不定積分的概念與性質

第五章不定積§5.1如果xIFx)fx)(或者dFx)fx)dx)，則Fx)稱fx)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。例如：sinx2cosxsinx2為cosx在區(qū)間R上的

xx

(x第1原函數(shù)什么時候存如果函數(shù)fx)在區(qū)間I內(nèi)連續(xù)，則其在該區(qū)間上必有原函數(shù)Fx)。證明需要定積分，留在以后問題：原函數(shù)是否唯一？——很明顯，不唯一。對于任意常數(shù)C，F(xiàn)xCFx)fx)第2原函數(shù)相互之間的關F(x)f(x)F(x)Cf(F(x)G(x)f(x)F(x)G(x)F(x)G(x)第3不定積分的定在區(qū)間Ifx)的全體原函數(shù)成為其在該區(qū)間上f(CF(f(C第4最直接的計算方法：根據(jù)定義和求導法例1求x5dx.xx解∵ x56

x5dxx6C6例2求

1

解 arctanx

1x2111

dxarctanxC第5例3設曲線通過點（1，2），且其上任一點處的 設曲線方程為yf(

2fx)是2x的一個原函數(shù)∵2xdxx2C f(x)x2C由曲線通過點（1，2）C所求曲線方程為y 第6微分與積分：互逆的運函數(shù)fx)fx)的積分曲線df(x)dxf(x),F(x)dxF(x)C

d[f(x)dx]fdF(x)F(x)C第7同一函數(shù)的不定積分的結果形式會不 dxarctanxC dxarccotx1 1第8 x1

x

xdx C(第9需要熟練掌握的基本積分 kdxkx

(k是常數(shù)

xdx

( dxlnx

第10

11111x21

dxarctanxdxarcsinxcosxdxsinxsinxdxcosx

cos2

xdxtanx

sin2

csc2xdxcotx第11secxtanxdxsecxcscxcotxdxcscxexdxex

axdx

aln

sinhxdxcoshxcoshxdxsinhx第12根據(jù)積分表計算不定積例4求積分 5

xdxx

x 77

dx

1x C5

2x7

C2第13三、不[f(x)g(x)]dxf(x)dxg(kfx)dxkf k0 ∵f(x)dxg(等式成立第14計算不定積分：一些基本的方第15例5求積分

1x2311x23

1x1x2

1x2

1

dx

1x23arctanx2arcsin1x2第161xx2例6求積分x(1x2dx.1x x(1x2)dx

x(1x2x(1x2) 1

dx 1x2 x

1x2 arctanxlnxC第17

1x2解：原式

x41

(x

1

1x2

1x2x33

xarctanx第1812x2

例8求積分x21x212x2

1x2x2解x2(1x2

x2(1x2)dxx2dx1x2x

arctanxC第19例9求積分

dx cos2

12cos2x1 dx1tanxCcos2 第20例10：求

cos2 cos2xsin2

cos2xsin2 dx

dx cos2xsin2cotxtanx

sin2

cos2第21四、原函數(shù)的概念Fxf不定積分的概：fx)dxFx基本積分表第22x2x 1x2

3x52xxcos2x2

cos2 cos2xsin2(11

x2sin2

sec2x x2第23