第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論

第七章應(yīng)力狀態(tài)和強度理論第1頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三軸向拉壓同一橫截面上各點應(yīng)力相等：FF同一點在斜截面上時：同一點在不同方位截面上，它的應(yīng)力也是各不相同的第2頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三

橫截面上正應(yīng)力分析和切應(yīng)力分析的結(jié)果表明：同一面上不同點的應(yīng)力各不相同。第3頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三FlaS13S平面zMzT4321yx第4頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§7-1應(yīng)力狀態(tài)的基本概念一、單元體微元單元體單元體邊長無窮??；應(yīng)力沿邊長無變化；單元體各個面上的應(yīng)力是均勻分布的；兩個平行面上的應(yīng)力大小相等。第5頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三二、應(yīng)力狀態(tài)的概念受力構(gòu)件內(nèi)一點處不同方位截面上應(yīng)力的集合，稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài)。三、主單元體、主應(yīng)力與主平面主單元體：各側(cè)面上切應(yīng)力均為零的單元體。主平面：切應(yīng)力為零的平面。主應(yīng)力：主平面上的正應(yīng)力。主應(yīng)力排列規(guī)定：按代數(shù)值大小，第6頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三、應(yīng)力狀態(tài)的分類三個主應(yīng)力中只有一個不等于0

單向應(yīng)力狀態(tài)第7頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三個主應(yīng)力中有兩個不等于0

二向（平面）應(yīng)力狀態(tài)三、應(yīng)力狀態(tài)的分類第8頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三個主應(yīng)力都不等于0

三向（空間）應(yīng)力狀態(tài)三、應(yīng)力狀態(tài)的分類在車輪壓力作用下，車輪與鋼軌接觸點A處的應(yīng)力狀態(tài)

第9頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§7-2平面應(yīng)力狀態(tài)分析一、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的解析法平面應(yīng)力狀態(tài)是工程中最為常見的一種應(yīng)力情況，一般的單元體如圖：1、解析法求斜截面上的應(yīng)力第10頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三左圖中上述各項方向均為正方向

切應(yīng)力的符號規(guī)定：若切應(yīng)力對所在截面內(nèi)側(cè)任意點之矩為順時針方向時，為正號，反之，逆為負號。

正應(yīng)力的符號規(guī)定：正應(yīng)力為拉應(yīng)力，即方向背離截面時，規(guī)定為正；正應(yīng)力為壓應(yīng)力，即方向指向截面時，規(guī)定為負。

斜截面方位角的符號規(guī)定：由x軸轉(zhuǎn)向外法線n為逆時針轉(zhuǎn)向時，α為正號，反之，順為負號。通過截面外法線的方位定義截面的位置1、解析法求斜截面上的應(yīng)力xna第11頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、解析法求斜截面上的應(yīng)力第12頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三對以上兩個式子進行數(shù)學(xué)整理，可得到任意斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的一般公式:1、解析法求斜截面上的應(yīng)力第13頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、應(yīng)力極值sa和ta隨著a的變化而變化，是a的函數(shù)，對a求導(dǎo)數(shù)可得到其極值。

若a=a0時，導(dǎo)數(shù)為0通過上式可以求出相差p/2的兩個角度a0，它們確定兩個相互垂直的面，其中一個是最大正應(yīng)力所在的平面，另一個是最小正應(yīng)力所在平面。第14頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三若將a0的值代入切應(yīng)力公式:可得:得到以下結(jié)論:1)切應(yīng)力為0的平面上，正應(yīng)力為最大或最小值；2)切應(yīng)力為0的平面是主平面，主平面上的正應(yīng)力是主應(yīng)力，所以主應(yīng)力就是最大或者最小的正應(yīng)力。將a0代入sa的計算公式，計算得到最大和最小正應(yīng)力2、應(yīng)力極值第15頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三試求（1）斜面上的應(yīng)力；

（2）主應(yīng)力、主平面；（3）繪出主應(yīng)力單元體。例題1：一點處的平面應(yīng)力狀態(tài)如圖所示。已知第16頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三解：（1）斜面上的應(yīng)力第17頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三（2）主應(yīng)力、主平面第18頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三主平面的方位：代入表達式可知主應(yīng)力方向：主應(yīng)力方向：第19頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三（3）主應(yīng)力單元體：第20頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三課堂練習(xí):求圖示單元體斜面de上的正應(yīng)力和切應(yīng)力，主應(yīng)力，繪出主單元體，單位MPa第21頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7-2討論圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力狀態(tài)，并分析鑄鐵試件受扭時的破壞現(xiàn)象。第22頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面的邊緣處切應(yīng)力最大，其數(shù)值為:在圓軸表層，取出單元體。例7-2第23頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三n1和n2是截面的法線。因此主單元體應(yīng)如圖所示3個主應(yīng)力按照代數(shù)排序例7-2第24頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三圓截面鑄鐵試件扭轉(zhuǎn)時，表面各點smax所在平面連成傾角為45°的螺旋面。由于鑄鐵抗拉強度較低，試件將沿這一螺旋面因拉伸而發(fā)生斷裂破壞。例7-2第25頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例取n-n截面，分析上面部分承受內(nèi)壓的薄壁容器第26頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三取圖示部分加以分析如圖示取一段微面積微面積上的壓力壓力在y軸上投影和為3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例第27頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三3、二向應(yīng)力狀態(tài)實例第28頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、應(yīng)力圓的概念將以上兩式取平方和若以sa，ta

為變量，則為圓方程圓心:半徑:圓周上的每一個點的橫縱座標分別代表所研究的單元體某截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力，故稱應(yīng)力圓，或莫爾圓。二、平面應(yīng)力狀態(tài)分析的圖解法第29頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、應(yīng)力圓的繪制Step1:確定點D(sx,txy)Step2:確定點D'(sy,tyx)tyx=-txyStep3:連接DD'與s軸交于C點Step4:以C為圓心，CD（CD'）為半徑畫圓。D(sx,txy)D/(sy,tyx)cRADxy第30頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三3、利用應(yīng)力圓確定a截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力作法:D點代表的是以x軸為外法線的面上的應(yīng)力

由x軸到任意斜面法線n的夾角為逆（順）時針的a角，在應(yīng)力圓上，從D點也按逆（順）時針轉(zhuǎn)動，且使對應(yīng)的圓心角為2a。（2倍角關(guān)系）D(sx,txy)D/(sy,tyx)cxyHnH第31頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三注意根據(jù)兩倍角關(guān)系確定主平面所在的位置。4、利用應(yīng)力圓求主單元體（主應(yīng)力的大小和方位）第32頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三課堂練習(xí):已知如圖所示的單元體.求主應(yīng)力，并確定主平面的位置。

第33頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓如圖所示三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體考察圖示的三棱柱體，斜面與前后面相垂直。平行于s3的斜面上的應(yīng)力，僅與s1和s2有關(guān)，則可由s1和s2所確定的應(yīng)力圓上的相應(yīng)點的坐標來表示。同理單元體內(nèi)與s1平行的各斜面上的應(yīng)力可由s3和s2所作的應(yīng)力圓上的坐標表示，單元體內(nèi)與s2平行的各斜面上的應(yīng)力可由s1和s3所作的應(yīng)力圓上的坐標表示?！?-3三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓第34頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓研究表明:對于與三個主應(yīng)力均不平行的任意斜面上的應(yīng)力，它們在s-t坐標平面內(nèi)對應(yīng)的點必位于由上述三個應(yīng)力圓所構(gòu)成的綠色區(qū)域內(nèi)。第35頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、三向應(yīng)力狀態(tài)的最大切應(yīng)力第36頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo)前面談到的胡克定律:單向拉伸條件下桿件產(chǎn)生橫向應(yīng)變:純剪切情況下:最一般情況下，描述一點的應(yīng)力狀態(tài)需要九個應(yīng)力分量，如圖所示:根據(jù)切應(yīng)力互等定理則獨立的應(yīng)力分量只有六個。§7-4廣義胡克定律第37頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo)對于各向同性材料:

小變形及線彈性范圍內(nèi)，線應(yīng)變只和正應(yīng)力有關(guān)，與切應(yīng)力無關(guān)；而切應(yīng)變只和切應(yīng)力有關(guān)，與正應(yīng)力無關(guān)。

利用疊加法可求得各方向上的線應(yīng)變。第38頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三=++++1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo)第39頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三利用同樣的方法可以求得y和z方向上的線應(yīng)變。最后可得:切應(yīng)變和切應(yīng)力之間，與正應(yīng)力無關(guān)，因此:以上被稱為廣義胡克定律。1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo)第40頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三對平面應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)z=0，xz=0，yz=0，有：第41頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三當單元體的周圍六個面皆為主平面時:e1、e2、e3為主應(yīng)變。主應(yīng)變和主應(yīng)力的方向是重合的。1、廣義胡克定律的簡單推導(dǎo)二向應(yīng)力狀態(tài)：設(shè)有第42頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、體積應(yīng)變與體積模量當單元體處在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)時，其體積也將發(fā)生變化，如圖所示:變形前的體積:變形后邊長變化為:體積變化為:略去高階微量:第43頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三單位體積的改變或體積應(yīng)變?yōu)?主應(yīng)力平均值體積彈性模量2、體積應(yīng)變與體積模量第44頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7-3在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，μ=0.30。FpppF/Appσ3σ1σ2第45頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例7-3在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，μ=0.30。②在軸向壓縮下，圓柱將向橫向膨脹，當它脹到塞滿凹座后，凹座與柱體之間將產(chǎn)生徑向均勻壓力p。柱體內(nèi)任一點均為二向壓應(yīng)力狀態(tài)，柱內(nèi)任一點的徑向與周向應(yīng)力均為-p，考慮到柱與凹座之間的間隙，可得應(yīng)變e2的值為：解：①在柱體橫截面上的壓應(yīng)力為：F第46頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三④柱內(nèi)各點的三個主應(yīng)力為：求得：③由廣義虎克定律：例7-3在一體積較大的鋼塊上有一直徑為50.01mm的凹座，凹座內(nèi)放置一直徑為50mm的鋼制圓柱如圖，圓柱受到F=300kN的軸向壓力。假設(shè)鋼塊不變形，試求圓柱的主應(yīng)力。取E=200GPa，μ=0.30。F第47頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例邊長a=0.1m的銅立方塊，無間隙地放入體積較大、變形可忽略的鋼凹槽中，如圖a所示。已知銅的彈性模量E=100GPa，泊松比=0.34。當受到F=300kN的均布壓力作用時，試求銅塊的主應(yīng)力、體應(yīng)變以及最大切應(yīng)力。解：銅塊應(yīng)力狀態(tài)如圖b所示，橫截面上的壓應(yīng)力為：sysxsz(b)yxz(a)Faaa第48頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三聯(lián)解可得：受鋼槽的限制，銅塊在另兩個方向的應(yīng)變?yōu)榱?，并產(chǎn)生壓應(yīng)力，即有：第49頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三利用空間應(yīng)力狀態(tài)下最大切應(yīng)力的計算式可得：則銅塊的主應(yīng)力為：由此可得其體應(yīng)變?yōu)椋旱?0頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三物體在外力作用下發(fā)生彈性變形，外力所作的功將使物體積蓄變形能，當外力卸除后，此變形能釋放并對外做功。這種以彈性變形形式積蓄的能量被稱為彈性變形能。若外力作用方式是緩慢加載，變形在彈性范圍內(nèi)，則可忽略動能和其他能量損耗，而以外力作功的大小來計算彈性變形能的大小?！?-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度第51頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三三向應(yīng)力狀態(tài)下：單元體的應(yīng)變能密度為：代入廣義胡克定律:§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度第52頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三物體的變形可以分成兩個部分:1、體積改變2、形狀改變。將三向應(yīng)力狀態(tài)的主單元體分為兩組:=+§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度第53頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三第一組應(yīng)力sm為平均應(yīng)力，在它的作用下單元體沿各方向均勻變形，無形狀變化。由此引起的變形能密度，稱為體積改變能密度。由廣義胡克定律解出em代入變形能密度公式，并簡化得§7-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度第54頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三第二組應(yīng)力下單元體體積的改變量為0（可自己驗證體積應(yīng)變），而各邊的變形不同，故只有形狀改變。第二組應(yīng)力引起的變形能密度稱為形狀改變變形能密度。根據(jù)已經(jīng)求得的vv和，形狀改變變形能密度和體積改變變形能密度的和是總的變形能密度?！?-5空間應(yīng)力狀態(tài)下的應(yīng)變能密度第55頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三§7-6強度理論及其相當應(yīng)力ss1、概述

1）單向應(yīng)力狀態(tài)：圖示拉伸或壓縮的單向應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：塑性屈服：極限應(yīng)力為脆性斷裂：極限應(yīng)力為此時，s、

0.2和b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：或第56頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2)純剪應(yīng)力狀態(tài)：其中n為安全系數(shù)。

圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)，材料的破壞有兩種形式：塑性屈服：極限應(yīng)力為脆性斷裂：極限應(yīng)力為其中，s和b可由實驗測得。由此可建立如下強度條件：第57頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三3）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)txysx來建立，因為與之間會相互影響。研究復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下材料破壞的原因，根據(jù)一定的假設(shè)來確定破壞條件，從而建立強度條件，這就是強度理論的研究內(nèi)容。對圖示平面應(yīng)力狀態(tài)，不能分別用第58頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三4）材料破壞的形式塑性屈服型：常溫、靜載時材料的破壞形式大致可分為：脆性斷裂型：鑄鐵：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；低碳鋼：三向拉應(yīng)力狀態(tài)。低碳鋼：拉伸、扭轉(zhuǎn)等；鑄鐵：三向壓縮應(yīng)力狀態(tài)。例如：例如：

可見：材料破壞的形式不僅與材料有關(guān)，還與應(yīng)力狀態(tài)有關(guān)。第59頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三根據(jù)一些實驗資料，針對上述兩種破壞形式，分別針對它們發(fā)生破壞的原因提出假說，并認為不論材料處于何種應(yīng)力狀態(tài)，某種類型的破壞都是由同一因素引起，此即為強度理論。脆性斷裂：塑性斷裂：5）強度理論常用的破壞判據(jù)有：下面將討論常用的、基于上述四種破壞判據(jù)的強度理論。第60頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三2、四個常用的強度理論強度條件：1）最大拉應(yīng)力理論(第一強度理論)假設(shè)最大拉應(yīng)力1是引起材料脆性斷裂的因素。不論在什么樣的應(yīng)力狀態(tài)下，只要三個主應(yīng)力中的最大拉應(yīng)力1達到極限應(yīng)力u，材料就發(fā)生脆性斷裂，即：可見：a)與2、3無關(guān)；

b)應(yīng)力u可用單向拉伸試樣發(fā)生脆性斷裂的試驗來確定。第61頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三實驗驗證：鑄鐵：單拉、純剪應(yīng)力狀態(tài)下的破壞與該理論相符；平面應(yīng)力狀態(tài)下的破壞和該理論基本相符。存在問題：沒有考慮2、3對脆斷的影響，無法解釋石料單壓時的縱向開裂現(xiàn)象。假設(shè)最大伸長線應(yīng)變1是引起脆性破壞的主要因素，則：u用單向拉伸測定，即：2）最大伸長線應(yīng)變理論(第二強度理論)第62頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三實驗驗證：a)可解釋大理石單壓時的縱向裂縫；b)鑄鐵二向、三向拉應(yīng)力狀態(tài)下的實驗不符；c)對鑄鐵一向拉、一向壓的二向應(yīng)力狀態(tài)偏于安全，但可用。因此有：強度條件為：因為：第63頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三對低碳鋼等塑性材料，單向拉伸時的屈服是由45°斜截面上的切應(yīng)力引起的，因而極限應(yīng)力u可由單拉時的屈服應(yīng)力求得，即：3）最大切應(yīng)力理論(第三強度理論)假設(shè)最大切應(yīng)力max是引起材料塑性屈服的因素，則：因為：第64頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三實驗驗證：c)二向應(yīng)力狀態(tài)基本符合，偏于安全。b)僅適用于拉壓性能相同的材料。由此可得，強度條件為：a)僅適用于拉壓性能相同的材料；b)低碳鋼單拉(壓)對45滑移線吻合；存在問題：沒考慮2對屈服的影響，偏于安全，但誤差較大；第65頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三假設(shè)形狀改變能密度vd是引起材料塑性屈服的因素，即：4）形狀改變能密度理論(第四強度理論)因為材料單拉屈服時有：可通過單拉試驗來確定。所以：又：第66頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三因此：由此可得強度條件為：實驗驗證：a)較第三強度理論更接近實際值；b)材料拉壓性能相同時成立。第67頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三強度理論的統(tǒng)一形式：最大拉應(yīng)力(第一強度)理論：最大伸長線應(yīng)變(第二強度)理論：最大切應(yīng)力(第三強度)理論：r稱為相當應(yīng)力，分別為：形狀改變能密度(第四強度)理論：第68頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三應(yīng)用范圍：a)僅適用于常溫、靜載條件下的均勻、連續(xù)、各向同性的材料；b)不論塑性或脆性材料，在三向拉應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生脆性斷裂，宜采用第一強度理論；c)對于脆性材料，在二向拉應(yīng)力狀態(tài)下宜采用第一強度理論；d)對塑性材料，除三向拉應(yīng)力狀態(tài)外都會發(fā)生屈服，宜采用第三或第四強度理論；e)不論塑性或脆性材料，在三向壓應(yīng)力狀態(tài)都發(fā)生屈服失效，宜采用第四強度理論。3、強度理論的應(yīng)用第69頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三例兩危險點的應(yīng)力狀態(tài)如圖，=，由第三、第四強度理論分別比較其危險程度。解：對圖a所示應(yīng)力狀態(tài)，因為第70頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三所以：第71頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三對圖b所示應(yīng)力狀態(tài)，有：所以：第72頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三可見：由第三強度理論，圖b所示應(yīng)力狀態(tài)比圖a所示的安全；而由第四強度理論，兩者的危險程度一樣。

注意：圖a所示應(yīng)力狀態(tài)實際上為拉扭和彎扭組合加載對應(yīng)的應(yīng)力狀態(tài)，其相當應(yīng)力如下：可記住，便于組合變形的強度校核。第73頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三由第三強度理論，有：例利用第三或第四強度理論求純剪應(yīng)力狀態(tài)下屈服應(yīng)力s和拉壓屈服應(yīng)力s之間的關(guān)系。t當=s時材料發(fā)生屈服，因此有：解：圖示純剪應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力為：而當材料拉壓屈服時有：第74頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三由此可得：利用第四強度理論，有：即，

純剪：單拉：由此可得：第75頁，共84頁，2023年，2月20日，星期三

例兩端簡支的工字鋼梁承受荷載如圖a所示。已知材料（Q235鋼）的許用應(yīng)力為[]=170MPa和[]=100MPa。試按強度條件選擇工字鋼號碼。解：首先確定鋼梁的危險截面。作出梁的剪力圖和彎矩圖如圖b和圖c所示，可見C、D截面為危險截面，取C截面計算，其剪力和彎矩為：(b)

200kN200kNFS圖M圖(c)

84kN·m(a)

B0.42m2.50

mAC200kN200kN