數(shù)理方法課件 15第十五章 貝塞爾函數(shù)

第十五章貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)其它柱函數(shù)Besselfunctions115.1貝塞爾函數(shù)1.問題的引入求半徑a、高h(yuǎn)

的均勻圓柱體內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度分布，

其下底和側(cè)面溫度為零，上端溫度為f(,)

ah2變量分離的特解帶入泛定方程逐個(gè)分離變量：解為3本章將證明，對給定的非負(fù)整數(shù)n,本征值本征函數(shù)是n

階貝塞爾函數(shù)Jn(x)的第m

個(gè)正零點(diǎn)

k=0時(shí)邊界條件

A=B=04所求定解問題變量分離的特解作變換n

階

Bessel方程貝塞爾方程的導(dǎo)出52.ν階貝塞爾方程的正則解

x=0為正則奇點(diǎn)，嘗試正則解帶入貝塞爾方程(補(bǔ)充c–1=c–2=0)：6指標(biāo)方程指標(biāo)遞歸關(guān)系考慮正則解最低次冪(k=0的項(xiàng))系數(shù)為07ν

不是負(fù)整數(shù)時(shí)的正則解取p=1,2,…,m

時(shí)的等式相乘8階乘的推廣：Γ函數(shù)[§4.2]基本性質(zhì)：Rez>0時(shí)奇點(diǎn)為z=0及負(fù)整數(shù)，均為一階極點(diǎn)連乘決：9ν階

Bessel函數(shù)取推廣到負(fù)整數(shù)ν=–n

，應(yīng)用對任何x0，級數(shù)絕對收斂103.貝塞爾方程的通解對非整數(shù)的ν，通解隨x

而變線性無關(guān)11對ν=n為整數(shù)，通解諾依曼函數(shù)洛必達(dá)法則

在

x=0附近的奇異性124.整數(shù)階貝塞爾函數(shù)Jn(x)

震蕩衰減在正實(shí)軸上有

無窮多個(gè)零點(diǎn)13

Jn(x)的零點(diǎn)特征②

Jn(x),Jn+1(x)的

正零點(diǎn)交替出現(xiàn)④漸進(jìn)公式

③①

零點(diǎn)都是實(shí)數(shù)14

貝塞爾方程的本征問題k≠0，通解R(0)有限R(a)=0本征值本征函數(shù)151.Jn(x)的母函數(shù)15.2貝塞爾函數(shù)的性質(zhì)證明：16證明：積分表示：展開系數(shù)看作洛朗展開172.貝塞爾函數(shù)的遞推公式等價(jià)形式：推論1：推論2：18證：19(1)運(yùn)用例1：計(jì)算解：(2)運(yùn)用20例2：計(jì)算解：積分表示完成對x的積分：213.貝塞爾函數(shù)系的正交歸一性n

階貝塞爾函數(shù)序列在

[0,a]帶權(quán)ρ

正交若f(ρ)是連續(xù)函數(shù)，f(a)=0，則有展開22證明：23(i)取正交性(洛必達(dá)法則)(ii)24例3：求半徑a

、高h(yuǎn)

的圓柱體內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度分布，

其上端溫度為u0

，其它表面溫度為零解：ah軸對稱特解25通解特解的疊加：2615.3其它柱函數(shù)第一類柱函數(shù)

(Bessel

函數(shù))第二類柱函數(shù)

(Neuman

函數(shù))1.三類柱函數(shù)第三類柱函數(shù)

(Hankel

函數(shù))27

Nn(x)

滿足n

階Bessel

方程對參數(shù)求微分：

表達(dá)式28漸進(jìn)公式對所有的ν，ν階貝塞爾方程的通解：292.虛宗量貝塞爾函數(shù)例1：求半徑a、高h(yuǎn)

的圓柱體內(nèi)穩(wěn)態(tài)溫度分布，

其側(cè)面溫度為

u0，其它表面溫度為零解：ah軸對稱特解30通解特解的疊加：31第一類虛宗量柱函數(shù)(虛宗量Bessel函數(shù))第二類虛宗量柱函數(shù)(虛宗量Neuman函數(shù))通解323.球貝塞爾函數(shù)(1)赫姆霍茲方程在球坐標(biāo)下分離變量33(2)球貝塞爾方程的解---球貝塞爾函數(shù)貝塞爾方程設(shè)四類球貝塞爾函數(shù)34(3)整數(shù)階球貝塞爾函數(shù)連乘決35將遞推關(guān)系改寫為應(yīng)用n

次：取ν

=1/2

36(4)球貝塞爾方程本征問題通解x→0

時(shí)：Jl+1/2(x)的第m

個(gè)正零點(diǎn)記為k=0

不是本征值本征值本征函數(shù)37本征函數(shù)帶權(quán)r2

正交：微分