高三數(shù)學(xué)上學(xué)期期末考試試題（含解析）蘇教版

高三（上）期末數(shù)學(xué)試卷

參考答案與試題解析

一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫在答題卡相應(yīng)位

置上.

1.（5分）設(shè)集合A={1,心},B={a},若BUA,則實(shí)數(shù)a的值為0.

考點(diǎn)：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.

專題：閱讀型.

分析：根據(jù)集合關(guān)系，確定元素滿足的條件，再求解.

解答：解：VB￡A,.?.a=Fwi=a=0.

故答案是0

點(diǎn)評(píng)：本題考查集合中參數(shù)的確定.要注意驗(yàn)證集合中匹萎的互異性.

2.（5分）已知復(fù)數(shù)z=-1+i（為虛數(shù)單位），計(jì)算：-^==-i.

z-z

考點(diǎn)：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

專題：計(jì)算題.

分析：把復(fù)數(shù)z以及它的共輒復(fù)數(shù)代入表達(dá)式，化簡(jiǎn)后，復(fù)數(shù)的分母實(shí)數(shù)化，即可得到所求

結(jié)果.

解答：解：因移數(shù)Z=-1+i（為虛數(shù)單位），Z=-1-i,

所以-上》U1一>=2=J_=-i.

z-z-1+i-（-1-i）2ii,i

故答案為：~i.

點(diǎn)評(píng)：本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運(yùn)算，共胡復(fù)數(shù)的概念，考查計(jì)算能力.

22

3.（5分）已知雙曲線工-上=1（a>0,b>0）的一條漸近線經(jīng)過點(diǎn)（1，2）,則該雙

a2b2

曲線的離心率的值為_遙_.

考點(diǎn)：雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

分析：由題意可得漸近線y=kx經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,可得b=2a,代入可得離心率

a

2222

:c=Va+b=Va+4a,化簡(jiǎn)即可.

e;

aaa

解答：22

解：雙曲線至_-工=1的漸近線方程為y=±"x,

a2b2a

故丫=b（經(jīng)過點(diǎn)（1,2）,可得b=2a,

a

故雙曲線的離心率e=與Va2++4aM加

aaa

故答案為：Vs

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線的離心率，涉及漸近線的方程，屬中檔題.

4.（5分）根據(jù)如圖所示的算法，可知輸出的結(jié)果為11.

S-0

WhileSS1023

S+S+2”

M+-M+1

EndWhile

Printn

考點(diǎn)：偽代碼.

專題：計(jì)算題；概率與統(tǒng)計(jì).

分析：根據(jù)題中的偽代碼寫出前幾次循環(huán)的結(jié)果，得到該程序的功能是等比數(shù)列｛21｝的前

n項(xiàng)和，在SW1023的情況下繼續(xù)循環(huán)體，直到S>1023時(shí)結(jié)束循環(huán)體并輸出下一個(gè)

n值.由此結(jié)合題意即可得到本題答案.

解答：解：根據(jù)題中的偽代碼，可得

該程序經(jīng)過第一次循環(huán)得到S=2。，n=l；

然后經(jīng)過第二次循環(huán)得到S=2°+21,n=2；

然后經(jīng)過第三次循環(huán)得到S=2。+2'+手，n=2；

依此類推，當(dāng)$=2。+242?+…+2">1023時(shí)，輸出下一個(gè)n值

由以上規(guī)律，可得：

當(dāng)n=10時(shí)，S=2°+2l+22+-+2w=2045,恰好大于1023,n變成11并且輸出

由此可得，輸出的結(jié)果為11

故答案為：11

點(diǎn)評(píng)：本題給出程序框圖，求2"+2|+2旺…+2A1023時(shí)輸出的n+1,屬于基礎(chǔ)題.解題的關(guān)

鍵是先根據(jù)已知條件判斷程序的功能，構(gòu)造出相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型再求解，從而使問題得

以解決.

5.（5分）已知某拍賣行組織拍賣的10幅名畫中，有2幅是膺品.某人在這次拍賣中隨機(jī)

買入了一幅畫，則此人買入的這幅畫是膺品的事件的概率為1.

一「

考點(diǎn)：古典概型及其概率計(jì)算公式.

專題：概率與統(tǒng)計(jì).

分析：利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出.

解答：解：從io幅名畫中任買一件有c%=io種方法，若此人買入的這幅畫是膺品的方法有

r1=2.

c2

因此此人買入的這幅畫是膺品的事件的概率P=2二.

105

故答案為工

5

點(diǎn)評(píng)：正確理解古典概型的概率計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵.

6.(5分)函數(shù)f(x)=cos手c。」一薦I一的最小正周期為，一.

考點(diǎn)：二倍角的正弦；誘導(dǎo)公式的作用；三角函數(shù)的周期性及其求法.

專題：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì).

分析：先利用誘導(dǎo)公式對(duì)已知函數(shù)化簡(jiǎn)，然后利用二倍角公式，再代入周期公式可求

解答：秋_兀X兀(X-1)_11_1

-

解：?f(x)-cos——cos-----n------cos—jfxsin—nx-^sinTTx

乙乙乙乙乙

根據(jù)周期公式可得丁=空=2

故答案為：2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了誘導(dǎo)公式、二倍角公式在三角函數(shù)化簡(jiǎn)中的應(yīng)用及周期公式的應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)試題

2

7.(5分)函數(shù)f(x)=10g2(4-x)的值域?yàn)?-8,2].

考點(diǎn)：函數(shù)的值域.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：利用二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

2

解答：解：；0<4-X2W4,...1%("x2)<log24=-

2

...函數(shù)f(x)=log2(4-x)的值域?yàn)?_8,2].

故答案為(-8,2].

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握二次函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

8.(5分)已知點(diǎn)A(1,1)和點(diǎn)B(-1,-3)在曲線C：y=ax3+bx2+d(a,b,d為常數(shù)上,

若曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線互相平行，則a3+b2+d=7.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：曲線在點(diǎn)A和點(diǎn)B處的切線互相平行得，f'(1)=f(-1),再結(jié)合點(diǎn)在曲線上則

點(diǎn)的坐標(biāo)適合方程建立方程組，解方程求出a、b、d值即可.

解答：解：設(shè)f(x)—ax3+bx2+d,

,.,f'(x)=3ax?+2bx,

(1)=3a+2b,f'(-1)=3a-2b.

根據(jù)題意得3a+2b=3a-2b,b=0.

又點(diǎn)A（1,1）和點(diǎn)B（-1,-3）在曲線C上,

fa+d=l(a=2

解得:

(-a+d=-3-1

a3+b2+d=7.

故答案為：7.

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，是一道中檔題.

9.（5分）已知向量a，b滿足4+2^=（2,-4），3^-b-（-8,16），則向量a，b

的夾角的大小為n.

考點(diǎn)：數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角.

專題：平面向量及應(yīng)用.

分析：利用向量的運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及夾角公式即可得出.

解口,解：：第2心（2,-4）,3a~b=（-8,16），

/.a=（-2,4）,b=（2,-4）.

.*?a'b=-2X2+4X（-4）=-20,g|=^（，2）+lbI.

cos<a,b〉=1一；■J-1，

IaIIbI

<a.E>=m

或由￡-E，得b>=K-

故向量W，E的夾角的大小為n.

故答案為m.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的運(yùn)算法則、向量的數(shù)量積及夾角公式是解題的關(guān)鍵.

10.（5分）給出下列命題：

（1）若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直；

（2）若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行；

（3）若兩條平行直線中的一條垂直于直線m,那么另一條直線也與直線m垂直；

（4）若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂直.

其中，所有真命題的序號(hào)為（1）、（3）、（4）.

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用.

專題：證明題.

分析：根據(jù)面面垂直的判定定理，可判斷（1）；根據(jù)平面與平面平行的判定定理，可判斷（2）；

根據(jù)空間直線夾角的定義，可判斷（3）,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理及反證法，可判斷

（4）

解答：解：由面面垂直的判定定理可得若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面

相互垂直，故(1)正確；

如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行，但

兩條直線平行時(shí)，得不到平面平行，故(2)錯(cuò)誤；

根據(jù)空間直線夾角的定義，可得兩條平行直線與第三條直線的夾角相等，故若兩條平

行直線中的一條垂直于直線m,那么另一條直線也與直線m垂直，即(3)正確；

根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理，若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線垂直的直

線與另一個(gè)平面也垂直，則一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不

垂直，故(4)正確

故真命題有(1)、(3)、(4)三個(gè)

故答案為：⑴、⑶、(4)

點(diǎn)評(píng)：本題以命題的真假判斷為載體考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，熟練掌握空間線面

關(guān)系的判定定理，性質(zhì)定理及幾何特征是解答的關(guān)鍵.

x>2

11.(5分)已知函數(shù)f(x)X,若關(guān)于x的方程f(x)=kx有兩

(x-1)3,

個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是_(0,-1)

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理.

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析：利用數(shù)形結(jié)合和函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答：解：如圖所不：

①當(dāng)x22時(shí)，由函數(shù)f(x)=2單調(diào)遞減可得：0<f(x)=241；

XX

②當(dāng)0VxV2時(shí)，由函數(shù)f(x)=(x-1)3單調(diào)遞增可得：-lVf(x)Vl.

由圖象可知：由0<2kVl可得0<k<工，

2

故當(dāng)0<k<△時(shí)，函數(shù)y=kx與y=f(x)的圖象有且只有兩個(gè)交點(diǎn)，

2

...滿足關(guān)于X的方程f(x)=kx有兩個(gè)不同的實(shí)根的實(shí)數(shù)k的取值范圍是

(0,之)?

故答案為(o,A).

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握數(shù)形結(jié)合的思想方法和函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

12.（5分）已知數(shù)歹U?｝滿足a[2，2-an+1^-^（n€N*），則￡白_

ni—?1i

2-3n-n-2

4--

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和.

專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

分析:

由4”12（n€N*），知a?”=^^,由此得至I」，+3=3（1+工）,

由a1后2&田_%+6

an+6an+l4an4

從而推導(dǎo)出工=3八'-工，由此能求出￡工.

an4i=lai

解答：解?,?49__12/r*\

胎,2an+l=7j6（七區(qū)KT）'

2a、

??&1+1an+61

1二%+6_3/

a

n+lanan2

L+3=3（工+工），即%；+1Z,

an+l4an4—+^-

&n4

：.y上(3°+3+32+—+3"-1)-I!

4

n

=1X(1-3)_n

1-34

n

=2'3-n-2

-4

故答案為：2寸-!!-2.

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想、構(gòu)造法、

等比數(shù)列性質(zhì)的合理運(yùn)用.

13.(5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C：x?+y2=4分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M,

N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)，則而?許的最大值為_4+4立

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

專題：平面向量及應(yīng)用.

分析：利用向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的單調(diào)性即可求出.

解答：解：令x=0,得y2=4,解得y=±2,取N(0,-2).

令y=0,得x?=4,解得x=±2,取M(2,0).

設(shè)點(diǎn)P(2cos0,2sin0)(0e[0,2n)).

則而?俞(2-2cos9，-2sin9)?((-2cos9,-2-2sin0)

=-2cos。(2-2cos0)+2sin0(2+2sin9)

=4sin。-4cos0+4

=4V2sin(8-)+4W4+472-當(dāng)且僅當(dāng)sin(。-?)=1時(shí)取等號(hào).

???西?五5的最大值為4+孰歷.

故答案為4+472.

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握向量的數(shù)量積及三角函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵.

14.(5分)己知實(shí)數(shù)x,y同時(shí)滿足4-*+27一丫1,log27y-log4X>l，27'-4，Wl,

則x+y的取值范圍是昌.

考點(diǎn)：有理數(shù)指數(shù)基的化簡(jiǎn)求值；對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).

專題：探究型；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用.

分析“題目給出了一個(gè)等式和兩個(gè)不等式，分析給出的等式的特點(diǎn)，得到當(dāng)x=Ly=3時(shí)該

23

等式成立，同時(shí)把相應(yīng)的x和y的值代入后面的兩個(gè)不等式等號(hào)也成立，把給出的等

式的左邊變負(fù)指數(shù)累為正指數(shù)幕，分析x和y的變化規(guī)律，知道y隨x的增大而減小,

而當(dāng)x增大y減小時(shí)，兩不等式不成立，因此斷定，同時(shí)滿足等式和不等式的x,y

取值唯一，從而可得x+y的取值范圍.

解答：解：當(dāng)xJ,y皂時(shí)，

23

4~x+27~y=4'+27

，Jb

log21y-10g4X=lo§27^-l°g^=--3'H2^6，

27y-4X=273-42=3-2=1-

由4-、+27-丫J+,q知，等式右邊一定，左邊y隨x的增大而減小，

4X27y6

而當(dāng)y減小x增大時(shí)，log27y-logix<2,

6

當(dāng)x減小y增大時(shí)，27，-4*>l.

均與題中所給條件不等式矛盾.

綜上，只有x=3,y=3時(shí)，條件成立，

23

所以x+y的取值范圍為但｝.

6

故答案為位.

6

點(diǎn)評(píng)：本題考查了有理指數(shù)基的化簡(jiǎn)與求值，考查了對(duì)數(shù)式的運(yùn)算性質(zhì)，考查了特值驗(yàn)證法,

培養(yǎng)了學(xué)生的探究能力，此題是中檔題.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文

字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

15.(14分)已知a,B均為銳角，且sina=2tan(a-P)=---

53

(1)求sin(a-0)的值；

(2)求cosB的值.

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù)；同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系；兩角和與差的正弦函數(shù).

專題：三角函數(shù)的求值.

分析：(1)根據(jù)a、B的范圍，利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，求得sin(Q-B)的值.

(2)由(1)可得，cos(a-BC0Sa=A根據(jù)cosB=cos[a-(a

105

-P)],利用兩角差的余弦公式求得結(jié)果.

解答：解：（I）VQ,BE（o,2L）,從而

又；tan(a-B)=-工<o，???-2<a-B〈o.…(4分)

32

利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得sin?(a-B)+cos2(a-p)=1,且

sin(Q-8)=_1

cos(a-B)3

解得sin(a-B)=--…(6分)

(2)由(1)可得，COS(a-6)=之叵.???a為銳角，sina=&

105

**?cosCl="1-…(10分)

5

AcosB=cos[a-(a-P)]=cosacos(a-B)+sinasin(a-6)??,(12分)

告密守（書）嚼（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，兩角和差的余弦公式的應(yīng)用，屬于中檔題.

16.（14分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，PDJ_底面ABCD,AD1AB,CD/7AB,ABW^AD=2,

CD=3,直線PA與底面ABCD所成角為60°,點(diǎn)M、N分別是PA,PB的中點(diǎn).

（1）求證：MN〃平面PCD；

（2）求證：四邊形MNCD是直角梯形；

（3）求證：DN_L平面PCB.

考點(diǎn)：直線與平面垂直的判定；直線與平面平行的判定.

專題：空間位置關(guān)系與距離.

分析：（1）利用三角形的中位線性質(zhì)證明MN〃AB,再由已知條件和公理4證明MN〃CD,再

利用直線和平面平行的判定定理證得MN〃平面PCD.

（2）由（1）可得MN〃CD.先由條件利用直線和平面垂直的判定證明CD,平面PAD,

從而證得CDXMD,從而得到四邊形MNCD是直角梯形.

（3）由條件求得/PAD=60°,利用勾股定理求得DNJ_CN.在RtZ\PDB中，由PD=DB=加,

N是PB的中點(diǎn)，證得DN_LPB,再根據(jù)直線和平面垂直的判定定理證得DNJ_平面PCB.

解答：證明：（1）因?yàn)辄c(diǎn)M,N分別是PA,PB的中點(diǎn)，所以MN〃AB.…（2分）

因?yàn)镃D〃AB,所以MN〃CD.

又CDu平面PCD,而MNQ平面PCD,所以MN〃平面PCD.…（4分）

（2）由（1）可得MN〃CD.

因?yàn)锳D_LAB,CD〃AB,所以CD_LAD.又因?yàn)镻D_L底面ABCD,CDu平面ABCD,

所以CD_LPD,又ADCPD=D,所以CD_L平面PAD.…（6分）

因?yàn)镸Du平面PAD,所以CDLMD,所以四邊形MNCD是直角梯形.…（8分）

（3）因?yàn)镻DJ_底面ABCD,所以/PAD就是直線PA與底面ABCD所成的角，從而

ZPAD=60°.…（9分）

在RtaPDA中，AD=V2>PD=V6>PA=2F，MD=A/2.

在直角梯形MNCD中，MN=1,ND=V3,CD=3,CN二而年而二逐，

從而DM+CN'CD",所以DN_LCN.…（11分）

在RtaPDB中，PD=DB=A/6'N是PB的中點(diǎn)，則DN_LPB.…（13分）

又因?yàn)镻B（1CN=N,所以DN_L平面PCB.…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線和平面平行的判定定理，以及直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)性

質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.（14分）第八屆中國(guó)花博會(huì)將于2013年9月在常州舉辦，展覽園指揮中心所用地塊的

形狀是大小一定的矩形ABCD,BC=a,CD=b.a,b為常數(shù)且滿足bVa.組委會(huì)決定從該矩形

地塊中劃出一個(gè)直角三角形地塊AEF建游客休息區(qū)（點(diǎn)E,F分別在線段AB,AD上），且該

直角三角形AEF的周長(zhǎng)為（l>2b）,如圖.設(shè)AE=x,4AEF的面積為S.

（1）求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（2）試確定點(diǎn)E的位置，使得直角三角形地塊AEF的面積$最大，并求出S的最大值.

考根據(jù)實(shí)際問題選擇函數(shù)類型；函數(shù)解析式的求解及常用方法.

點(diǎn)：

專應(yīng)用題.

題：

分（1）根據(jù)題意，分析可得，欲求，AAEF場(chǎng)地占地面積，只須求出圖中直角三角形的

析：周長(zhǎng)求出另一邊長(zhǎng)AF,再結(jié)合直角三角形的面積計(jì)算公式求出它們的面積即得；

（2）對(duì)于（1）所列不等式，可利用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性求它的最大值，從而解決問題.

源解：⑴設(shè)AF=y,則x+*x2+2=i，

合：

]2-21x

整理，得產(chǎn)士_”.…（3分）

y2（1-x）

S二x尸x（廣21x）,（0,小…（4分）

52廠4（1-x）

(2)

（x_"+；勾）,x€（0,b]

.?.當(dāng)叵］時(shí)，S'>0,S在(0,b］遞增，

故當(dāng)x=b時(shí)，s二bl"二,.；

max4(b-1)

當(dāng)b〉2丁1時(shí),在x€(0,2T］)上，S，>0,S遞增，在

x€(2丁1,b)上，S'<0,S遞減，

故當(dāng)x=2-&i時(shí),s=3-叫2.

x2max41

點(diǎn)本小題主要考查函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用、函數(shù)解析式的求解及常用方法及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等

評(píng):基礎(chǔ)知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

18.(16分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，已知Fi,F?分別是橢圓E：

22______

三+二>1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)，A,B分別是橢圓E的左、右頂點(diǎn)，且X工+5區(qū)工=柞

a2b222

(1)求橢圓E的離心率；

(2)已知點(diǎn)D(1,0)為線段0F?的中點(diǎn)，M為橢圓E上的動(dòng)點(diǎn)(異于點(diǎn)A、B),連接MR

并延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)N,連接MD、ND并分別延長(zhǎng)交橢圓E于點(diǎn)P、Q,連接PQ,設(shè)直線MN、

PQ的斜率存在且分別為k”k”試問是否存在常數(shù)X,使得ki+AL=0恒成立？若存在，求

出X的值；若不存在，說(shuō)明理由.

考函數(shù)恒成立問題；三點(diǎn)共線；橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

點(diǎn):

專向量與圓錐曲線；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.

題：

分(1)由AF；+5BF；=d得AF；=5F總從而有a+c=5(a-C),結(jié)合離心率定義即可

析：2222

求得答案；

(2)由點(diǎn)D(1,0)為線段0&的中點(diǎn)可求得c值，進(jìn)而可求出a值、b值，得到橢圓

、一,x,-1

方程，設(shè)M(xi,yl,N(X2,y?),P(x3,ya).Q(x4,y4),則直線MD的方程為x-------y+1-

與橢圓方程聯(lián)立及韋達(dá)定理可把P、Q坐標(biāo)用M、N坐標(biāo)表示出來(lái)，再根據(jù)三點(diǎn)M、K、N

共線及斜率公式可得L、L間的關(guān)系式，由此可得答案.

2,解:⑴：其+5呵=忤,其=5第

口?

a+c=5(a-c),化簡(jiǎn)得2a=3c,

故橢圓E的離心率為2.

3

(2)存在滿足條件的常數(shù)X,入=-_1

7_

?點(diǎn)D(1,0)為線段OF2的中點(diǎn)，.?.c=2,從而a=3,

22

左焦點(diǎn)R(-2,0),橢圓E的方程為三+二口.

95

,一，x,-1

設(shè)M(xi,yi),N(x2,yz),P(x3,y3),Q(xt,yi),則直線MD的方程為*=------y+1，

225-xj9x1-1

代入橢圓方程工+匕=1，整理得，-TTY+――y-4=0.

95yjyt

..,丫1(X1T).4yl

y+y=

,l3X1-51

從而XR=5XI_9,故點(diǎn)P(%_-ILL).同理，點(diǎn)

Jxj-5x「5x「5

,三點(diǎn)M、Fi、N共線，~1--"―,從而xiyz-xzyi=2(y,-y2).

X[+2x2+2

從而

4yl_4y2

-

y3y4Xj-5x2-5乂此一X2V/5(y1一y2)?訪一丫？)小

---

x3-x45xj95x294(X「X2)4(xjx2)4

-

Xi-5x25

4k/

故k,---=0-從而存在滿足條件的常數(shù)入，X=

17U7

點(diǎn)本題考查函數(shù)恒成立、三點(diǎn)共線及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，

評(píng)：綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力要求較高，屬難題.

19.（16分）已知數(shù)列⑸｝是等差數(shù)列，ai+a2+a3=15,數(shù)列瓜｝是等比數(shù)列，刖4=27.

（1）若ai=bz,a4=ba.求數(shù)列｛aj和｛bj的通項(xiàng)公式;

（2）若ai+b”a2+b2,as+bs是正整數(shù)且成等比數(shù)列,求a3的最大值.

考點(diǎn)：等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列的函數(shù)特性；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

專題：計(jì)算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列.

分析：（1）由已知可求出，b2,結(jié)合已知ai=bz,可得等差數(shù)列｛aj的公差d,可求a“=,然

后由b產(chǎn)a“可求?｝的公比q,進(jìn)而可求bn

（2）設(shè)等差數(shù)列｛a,,｝的公差為d,等比數(shù)列｛b,J的公比為q,由已知可得

?（a3+b3）=（az+b2）2=64?分別利用等差數(shù)列及等比數(shù)列的通

項(xiàng)表示已知項(xiàng)可得關(guān)于d,q的方程，解方程可求d,即可求解

解答：解：（1）由ai+a2+@3=15,bib2b3=27.

可得a2=5,b2=3,

所以a尸b2=3,從而等差數(shù)列瓜｝的公差d=2,

所以an=2n+l,從而b、3刊=9,｛bj的公比q=3

所以二3八7-（3分）

（2）設(shè)等差數(shù)列⑸｝的公差為d,等比數(shù)列｛bj的公比為q,

則ai=5-d,ka3=5+d,b3=3q.

1q

因?yàn)閍i+bi,a2+b2,加+6成等比數(shù)列，所以

(Sj+bj)"(&3+匕3)=(a2+b2)2-64,

a[+b]-ID

設(shè)4m,n￡N*,mn=64,

a3+^3=n

5-d+心二加

則q,整理得，d2+(m-n)d+5(m+n)-80=0.

5+d+3q=n

n川—（舍去負(fù)根）.

解得d=

2

a3=5+d,

，要使得a3最大，即需要d最大，即n-m及（m+n-10）'取最大值.

Vm,nGN*,mn=64,

，當(dāng)且僅當(dāng)n=64且m=l時(shí)，n-m及（m+n-10）之取最大值.

從而最大的小竺與畫，

所以，最大的a、J3+7疸…（16分）

32

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，等比數(shù)列的性質(zhì)的綜

合應(yīng)用及一定的邏輯推理運(yùn)算的能力

20.(16分)已知函數(shù)f(x)=x|x-a|-Inx.

(1)若a=l,求函數(shù)f(x)在區(qū)間［1,e］的最大值;

(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)若f(x)>0恒成立，求a的取值范圍.

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小

值問題中的應(yīng)用.

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.

分析：(1)當(dāng)a=l時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)可判斷f(x)在［1,e］上的單調(diào)性，由單調(diào)性即可求得其

最大值；

(2)求出f(x)的定義域，先按(i)aWO,(ii)a>0兩種情況進(jìn)行討論，其中a

>0時(shí)討論去絕對(duì)值符號(hào)，利用導(dǎo)數(shù)符號(hào)即可判斷單調(diào)性；

(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤e(0,+8),f(x)>0,即上空根據(jù)應(yīng)

XX

的符號(hào)對(duì)X進(jìn)行分類討論：x￡(0,1)時(shí)，當(dāng)x=l時(shí)，當(dāng)X>1時(shí)、其中X>1時(shí)去

掉絕對(duì)值符號(hào)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值即可解決.

解答：解：(1)若a=l,則f(x)=x|x-11-Inx.

當(dāng)x￡［1,e］時(shí)，f(x)=x2-x-Inx,

2

/f、c,12x-X-1

f(x)=2x-1--=-------------->0，

XX

所以f(x)在［1,e］上單調(diào)增，

??f(x)=f(e)=e2-e-1?

max

(2)由于f(x)=x|x-a|-Inx,xW(0,+°°).

(i)當(dāng)aWO時(shí),則f(x)=x2-ax-Inx,

令f'(x)=0,得Xc=a+'w2tg>0(負(fù)根舍去),

04

且當(dāng)x￡(0,xo)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)*￡(xo,+°°)時(shí)，f'(x)>0,

所以f(x)在(0,更立至)上單調(diào)遞減，在(空逞至，+8)上單調(diào)遞增.

44

(ii)當(dāng)a>0時(shí)，

①當(dāng)x》a時(shí)，f'(x)=2x-a-「/J-el1,

XX

令『⑺=。，得干呼舍)，

若里耳控《&，即a》l,則f'(x)20,

所以f(x)在(a,+8)上單調(diào)增；

若a+Yq2±3〉a，即o<a<l,則當(dāng)xd(0,x。時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)xd(X1,+~)

4

時(shí)，f'(x)>0,

所以f(x)在區(qū)間(0,史魚寶)上是單調(diào)減，在(a+jg2場(chǎng)+8)上單調(diào)

44

增.

②當(dāng)0<xVa時(shí)，f'(x)=-2x+a-

xx

令f'(x)=0,得-2x?+ax-1=0,記△=a'-8,

若△=a2-8W0,即0<a<2亞，則f'(x)W0,

故f(x)在(0,a)上單調(diào)減；

若△=a2-8>0,即a>M，

則由f'(x)=0得x°二@一空屋二，且0<x3<xVa,

A3444

當(dāng)x￡(0,X3)時(shí)，f'(x)<0；當(dāng)乂￡(x3,x4)時(shí)，f'(x)>0；當(dāng)*￡(X4,

+8)時(shí)，ff(x)>0,

所以f(x)在區(qū)間(o,a-Va2-8)上是單調(diào)減，在

4

2

^a-7a-8a+{a28上單調(diào)增；在(史夕三1+co)上單調(diào)減.

444

綜上所述，當(dāng)a<l時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a+"+8),單調(diào)遞增區(qū)

4

間是(困爛+8).

當(dāng)l<a<2\歷時(shí)，f(X)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a),單調(diào)的遞增區(qū)間是(a,+~)；

當(dāng)a>氏歷時(shí)，f(x)單調(diào)遞減區(qū)間是(0,a-Va2-8)和(至國(guó)二§,&),

44

單調(diào)的遞增區(qū)間是(芻二a?-8

T~

(3)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤G(0,+8).

由f(x)>0,得|x-a|〉應(yīng).*

X

(i)當(dāng)xd(0,1)時(shí)，|x-a|20,血<0,不等式*恒成立，所以aGR；

X

(ii)當(dāng)x=l時(shí)，11-a|20,Li二0,所以aWl；

x

(iii)當(dāng)x>l時(shí)，不等式*恒成立等價(jià)于Mx-1空恒成立或a>x+1竺恒成立?

xx

令h(x)r—上以則h，(x)=X

xx2

因?yàn)閤>l,所以h'(x)>0,從而h(x)>1.

因?yàn)閍〈x-上更恒成立等價(jià)于a<(h(x))足，所以aWl.

X

令g(x)=x+?，則/(x)=/+l：lnx.

XX2

再令e(x)=x2+l-Inx,則e'(x)=2x-工〉旅xE(1，+°°)上恒成立，e(x)

x

在xG(1,+8)上無(wú)最大值.

綜上所述，滿足條件的a的取值范圍是(-8,1).

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值及函數(shù)恒成立問題，

考查分類討論思想，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力，綜合性強(qiáng)，難度大，對(duì)能力

要求較高.

選做題：21-24四小題中只能選做兩題，每小題10分，共計(jì)20分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)

作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.

21.(10分)(2013?南通二模)如圖，AB是。。的直徑，C,F是。0上的兩點(diǎn)，0CXAB,過

點(diǎn)F作。0的切線FD交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D.連接CF交AB于點(diǎn)E.

求證:DE=DB?DA.

考點(diǎn)：與圓有關(guān)的比例線段.

專題：證明題.

分析：欲證D『=DB?DA,由于由切割線定理得DF?=DB?DA,故只須證：DF=DE,也就是要證:

ZCFD=ZDEF,這個(gè)等式利用垂直關(guān)系通過互余角的轉(zhuǎn)換即得.

解答：證明：連接OF.

因?yàn)镈F切。0于F,所以/0FD=90°.

所以N0FC+/CFD=90°.

因?yàn)镺C=OF,所以/OCF=/OFC.

因?yàn)镃O_LAB于0,所以N0CF+NCE0=90°.（5分）

所以NCFD=/CEO=NDEF,所以DF=DE.

因?yàn)镈F是。0的切線，所以DF'DB-DA.所以DE?=DB?DA.（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的與圓有關(guān)的比例線段、切線的性質(zhì)、切割線定理的運(yùn)用.屬于基礎(chǔ)題.

22.（10分）選修4-2：矩陣與變換

已知矩陣人=3:,若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為可屬于特征值1的

一「2"

一個(gè)特征向量為a.求矩陣A的逆矩陣.

2-2

考點(diǎn)：特征值與特征向量的計(jì)算.

專題：計(jì)算題.

分析：利用特征值與特征向量的定義，建立方程組，即可求得A,求出A的行列式，即可求

得逆矩陣A）

解答：解：由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為可=［；］可得|331=61

11

即c+d=6；

由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量為石二°可得,3333

2

-2d-2-2

即3c-2d=-2,

解得c=2

d=4'

￡__1

'33'-3

即A=,A逆矩陣是

24_1

~3~2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二階矩陣，以及特征值與特征向量的計(jì)算，考查逆矩陣，正確理解特

征值與特征向量是關(guān)鍵，屬于中檔題.

23.已知曲線G的極坐標(biāo)方程為pcos(9-—)-曲線G的極坐標(biāo)方程為

3=lr

p=2j^cos(e-^)，判斷兩曲線的位置關(guān)系-

考點(diǎn)：參數(shù)方程化成普通方程；直線與圓的位置關(guān)系.

專題：直線與圓.

分析：把參數(shù)方程化為普通方程，求出圓心到直線的距離大于半徑，由此可得兩曲線的位置

關(guān)系.

解答：解：將曲線G,G化為直角坐標(biāo)方程得：Cl：x+Jgy+2=0,表示一條直線.

曲線，2：x?+y2-2x-2尸0,即C2：(x-1)2+(y-1)J2，表示一個(gè)圓，

半徑為我.

圓心到直線的距離d=卜一+2|二怨亞,

Vl2+(V3)22

，曲線G與C2相離.

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，直線和

圓的位置關(guān)系應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

24.設(shè)f(x)=x'-x+14,且|x-a|Vl,求證：|f(x)-f(a)|<2(IaI+1).

考點(diǎn)：不等式的證明.

專題：不等式的解法及應(yīng)用.

分析：先利用函數(shù)f(x)的解析式，代入左邊的式子|f(x)-f(a)1中，再根據(jù)If(x)

-f(a)|=|x2-x-a+a|=|x-a|,x+a-11<|x+a-1|=|x-a+2a-l|W|x-a|+|2a

-l1<l+|2a|+l,進(jìn)行放縮即可證得結(jié)果.

解答：證明：由If(x)-f(a)|=|x2-a+a-x|=|(x-a)(x+a-1)|

=|x-a||x+a-11<ix+a-11=I(x-a)+2aT|W|x-a|+|2a|+1V12a|+2

=2(|a|+l).

AIf(x)-f(a)|<2(|a|+l).

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查絕對(duì)值不等式的性質(zhì)，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了化歸的數(shù)學(xué)思想，

屬于中檔題.

25.(10分)袋中裝有大小相同的黑球和白球共9個(gè)，從中任取2個(gè)都是白球的概率為巨.現(xiàn)

12

甲、乙兩人從袋中輪流摸球，甲先取，乙后取，然后甲再取…，每次摸取1個(gè)球，取出的球

部放回，直到其中有一人去的白球時(shí)終止.用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù).

(1)求袋中原有白球的個(gè)數(shù)；

(2)求隨機(jī)變量X的概率分布及數(shù)學(xué)期望E(X).

考離散型隨機(jī)變量的期望與方差；等可能事件的概率；離散型隨機(jī)變量及其分布列.

點(diǎn):

專計(jì)算題；壓軸題.

題：

分（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率的應(yīng)用問題，試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是

析：從9個(gè)球中取2個(gè)球，共有C/種結(jié)果，而滿足條件的事件是從n個(gè)球中取2個(gè)，共有

種結(jié)果，列出概率使它等于已知，解關(guān)于n的方程，舍去不合題意的結(jié)果.

（2）用X表示取球終止時(shí)取球的總次數(shù)，由題意知X的可能取值為1,2,3,4,結(jié)合

變量對(duì)應(yīng)的事件，用等可能事件的概率公式做出結(jié)果，寫出分布列和期望.

解解：（1）由題意知本題是一個(gè)等可能事件的概率的應(yīng)用問題，

答：試驗(yàn)發(fā)生包含的所有事件是從9個(gè)球中取2個(gè)球，共有C/種結(jié)果

而滿足條件的事件是從n個(gè)球中取2個(gè)，共有種結(jié)果

C2

設(shè)袋中原有n個(gè)白球，則從9個(gè)球中任取2個(gè)球都是白球的概率為T，

C2