后，球上只剩下同異號的感應(yīng)電荷。球面上感應(yīng)電荷分布在面對的一側(cè)密度較大，設(shè)想在點有一個鏡像電荷，點是在OP1線上偏離球心的一點，設(shè)與球心距離為。根據(jù)鏡像法，將原導(dǎo)體球移去，及像電荷在原球面上任一點處產(chǎn)生的電位應(yīng)為零。即在球面上取兩特殊點，上式轉(zhuǎn)化為第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三由以上兩個方程解得球外任意點的電位為式中，第40頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三這樣可求得電場的分量為時，球面上的感應(yīng)電荷密度為第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三球面上總感應(yīng)電量為

導(dǎo)體上總的感應(yīng)電荷量等于像電荷的電荷量。在上述問題中，若導(dǎo)體球不接地，球面上除了分布有感應(yīng)負(fù)電荷外，還分布有感應(yīng)正電荷，且球面的凈電荷為零，此時導(dǎo)體球的電位不為零，為保持球面是等位面還需在球上再加上一個鏡像電荷；且此必須放在球心處，如圖4-12所示。第42頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三

圖4-12點電荷對不接地導(dǎo)體球的鏡像這種情況下球外任意點的電位為此時球的電位等于在球面上產(chǎn)生的電位它等于球不存在時在O點時產(chǎn)生的電位。第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三4.柱面邊界的鏡像法

【例4-10】線電荷密度為的無限長帶電直線與半徑為a的接地?zé)o限長導(dǎo)體圓柱的軸線平行，直線到圓柱軸線的距離為，如圖4-13所示。求圓柱外空間的電位函數(shù)。

圖4-13線電荷對接地導(dǎo)體球的鏡像第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期三【解】導(dǎo)體圓柱在線電荷的電場作用下，柱面上會出現(xiàn)感應(yīng)電荷。柱外空間任一點的電位等于線電荷和感應(yīng)電荷分別產(chǎn)生的電位的迭加。顯然，