2012數(shù)學建模深圳杯A答案

答卷編號（參賽學校填寫）：答卷編號（競賽組委會填寫）：論文題目：深圳人口與醫(yī)療需求預測（A）組別：本科生參賽學校：報名序號：參賽隊員信息(必填)： 答卷編號（競賽組委會填寫）：評閱情況（省賽評閱專家填寫）：省賽評閱1：省賽評閱2：省賽評閱3：省賽評閱4：省賽評閱5：深圳市人口與醫(yī)療需求預測模型摘要：人口與醫(yī)療問題是關系到國計民生的大問題，能夠合理而準確地預測就顯得非常重要。但不同城市有不同的人口特點，本文在吸取前人經(jīng)驗的基礎上，以深圳的人口為依托提出了一些新的簡單而實用方法，希望能為政府決策提供幫助。針對深圳市人口結構中非戶籍人口比重大，流動人口多這一特點，我們采用了灰色GM(1,1)模型，通過matlab對深圳市自2001至2010年的數(shù)據(jù)進行擬合，發(fā)現(xiàn)其人口變化近似呈線性增長，線性相關系數(shù)高達0.99，我們就此認定其為線性相關并給出線性方程。同理，針對其非戶籍人口，我們進行matlab擬合發(fā)現(xiàn)，其為非線性相關，并得出相關函數(shù)。通過模擬出的常住人口與非戶籍人口的函數(shù)，我們可以很容易的得出深圳市的人口數(shù)量變化情況，同時我們以非戶籍人口與常住人口的函數(shù)之比作為深圳市人口結構的變化，通過作圖發(fā)現(xiàn)，深圳市非戶籍人口正逐年下降，這正與官方以及媒體報道深圳市產(chǎn)業(yè)轉型相對應。由于深圳市人口結構中外來人口比例接近76%，而且外來人口中以青壯年居多，可以認為在較短時間內（十年內）外來人口年齡結構近似不變，同時當?shù)貞艏丝谝驗槭軞v史條件影響，人口年齡結構在短期內也不會發(fā)生較大變化，所以16.——胃癌患病人數(shù)；17.——肺癌在市級醫(yī)院的病床需求；18.——肺癌在區(qū)級醫(yī)院的病床需求；——胃癌在市級醫(yī)院的病床需求；——胃癌在區(qū)級醫(yī)院的病床需求；模型建立及求解問題=1\*ROMANI：深圳市最近十年常住人口、非常住人口變化特征與未來十年發(fā)展情況。首先，我們采用灰色GM(1,1)模型.采用原因：灰色模型適用于小樣本、貧信息、內在規(guī)律未充分外露的系統(tǒng)，按適當辦法處理原始數(shù)據(jù)后得到規(guī)律性較強的生成函數(shù).本題給出的常住人口、非常住人口數(shù)據(jù)受到難以區(qū)分的多重因素影響，且數(shù)據(jù)量較小，適用于灰色模型.由于常住人口數(shù)量受歷史影響較大，不易發(fā)生較大變化，且在數(shù)據(jù)處理中發(fā)現(xiàn)了較強的線性關系，我們之后采用了一元線性擬合來簡化模型；而非常住人口受各方面因素影響較大，仍保持灰色模型不變。最后我們得出了與常住/非常住人口相關的人口結構變化規(guī)律?；疑Ｐ筒糠?目前使用最廣泛的灰色預測模型就是關于數(shù)列預測的一個變量、一階微分的GM(1,1)模型.它是基于隨機的原始時間序列，經(jīng)按時間累加后所形成的新的時間序列呈現(xiàn)的規(guī)律可用一階線性微分方程的解來逼近.經(jīng)證明，經(jīng)一階線性微分方程的解逼近所揭示的原始時間序列呈指數(shù)變化規(guī)律.因此，當原始時間序列隱含著指數(shù)變化規(guī)律時，灰色模型GM(1,1)的預測是非常成功的.GM(1,1)的定義設為個元素的數(shù)列，的AGO生成數(shù)列為，其中.則定義的灰導數(shù)為，令為數(shù)列的緊鄰均值數(shù)列，即，則.于是定義GM(1,1)灰微分方程模型為，即(a)其中稱為灰導數(shù)，稱為發(fā)展系數(shù)，稱為白化背景值，稱為灰作用量.將時刻代入(a)式中有令，，，稱為數(shù)據(jù)向量，為數(shù)據(jù)矩陣，為參數(shù)向量，則GM(1,1)模型可以表示為矩陣方程.由最小二乘法可以求得GM(1,1)的白化型對于GM(1,1)的灰微分方程（7），如果將的時刻視為連續(xù)的變量，則數(shù)列就可以視為時間的函數(shù)，記為，并讓灰導數(shù)對應于導數(shù)，背景值對應于.于是得到GM(1,1)的灰微分方程對應的白微分方程為稱之為GM(1,1)的白化型.模型建立此預測模型是擬合參數(shù)模型，通過原始數(shù)據(jù)累加生成，得到規(guī)律性較強的序列，用函數(shù)曲線擬合得到預測值.建立過程如下：設原始數(shù)據(jù)序列有n個觀察值，，通過累加生成新序列，利用新生成的序列擬合函數(shù)曲線.利用擬合出的函數(shù)求出新生序列的預測值序列.利用累減還原，得到灰色預測值序列（共n+m個，m個未來預測值）.將序列分為和，其中反映的確定性增長趨勢，反映的平穩(wěn)周期變化趨勢.對序列的確定增長趨勢進行預測.模型求解整理得深圳市2001年~2010年常住人口數(shù)，見下表.表一：深圳市2001~2010年年末常住人口數(shù)根據(jù)上述數(shù)據(jù)建立含有10個觀察值的原始數(shù)據(jù)序列：使用Matlab軟件對進行一次累加，得到新數(shù)列，見表二.表二：GM(1,1)算法擬合值及誤差序號年份模型值殘差相對誤差級比偏差2001724.57002002739.770.00920.123%-0.01212003771.490.00870.112%-0.00042004804.56-0.00470.059%-0.01352005839.06-0.01340.1650%0.00892006875.03-0.00450.0518%0.00902007912.54-0.00020.0020%0.00432008951.660.00270.0287%0.00292009992.460.00260.0257%-0.000220101035.010.00210.0204%-0.0005擬合函數(shù)：由殘差、相對誤差、級比偏差可知此模型精度較高，可用于預測.預測值見下表.表三：2011年~2020年深圳市常住人口預測人數(shù)同理，整理得2001年~2010年非戶籍人口數(shù)如下表.表四：2001年~2010年非戶籍人口數(shù)表五：GM(1,1)算法擬合值及誤差表六：2011~2020年非戶籍人口預測值擬合函數(shù)：一元線性擬合部分由表一作出年份-常住人口數(shù)（單位：萬人）曲線如下圖：圖一由圖可見數(shù)據(jù)的線性關系很強，且在一段時間內仍保持線性增長趨勢。由最小二乘法得擬合函數(shù)為，相關系數(shù)為。非常住人口擬合函數(shù)為。設為人口結構變化率，則。使用EXCEL作圖如下：2001200220032004200520062007200820092010年份%2001200220032004200520062007200820092010年份%圖二由圖可見，深圳市非戶籍人口所占比例逐年下降，并在2009年左右達到穩(wěn)定值，約為76%。問題二：未來全市和各區(qū)醫(yī)療床位需求。模型建立的前提：未來十年深圳市各年齡段比例不變。原因：由上題結果可知，深圳市非戶籍人口所占比例逐年下降，并趨近于76%的穩(wěn)定值，且深圳市非戶籍人口以年輕人為主，在較短時間內年齡結構基本不變；而常住人口受歷史影響較大，年齡結構在短期內基本不變。因此，可以認為未來十年深圳市各年齡段比例保持不變。查找資料得病床需求量公式如下：[3]設病床總需求為Q，為第年（以2011年為第1年）深圳人口總數(shù)，為年齡段所占比例（0~4歲為1，5~14歲為2，依此類推，），為年齡段住院率，平均住院天數(shù)為，平均年床開放日數(shù)為。則(b)各年齡段住院率見下圖：‰‰圖三由于自然規(guī)律，各年齡段發(fā)病住院率基本不變，因此可用圖中數(shù)據(jù)計算。深圳市各年齡段比例見下圖：圖四查找資料得，。由(b)式結合圖三、圖四可得預測結果如下表。模型的進一步處理：醫(yī)院在實際配置病床時，除考慮需求量外，還需考慮潛在需求量和流動人口對病床的需求量。由文獻可知城市病床潛在需求量為實際利用量的20%；根據(jù)第一次國家衛(wèi)生服務調查和流動人口調查結構估算，流動人口醫(yī)院病床需要數(shù)相當于本地居民需要的10%?？紤]上述因素后，醫(yī)院病床配置的推薦公式為：[4]設醫(yī)院病床推薦配置數(shù)為，病床潛在需求量為，流動人口病床需要數(shù)為。因此(c)根據(jù)(b)可求出未來十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)如下表。表七：未來十年醫(yī)院病床推薦配置數(shù)根據(jù)各區(qū)人數(shù)與全市人口的比例可求出各區(qū)病床推薦配置數(shù)。圖五表八：各區(qū)推薦床位數(shù)（以2020年為例）問題=2\*ROMANII：不同疾病在不同醫(yī)療機構的床位需求——以肺癌和胃癌為例考慮到模型的實用情況，我們選取了在人群中發(fā)病率較高的肺癌和胃癌作為預測對象。查閱文獻可得不同年齡段肺癌和胃癌發(fā)病率如下表：表九：不同年齡段肺癌發(fā)病率分組（歲）調查人數(shù)患病人數(shù)患病率（%）44歲以下82100.0045~54109110.0955~64174390.5265~741857241.2975以上18942.12表十“不同年齡段胃癌發(fā)病率分組 （歲）調查人數(shù)患病人數(shù)患病率（%）44歲以下8210045~5410910055~64174330.1765~741857140.7575以上18963.18針對以上數(shù)據(jù)，由第一問得出深圳未來人口變化情況為，設為肺癌患病人數(shù)，為胃癌患病人數(shù)。因為某種疾病的患病人數(shù)等于該所有年齡段的人數(shù)與它們所對應的患病率乘積之和，則由圖4的人口年齡結構得每種疾病的患病人數(shù)如下：（單位：萬）(單位：萬）經(jīng)查閱資料，不同疾病在不同類型的醫(yī)院的住院天數(shù)如表十一所示：表十一.肺癌和胃癌在不同級別醫(yī)院住院天數(shù)[2]病種市級區(qū)級住院天數(shù)術后住院天數(shù)住院天數(shù)術后住院天數(shù)肺癌36204441胃癌30204735則由上表可知，肺癌在市級醫(yī)院平均住院天數(shù)為56天，在區(qū)級醫(yī)院平均住院天數(shù)為85天；胃癌在市級醫(yī)院平均住院天數(shù)為50天，在區(qū)級醫(yī)院平均住院天數(shù)為82天。設肺癌在市級醫(yī)院的病床需求為，在區(qū)級醫(yī)院的病床需求為，則由第一問得知，理想的病床需求為：[3]在本模型中假設得肺癌與胃癌的人都住院，則(注：查閱資料知大城市年床開放日數(shù)為317天，區(qū)級則為237天，C為深圳市得肺癌的人數(shù)），。則，（注：為年份，結果取整）設胃癌在市級醫(yī)院的病床需求為，在區(qū)級醫(yī)院的病床需求為，則同理可得，，，則，(注：為年份，結果取整）模型評價與改進方向模型建造中沒有考慮到年齡結構的變化，而深圳市年齡結構是趨向老齡化方向的，老年人體質弱，易生病住院，因此實際得出的床位數(shù)小于實際需求的床位數(shù)。模型沒有體現(xiàn)出深圳不同區(qū)的人口變化函數(shù)，而只是假設其人口總量對深圳總人口量保持不變，實際上每個區(qū)的發(fā)展不同，人口變化也不同。本模型只適應于預測短期，不適應于長期。本模型還是比較合理的，相比其它同類模型而言，本模型立意新穎，結構簡單，易于理解，同時具有很強的操作性，值得政府部門參考。本模型巧妙的忽略了問題的次要矛盾，即年齡結構，各區(qū)所占比例，雖然喪失了一些精確度，但是相對于其它繁瑣的模型而言，還是利大于弊的從提高準確性與普遍性的角度考慮，還可以引入關于年齡結構的擬合函數(shù)以及各區(qū)獨立的人口發(fā)展函數(shù)。參考文獻唐麗芳、賈冬青、孟慶鵬，2008.《用MATLAB實現(xiàn)灰色預測GM(1,1)模型》.滄州師范?？茖W校學報，24:35上海醫(yī)科大學陳興寶、鄭恩群、陳潔上海市不同級別醫(yī)院平均住院天數(shù)分析，饒克勤、陳育德關于制定衛(wèi)生資源配置標準的幾點建議，1999年03期39頁饒克勤、陳育德關于制定衛(wèi)生資源配置標準的幾點建議，1999年03期40頁八、附件GM(1,1)灰色模型常住人口：clearx0=[724.57746.62778.27800.8827.75871.1912.37954.28995.011037.2]n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda);x1=cumsum(x0);fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)];Y=x0(2:n)';u=B\Yx=dsolve('Dx+a*x=b','x(0)=x0');x=subs(x,{'a','b','x0'},{u(1),u(2),x1(1)});yuce1=subs(x,'t',[0:n-1]);digits(6),y=vpa(x)yuce=[x0(1),diff(yuce1)]epsilon=(x0-yuce)./x0%求殘差delta=abs(epsilon./x0)%求相對誤差rho=1-(1-0.5*u(1))/(1+0.5*u(1))*lamda%求級比誤差yuce1=subs(x,'t',[0:19]);%共20年預測值非戶籍人口：x0=[592.53607.17627.34635.67645.82674.27699.99726.21753.56786.17];n=length(x0);lamda=x0(1:n-1)./x0(2:n)range=minmax(lamda);x1=cumsum(x0);fori=2:nz(i)=0.5*(x1(i)+x1(i-1));endB=[-z(2:n)',ones(n-1,1)