江蘇省常州市2021年數(shù)學中考真題卷（含答案與解析）

常州市2021年初中畢業(yè)生學業(yè)考試

數(shù)學試卷

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼貼在答

題卡指定位置。

2.答題時，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對應題目的答案標號涂黑；非選擇題答案，用

0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對應的答題區(qū)域內。答案答在試題卷上無效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y束后,將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題（本大題共8小題，每小題2分,共16分.在每小題所給出的四個選項中，只有

一項是正確的）

"的倒數(shù)是（）

C.1D.-1

A.2B.-2

22

2.計算（〃，丫的結果是（）

A.WB.加6C.m8D.m9

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

OO

O

A.正方體B.圓錐C.圓柱D.球

4.觀察所示臉譜圖案，下列說法正確的是（）

A.它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形B.它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形

C.它既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形D.它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

5.如圖，8c是。0的直徑，AB是的弦.若NAOC=60。，則NOAB的度數(shù)是（）

A.20°B,25°C.30°D,35°

6.以下轉盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積相等的扇形，任意轉動這4個轉盤各1次.已知某轉盤

停止轉動時，指針落在陰影區(qū)域的概率是,，則對應的轉盤是（）

3

7.已知二次函數(shù)y=（a—l）f,當x>0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)。的取值范圍是（）

A.。>()B.a>\C.awlD.a<\

8.為規(guī)范市場秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門對某一商品的價格持續(xù)監(jiān)控.該商品的價格y（元/件）隨

時間f（天）的變化如圖所示，設為（元/件）表示從第1天到第1天該商品的平均價格,則必隨，變化的

圖像大致是（）

必

15

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填

寫在答題卡相應位置上）

9.計算：^27=一.

10.計算：2a之一（4？+2）=—.

11.分解因式：x2-4y2=.

12.近年來，5G在全球發(fā)展迅猛，中國成為這一領域基礎設施建設、技術與應用落地的一大推動者.截至

2021年3月底，中國已建成約819000座5G基站，占全球70%以上.數(shù)據(jù)819000用科學記數(shù)法表示為

13.數(shù)軸上的點A、B分別表示-3、2,則點離原點的距離較近（填"A"或"B"）.

14.如圖，在平面直角坐標系中，四邊形043c是平行四邊形，其中點A在x軸正半軸上.若3。=3,

則點A的坐標是

15.如圖，在AABC中，點。、E分別在BC、AC上，N5=4()o,NC=60。.若DE"AB,則

ZAED=

16.中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補法.如圖所示，在

△A6C中，分別取AB、AC的中點。、E,連接。E，過點A作”1小，垂足為凡將AABC分割后

拼接成矩形BCHG.若。E=3,4b=2,則AABC的面積是.

17.如圖，在AAbC中，4c=3,BC=4,點。、E分別在C4、CB上，點尸在AABC內.若四邊形CDFE

是邊長為1正方形，貝iJsin/EBA=.

c

E

18.如圖，在中，ZACB=90°,ZCBA=30°,AC=1,。是AB上一點（點。與點A不重合）.若

在直角邊上存在4個不同的點分別和點A、。成為直角三角形的三個頂點，則AO長的取值范

圍是.

三、解答題（本大題共10小題，共84分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，如無特殊說明，解答

應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

19.計算：4一（一1）2一（％_］）。+27.

20.解方程組和不等式組：

x+y=0

⑴4,

2x-y=3

f3x+6>0

⑵1C

x-2<-x

21.為降低處理成本，減少土地資源消耗，我國正在積極推進垃圾分類政策，引導居民根據(jù)“廚余垃圾”、

“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”這四類標準將垃圾分類處理調查小組就某小區(qū)居民對垃圾分

類知識的了解程度進行了抽樣調查，并根據(jù)調查結果繪制成如下統(tǒng)計圖.

人數(shù)

(1)本次調查的樣本容量是;

(2)補全條形統(tǒng)計圖；

(3)己知該小區(qū)有居民2000人，請估計該小區(qū)對垃圾分類知識“完全了解”的居民人數(shù).

22.在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形A8CD是菱形；②四邊形ABCD有一個內角是直角;

③四邊形ABCZ)的對角線相等.將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中.

(1)攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是；

(2)攪勻后先從中任意抽出1支簽(不放回)，再從余下2支簽中任意抽出1支簽.四邊形ABCO同時

滿足抽到的2張小紙條上的條件，求四邊形A3CD一定是正方形的概率.

23.如圖，B、F、C、E是直線/上的四點，AB〃DE,AB=DE,BF=CE.

(1)求證：AABC冬ADEF；

(2)將△ABC沿直線/翻折得到△ABC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出AABC(保留作圖痕跡，不要求寫作法)；

②連接A'D，則直線A'D與I的位置關系是.

24.為落實節(jié)約用水的政策，某旅游景點進行設施改造，將手擰水龍頭全部更換成感應水龍頭.已知該景點

在設施改造后，平均每天用水量是原來的一半，20噸水可以比原來多用5天，該景點在設施改造后平均每

天用水多少噸？

25.如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y=+b圖像分別與X軸、y軸交于點A、B,與反比例

函數(shù)y=±(x>0)的圖像交于點C,連接OC.已知點A(T,0),AB=2BC.

(1)求b、%的值；

(2)求△AOC的面積.

26.通過構造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最值,

這是“數(shù)形結合”思想的典型應用.

【理解】

(1)如圖1,AC±BC,CD±AB,垂足分別為C、D,E是的中點，連接CE.已知4)=。,

BD=b(0<a<b).

①分別求線段CE、CO的長(用含。、。的代數(shù)式表示)；

②比較大?。篊ECD(填“<”、"=”或“>”)，并用含“、6的代數(shù)式表示該大小關系.

【應用】

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，點M、N在反比例函數(shù)y='(x>0)的圖像上，橫坐標分別為加、

n.設p=，%+〃，q=—+一,記I=.pq.

mn4

①當根=1,〃=2時，1=；當根=3,〃=3時，I=；

②通過歸納猜想，可得/的最小值是.請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立.

27.在平面直角坐標系xQy中，對于A、4兩點，若在y軸上存在點。使得NA7X'=90。，且力4=Z4',

則稱A、A'兩點互相關聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關聯(lián)點.己知點用（一2,0）、N（—l,0）,點。（加,〃）

在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

⑴①如圖，在點3（2,0）、C（0,-l）,0（—2,—2）中，點M的關聯(lián)點是（填“8”、"。域“￡>”）；

②若在線段MN上存在點P（l,l）的關聯(lián)點P,則點P'的坐標是；

（2）若在線段MN上存在點Q的關聯(lián)點Q',求實數(shù)機的取值范圍；

（3）分別以點七（4,2）、Q為圓心，1為半徑作OE、OQ.若對OE上的任意一點G,在。。上總存在

點G',使得G、G'兩點互相關聯(lián)，請直接寫出點Q的坐標.

28.如圖，在平面直角坐標系宜刀中，正比例函數(shù)丁="（%。0）和二次函數(shù)曠=-；無2+法+3的圖像都

經過點A（4,3）和點B,過點A作OA的垂線交x軸于點C.。是線段AB上一點（點。與點A、。、8不重

合），E是射線AC上一點，且AE=OD,連接。E,過點。作x軸的垂線交拋物線于點F,以DE、DF

為鄰邊作Y￡>EGr.

yy

(1)填空：k=________,b=_______；

(2)設點。的橫坐標是，Q>0),連接政.若/FGE=/DFE,求f的值；

(3)過點尸作AB垂線交線段DE于點P.若5即=1SaDEGF,求。。的長.

參考答案

一、選擇題(本大題共8小題，每小題2分，共16分.在每小題所給出的四個選項中，只有

一項是正確的)

的倒數(shù)是()

2

A.2B.-2C.—D.--

22

【答案】A

【解析】

【分析】直接利用倒數(shù)的定義即可得出答案.

【詳解】解：」倒數(shù)是2,

2

故選：A.

【點睛】此題主要考查了倒數(shù)，正確掌握相關定義是解題關鍵.

2.計算(加2丫的結果是()

A.m5B.mbC.m8D.M

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)基的乘方公式，即可求解.

【詳解】解：（加2）3=^6,

故選B.

【點睛】本題主要考查幕的乘方公式，掌握幕的乘方公式，是解題的關鍵.

3.如圖是某幾何體的三視圖，該幾何體是（）

A.正方體B.圓錐C.圓柱D.球

【答案】D

【解析】

【分析】首先根據(jù)俯視圖將正方體淘汰掉，然后根據(jù)主視圖和左視圖將圓錐和圓柱淘汰，即可求解.

【詳解】解：???俯視圖是圓，

，排除A,

???主視圖與左視圖均是圓，

排除B、C,

故選：D.

【點睛】此題主要考查了簡單幾何體的三視圖，用到的知識點為：三視圖分為主視圖、左視圖、俯視圖,

分別是從物體正面、左面和上面看，所得到的圖形.

4.觀察所示臉譜圖案，下列說法正確的是（）

A.它是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形B.它是中心對稱圖形，不是軸對稱圖形

C.它既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形D.它既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義，逐一判斷選項，即可.

【詳解】解：臉譜圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，

故選A.

【點睛】本題主要考查軸對稱和中心對稱圖形，掌握軸對稱和中心對稱圖形的定義，是解題的關鍵.

5.如圖，8C是。。的直徑，A8是O。的弦.若NAOC=60°,則/。鉆的度數(shù)是（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【解析】

【分析】先根據(jù)平角的定義求出/AO8,再根據(jù)等腰三角形的性質求解，即可.

【詳解】解：?.?NAOC=60°,

.?./4。8=180°-60°=120°,

'：OA=OB,

ZOAB=ZOBA=（180°-120°）4-2=30",

故選C.

【點睛】本題主要考查圓基本性質以及等腰三角形的性質，掌握圓的半徑相等，是解題的關鍵.

6.以下轉盤分別被分成2個、4個、5個、6個面積相等的扇形，任意轉動這4個轉盤各1次.已知某轉盤

停止轉動時，指針落在陰影區(qū)域的概率是:，則對應的轉盤是（）

c.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)概率公式求出每個選項的概率，即可得到答案.

【詳解】解：A.指針落在陰影區(qū)域的概率是:，

B.指針落在陰影區(qū)域的概率是

4

2

C.指針落在陰影區(qū)域的概率是彳，

D.指針落在陰影區(qū)域的概率是

3

故選D.

【點睛】本題主要考查兒何概率，熟練掌握概率公式，是解題的關鍵.

7.已知二次函數(shù)y=(a—l)V,當x>0時，y隨x增大而增大，則實數(shù)。的取值范圍是()

Aa>0B.a>lC.a。1D.a<l

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質，可知二次函數(shù)的開口向上，進而即可求解.

【詳解】?.?二次函數(shù)y=(a—l)V的對稱軸為y軸，當x〉0時，y隨x增大而增大，

...二次函數(shù)y=(a-l)x2的圖像開口向上，

.\a-l>0,即：a>\,

故選B.

【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的性質，掌握二次函數(shù)的開口方向與二次項系數(shù)的關系，是解題的關鍵.

8.為規(guī)范市場秩序、保障民生工程，監(jiān)管部門對某一商品的價格持續(xù)監(jiān)控.該商品的價格,（元/件）隨

時間/（天）的變化如圖所示，設為（元/件）表示從第1天到第f天該商品的平均價格，則y?隨，變化的

圖像大致是（）

X

15

【分析】根據(jù)函數(shù)圖像先求出X關于，的函數(shù)解析式，進而求出當關于，的解析式，再判斷各個選項，即

可.

【詳解】解：?.?由題意得:當10W6時,y=2件3,

當6<W25時，川=15,

當2530時，y,=-2r+65,

.?.當』W6時，'好等4=「+4,

(5+15)x630

當6V/W25時,+15(-6)+，=15-----,

2

(5+15)x6/、「13+(-2，+65)]x(f-25)

當25V/W30時，乃=-——Y―+15x(25-6)+i=-----------------------+(

630人

=-t-----+64,

t

.?.當t=30時，％=13,符合條件的選項只有A.

故選A.

【點睛】本題主要考查函數(shù)圖像和函數(shù)解析式，掌握待定系數(shù)法以及函數(shù)圖像上點的坐標意義，是解題的

關鍵.

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分.不需寫出解答過程，請把答案直接填

寫在答題卡相應位置上)

9.計算：病=—.

【答案】3

【解析】

【詳解】試題分析：根據(jù)立方根的定義，求數(shù)a的立方根，也就是求一個數(shù)x,使得x3=a,則x就是a的一

個立方根：

?.?33=27,.?.炳=3.

10.計算：2a2-(/+2)=.

【答案】a2-2

【解析】

【分析】先去括號，再合并同類項，即可求解.

【詳解】解：原式=2片_/_2

-a1-2，

故答案是：a2-2.

【點睛】本題主要考查整式的運算，掌握去括號法則以及合并同類項法則，是解題的關鍵.

11.分解因式：x2-4y2=.

【答案】(x-2y)(x+2y)

【解析】

【分析】根據(jù)平方差公式分解因式，即可.

【詳解】解：J—4/=(x-2y)(x+2y),

故答案是：(x-2y)(x+2y).

【點睛】本題主要考查因式分解，掌握平方差公式是解題的關鍵.

12.近年來，5G在全球發(fā)展迅猛，中國成為這一領域基礎設施建設、技術與應用落地的一大推動者.截至

2021年3月底，中國已建成約819000座5G基站，占全球70%以上.數(shù)據(jù)819000用科學記數(shù)法表示為

【答案】8.19X105

【解析】

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為aX10〃的形式，其中1W⑷<10,〃為整數(shù).確定〃的值時，要看把原數(shù)

變成“時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當原數(shù)絕對值》10時，〃是正數(shù)；

當原數(shù)的絕對值<1時，"是負數(shù).

【詳解】解：819000=8.19X105,

故答案是：8.19X105.

【點睛】此題考查科學記數(shù)法的表示方法.科學記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中"為

整數(shù)，表示時關鍵要正確確定。的值以及〃的值.

13.數(shù)軸上的點A、B分別表示-3、2,則點離原點的距離較近(填“4”或"B”).

【答案】B

【解析】

【分析】先求出人8點所對應數(shù)的絕對值，進而即可得到答案.

【詳解】解：???數(shù)軸上的點A、B分別表示-3、2,

.?.卜3|=3,|2|=2,且3>2,

二點B離原點的距離較近，

故答案是：B.

【點睛】本題主要考查數(shù)軸上點與原點之間的距離，掌握絕對值的意義，是解題的關鍵.

14.如圖，在平面直角坐標系X0Y中，四邊形0LBC是平行四邊形，其中點A在x軸正半軸上.若5C=3,

則點4的坐標是.

【答案】（3,0）

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質，可知：OA=8C=3,進而即可求解.

【詳解】解：?.?四邊形。鉆C是平行四邊形，

：.OA=BC=3,

.,.點A的坐標是（3,0）,

故答案是：（3,0）.

【點睛】本題主要考查平行四邊形的性質以及點的坐標，掌握平行四邊形的對邊相等，是解題的關鍵.

15.如圖，在AABC中，點力、E分別在8C、AC上，N3=4（）o,NC=60。.若。皮/A6,則

/AED=

【答案】100

【解析】

【分析】先根據(jù)三角形內角和定理求出NA=80。，再根據(jù)平行線的性質，求出NA￡。，即可.

【詳解】解：?.?NB=40°,NC=60°,

AZA=180°-40°-60°=80°,

DE//AB,

AZA￡D=180°-80°=100°.

故答案是100.

【點睛】本題主要考查三角形內角和定理以及平行線的性質，掌握兩直線平行，同旁內角互補，是解題的

關鍵.

16.中國古代數(shù)學家劉徽在《九章算術注》中，給出了證明三角形面積公式的出入相補法.如圖所示，在

△A8C中，分別取AB、AC的中點。、E,連接過點A作AF1DE，垂足為F,將AABC分割后

拼接成矩形8cHG.若OE=3,AE=2,則AABC的面積是

【答案】12

【解析】

【分析】先證明△ADbgABDG,NAEF”ACEH,把三角形的面積化為矩形的面積，進而即可求解.

【詳解】解：是AB的中點，四邊形是矩形，

：.AD=BD,ZG=ZAFD=90°,

又；NADF=NBDG,

：.AADF^^ABDG，

：.DF=DG,AF=BG=2,

同理：AAEFMACEH,

:.EF=EH,

：.GH=2(DF+EF)=2DE=2X3=6,

...AABC的面積=矩形8CHG的面積=2X6=12.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，矩形的性質，通過全等三角形的判定，把三角形的面積

化為矩形的面積，是解題的關鍵.

17.如圖，在△MC中，AC=3,BC=4,點。、E分別在C4、CB上，點尸在AABC內.若四邊形皿芯

是邊長為1的正方形，貝iJsin/EfiA

c

E

【答案】叵

10

【解析】

SS

【分析】連接AF,CF,過點F作FMLAB,由SaABC=+,BCF+.ABF，可得FAf=l,再根據(jù)銳角三

角函數(shù)的定義，即可求解.

【詳解】解：連接AF，CF,過點F作尸M_LAB,

?.?四邊形CDEE是邊長為1的正方形,

.../C=90°,

???止用+42=5,

**S4ABe=^AACF+S&BCF+SAABF?

—x3x4=—x3xl+—x4xl+—x5xFM,

2222

???FM=1,

?/BF=^（4-l）2+l2=VlO，

sinZFBA=-^==—.

Mio

故答案是：叵.

10

【點睛】本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，勾股定理，掌握”等積法"是解題的關鍵.

18.如圖，在RfziABC中，ZACB=90°,Z.CBA=30°,AC-1,。是A3上一點（點。與點A不重合）.若

在RMA8C的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、。成為直角三角形的三個頂點，則長的取值范

圍是.

4

【答案】一<A￡><2

3

【解析】

【分析】以4。為直徑，作OO與8C相切于點連接OM,求出此時AD的長；以AO為直徑，作。。，

當點。與點B重合時，求出AD的長，進入即可得到答案.

【詳解】解：以為直徑，作與BC相切于點M,連接。M,則OMJLBC,此時，在的直

角邊上存在3個不同的點分別和點A、。成為直角三角形，如圖，

,/在Rt^ABC中，ZACB=90°,NCBA=30°,AC=1,

：.AB=2,

OMLBC,

設OM=x,貝l]4O=x,

24

：.AD=2X-=-,

33

以A4為直徑，作OO,當點。與點B重合時，如圖，此時A￡>=AB=2,

.?.在的直角邊上存在4個不同的點分別和點A、。成為直角三角形的三個頂點，則A￡>長的取值

4

范圍是：一V4OV2.

3

4

故答案是：一VADV2.

3

【點睛】本題主要考查圓的綜合問題，熟練掌握圓周角定理的推論，解直角三角形，畫出圖形，分類討論,

是解題的關鍵.

三、解答題（本大題共10小題，共84分.請在答題卡指定區(qū)域內作答，如無特殊說明，解答

應寫出文字說明、演算步驟或推理過程）

19.計算："一（一1）2-（%一1）°+27.

【答案】工

2

【解析】

【分析】先算算術平方根，零指數(shù)基，負整數(shù)指數(shù)幕以及平方運算，再算加減法，即可求解.

【詳解】解：原式=2-1-1+，

2

~2'

【點睛】本題主要考查實數(shù)的混合運算，掌握算術平方根，零指數(shù)幕，負整數(shù)指數(shù)事以及平方運算法則,

是解的關鍵.

20.解方程組和不等式組:

x+y=0

.2x-y=3

3x+6>0

⑵<

x—2<—x

x=1

【答案】（1）];（2）-2<x<l

1尸-1

【解析】

【分析】（1）利用加減消元法，即可求解;

（2）分別求出各個不等式的解，再取公共部分，即可求解.

x+y=0①

【詳解】解:'2x-y=3②

①+②，得3x=3,解得：x=l,

把41代入①得：y=-\,

龍=1

???方程組的解為：\

[y=-i

3x+6>0①

x—2<—

由①得：x>-2,

由②得：X<1,

...不等式組的解為：-2<x<l

【點睛】本題主要考查解二元一次方程組以及解一元一次不等式組，掌握加減消元法以及解不等組的基本

步驟，是解題的關鍵.

21.為降低處理成本，減少土地資源消耗，我國正在積極推進垃圾分類政策，引導居民根據(jù)“廚余垃圾”、

“有害垃圾”、“可回收物”和“其他垃圾”這四類標準將垃圾分類處理調查小組就某小區(qū)居民對垃圾分

類知識的了解程度進行了抽樣調查，并根據(jù)調查結果繪制成如下統(tǒng)計圖.

人數(shù)

（1）本次調查的樣本容量是;

（2）補全條形統(tǒng)計圖；

（3）已知該小區(qū)有居民2000人，請估計該小區(qū)對垃圾分類知識“完全了解”的居民人數(shù).

【答案】⑴100；（2）補全圖形見詳解；（3）600

【解析】

【分析】（1）用較多了解的人數(shù)一對應百分比，即可求解；

（2）先算出完全了解人數(shù)，較少了解人數(shù)，再補全統(tǒng)計圖，即可；

（3）用2000X“完全了解”的百分比，即可求解.

【詳解】解:（1）55+55%=100（人）,

故答案是：100；

（2）完全了解人數(shù)：100X30%=30（人），

較少了解人數(shù)：100-30-55-5=10（:人），

補全統(tǒng)計圖如下：

人數(shù)

（3）2000x30%=600（人）,

答：估計該小區(qū)對垃圾分類知識“完全了解”的居民人數(shù)有600人.

【點睛】本題主要考查扇形統(tǒng)計圖和條形統(tǒng)計圖，準確找出相關數(shù)據(jù)，是解題的關鍵.

22.在3張相同的小紙條上，分別寫上條件：①四邊形A8CO是菱形；②四邊形ABCD有一個內角是直角;

③四邊形ABCD的對角線相等.將這3張小紙條做成3支簽，放在一個不透明的盒子中.

（1）攪勻后從中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率是；

（2）攪勻后先從中任意抽出1支簽（不放回），再從余下的2支簽中任意抽出1支簽.四邊形A8CD同時

滿足抽到的2張小紙條上的條件，求四邊形ABCO一定是正方形的概率.

【答案】（1）-；（2）1

33

【解析】

【分析】（1）根據(jù)等可能事件的概率公式，直接求解，即可；

（2）先畫出樹狀圖，再根據(jù)概率公式，即可求解.

【詳解】解：（1）3支簽中任意抽出1支簽，抽到條件①的概率=1+3=：,

故答案是：一；

3

（2）畫出樹狀圖：

:一共有6種等可能的結果，四邊形A5C。一定是正方形的可能有4種，

2

，四邊形ABC。一定是正方形的概率=4+6=§.

【點睛】本題主要考查等可能事件的概率，熟練畫出樹狀圖是解題的關鍵.

23.如圖，B、F、C、E是直線/上的四點，AB//DE,AB=DE,BF=CE.

（1）求證：Z\ABC%ADEF；

（2）將AABC沿直線/翻折得到AABC.

①用直尺和圓規(guī)在圖中作出AABC（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；

②連接A'D，則直線A'D與I的位置關系是.

【答案】（1）見詳解；（2）①見詳解；②平行

【解析】

【分析】（1）根據(jù)“SAS”即可證明人鉆。烏△。石尸；

（2）①以點8為圓心，為半徑畫弧，以點C為圓心，CA為半徑畫畫弧，兩個弧交于A',連接A3,A'C,

即可；

②過點A'作A'過點。作ON，/,則A'M〃ON,&A,M=DN,證明四邊形4MND是平行四邊形，

即可得到結論.

【詳解】（1）證明：???3斤=。石，

：.BC=EF,

ABUDE,

NABC=NDEF,

又,:AB=DE,

：.ZXABC沿/\DEF；

(2)①如圖所示，AA'BC即為所求;

②A'。〃/,理由如下：

AABC且△￡>￡/，△ABC與AABC關于直線/對稱，

二4KBe9叢DEF,

過點A'作AMJJ,過點。作￡WJJ,則A'M〃￡W,且4M=￡W,

四邊形A'MND是平行四邊形，

：.AD//1，

故答案是：平行.

【點睛】本題主要考查全等三角形的判定和性質，平行四邊形的判定和性質，添加輔助線，構造平行四邊

形是解題的關鍵.

24.為落實節(jié)約用水的政策，某旅游景點進行設施改造，將手擰水龍頭全部更換成感應水龍頭.已知該景點

在設施改造后，平均每天用水量是原來的一半，20噸水可以比原來多用5天，該景點在設施改造后平均每

天用水多少噸？

【答案】該景點在設施改造后平均每天用水2噸.

【解析】

【分析】設該景點在設施改造后平均每天用水x噸，則原來平均每天用水2x噸，列出分式方程，即可求解.

【詳解】解：設該景點在設施改造后平均每天用水x噸，則原來平均每天用水2%噸，

由題意得：-------=5,解得：x=2,

Xlx

經檢驗：戶2是方程的解，且符合題意，

答：該景點在設施改造后平均每天用水2噸.

【點睛】本題主要考查分式方程的實際應用，找出等量關系，列出方程，是解題的關鍵.

25.如圖，在平面直角坐標系中，一次函數(shù)丫=3尢+人的圖像分別與x軸、》軸交于點A、B,與反比例

函數(shù)y=：(x>0)的圖像交于點C,連接。C.已知點A(T,O),AB^2BC.

(1)求公(的值;

(2)求△AOC的面積.

【答案】(1)b=2,仁6；(2)6

【解析】

【分析】⑴過點C作CDLr軸，貝iJOB〃CQ,把A(~4,0)代入y=gx+6得：b=2,由△AOBSAADC，

得?="=2,進而即可求解；

DACD3

(2)根據(jù)三角形的面積公式，直接求解即可.

【詳解】解：⑴過點C作C￡>，x軸，貝1]08〃8,

把A(-4,0)代入y=gx+6得：0=；x(-4)+3,解得：6=2,

/.y=5x+2,

令x=0代入y=；尤+2,得)=2,即8(0,2),

:.08=2,

VAB=2BC,OB//CD,

???/\AOBs/\ADC,

0AOB2nn422

,,DACD3',DACD3

：.DA=6fCD=3

OD=6-4=2,

；?D(2,3),

k

；.3=；,解得：k=6；

2

(2)△AOC的面積=LQA-CO='X4X3=6.

22

【點睛】本題主要考查反比例函數(shù)與一次函數(shù)綜合，相似三角形的判定和性質，掌握待定系數(shù)法以及函數(shù)

圖像點的特征，是解題關鍵.

26.通過構造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關系或最值,

這是“數(shù)形結合”思想的典型應用.

【理解】

(1)如圖1,AC±BC,CD±AB,垂足分別為C、D,E是AB的中點，連接CE.已知4)=。，

BD=h(Q<a<h).

①分別求線段CE、CO的長(用含。、。的代數(shù)式表示)；

②比較大?。篊ECD(填“<”、"=”或“>”)，并用含“、6的代數(shù)式表示該大小關系.

【應用】

(2)如圖2,在平面直角坐標系中，點M、N在反比例函數(shù)y='(x>0)的圖像上，橫坐標分別為加、

n,設p=m+〃,q=—+—,記I=.pq.

mn4

①當根=1,〃=2時，1=；當根=3,〃=3時，I=；

②通過歸納猜想，可得/的最小值是.請利用圖2構造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立.

I19

【答案】(1)①CD-ah，CE=—(a+Z?)；②＞，一(a+〃)＞y[ab；(2)①—，1；②/的最小值是1.

228

理由見詳解

【解析】

【分析】(1)①先證明△ADCs^cng,從而得8?=必，進而得C。的值，根據(jù)直角三角形的性質，

直接得CE的值；②根據(jù)點到線之間，垂線段最短，即可得到結論；

(2)①把相，”的值直接代入/」pq=!(m+〃),+'進行計算，即可；②過點M作x,y軸的平行

44\mn)

線，過點N作x,)，軸的平行線，如圖所示，則A(〃，—),B(m,-),畫出圖形，用矩形的面積表示

mn

\\mx-+mx-+nx-+nx—\,進而即可得到結論.

4\mnnm)

【詳解】解：(1)①?；AC，5C,CO_LA8,

AZACD+ZA=ZACD+ZBCD=90Q,B|J：ZA=ZBCD,

XVZADC=ZCDB=90°,

/\ADC^/\CDB,

ADCDaCD

..------,即Hn：=,

CDBDCDh

***CD2=ab,即：CD=\[ab(負值舍去)，

YE是AB的中點,

CE二;A8=g(a+2)

?VCD±AB,0<a<b,

?*.CE>CD,即：'(a+〃)>\[ab-

故答案是：＞；

9

(2)①當==2時，,/=*如+=-x(l+2)x

8

當加=3,〃=3時，［=Lpq=L("i+n)

=1X(3+3)X

44

9

故答案是:8-

②/的最小值是：1,理由如下：

由題意得：M（，n,-）,N（〃，-），過點M作x,y軸的平行線，過點N作x,y軸的平行線，如圖所示，則

mn

11

A（"，—），B（m,—）,

mn

11z/IOif111

/=——(機+/?)—+—=—mx——bmx—+〃x—+〃x—

44\mn)4\mnnm)

=-［(①的面積+②的面積)+②的面積+(②的面積+④的面積)+(①的面積+②的面積+③的面積+④的

面積）］

=-［（①的面積+②的面積）+（②的面積+④的面積）+（①的面積+②的面積）+（②的面積+④的面積）

+③的面積］

二—(1+1+1+1+③的面積)21,

???/的最小值是1.

【點睛】本題主要考查直角三角形的性質，反比例函數(shù)的圖像和性質以及相似三角形的判定和性質，熟練

掌握相似三角形的判定和性質，反比例函數(shù)圖像上點的坐標特征，是解題的關鍵.

27.在平面直角坐標系xOy中，對于A、A'兩點，若在y軸上存在點T,使得NA7X'=90°,且必=7X'，

則稱4、A'兩點互相關聯(lián)，把其中一個點叫做另一個點的關聯(lián)點.已知點M（-2,0）、點

在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上.

⑴①如圖，在點B（2,o）、。（0,-1）、。（一2,-2）中，點M的關聯(lián)點是（填“8"、或“￡>”）；

②若在線段上存在點尸（1,1）的關聯(lián)點P',則點P'的坐標是；

（2）若在線段MN上存在點。的關聯(lián)點Q',求實數(shù)機的取值范圍；

（3）分別以點七（4,2）、Q為圓心，1為半徑作QQ.若對OE上的任意一點G,在。。上總存在

點G',使得G、G'兩點互相關聯(lián)，請直接寫出點Q的坐標.

【答案】（1）①B；②（—2,0）；（2）或一iWmWO；（3）或Q（3,—5）.

【解析】

【分析】由材料可知關聯(lián)點的實質就是將點A繞y軸上點7順時針或逆時針旋轉90度的得到點A.故先找

到旋轉90。坐標變化規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律解答即可，

（1）①根據(jù)關聯(lián)點坐標變化規(guī)律列方程求解點7坐標，有解則是關聯(lián)點；無解則不是；②關聯(lián)點的縱坐標

等于0,根據(jù)關聯(lián)點坐標變化規(guī)律列方程求解即可：

（2）根據(jù)關聯(lián)點坐標變化規(guī)律得出關聯(lián)點Q',列不等式求解即可；

（3）根據(jù)關聯(lián)點的變化規(guī)律可知圓心是互相關聯(lián)點，由點E坐標求出點。坐標即可.

【詳解】解：在平面直角坐標系xOy中，設A（x,y）,點T（0,a）,關聯(lián)點A（x',y'）,

將點4、點4、點T向下平移。個單位，點7對應點與原點重合，此時點4、點A對應點4（%了一。）、

4（—）,

???繞原點旋轉90度的坐標變化規(guī)律為：點（x,y）順時針旋轉，對應點坐標為（必-x）；逆時針旋轉對應

點坐標為（-y,x）,

4（x,y-a）繞原點旋轉90度的坐標對應點坐標為4；（y-a,-x）或4（a-y,x）,

x'=y—afx'=y—a.、

即順時針旋轉時，｛,解得：\,即關聯(lián)點-x）,

y-a--X[y=a-x

x'=a-y[x'=a-y,,、

或逆時針旋轉時，\,?,解得：\,,即關聯(lián)點A（a-y,x+a）,

y-a=x[y=x+a

即：在平面直角坐標系中，設A（x,y）,點T（0,a）,關聯(lián)點坐標為A（y-a,a-x）或A（a—y,x+a）,

（1）①由關聯(lián)點坐標變化規(guī)律可知，點M（—2,0）關于在y軸上點T（0,a）的關聯(lián)點坐標為：A'（-a,a+2）

或A'（a,-2+a）,

—2—2

若點3（2,0）是關聯(lián)點，則;+：_（）或解得：a=±2'即y軸上點T（0,2）或7（0,-2）,

故點3（2,0）是關聯(lián)點；

若點C（0,T）是關聯(lián)點，則h+a__i或無解，故點不是關聯(lián)點；

若點。（一2,-2）是關聯(lián)點，則j2+q__2或+無解，故點。（一2，-2）不是關聯(lián)點；

故答案為：B；

②由關聯(lián)點坐標變化規(guī)律可知，點p（l,l）關于點T（o,a）的關聯(lián)點P的坐標為p（l—a,a—1）或

P'(a—1,a+1),

若a—1=0,解得：a=l,此時即點產X。,。），不在線段MN匕

若a+l=0,解得：。=一1,此時即點〃（一2,0）,在線段MN上;

綜上所述：若在線段MN上存在點的關聯(lián)點P，則點P（—2,0）

故答案為：（—2,0）；

⑵設點。（加,〃）與點Q'是關于點T（0,a）關聯(lián)點,則點Q'坐標為Q（n-a,a-ni）或。'（a-〃,a+加）,

又因為點。（加,〃）在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上，即：n=-2m+l,

點0在線段MN上，點M（—2,0）、N（—1,0）,

a-m=0

當，<〃=-2m+1,

-2<n—a<-1

—2<—2m+1—〃2<一1?

2

3

a+m=0

或"=-2/77+1,

-2<a-n<-l

-2<2m-,

當一1WmWO；

2

綜上所述：當耳<m<1或—IWmWO時，在線段MN上存在點。的關聯(lián)點Q'.

（3）對G）E上的任意一點G,在OQ上總存在點G',使得G、G兩點互相關聯(lián)，

故點E與點。也是關于同一點關聯(lián)，設該點7（0,。），則

設點。（加,〃）與點E是關于點7（0,。）關聯(lián)點，則點E坐標為E（〃-a,a-m）或E（a,a+ni）,

又因為。（加,〃）在一次函數(shù)y=-2x+l的圖像上，即：〃=—2加+1,

??,點石（4,2）,

5

m=——

n=-2m+13

13

若<〃一。=4,解得：<n--

3

a-m=2

1

Q——

3

即點

n=-2m+1

若任一〃二4,解得：in=-59

a+m=2a=-\

即點Q（3,—5）,

綜上所述：。（一|,g）或Q（3,—5）.

【點睛】本題主要考查了坐標的旋轉變換和一次函數(shù)圖像上點的特征，解題關鍵是總結出繞點旋轉90。的點

坐標變化規(guī)律，再由規(guī)律列出方程或不等式求解.

28.如圖，在平面直角坐標系xOy中，正比例函數(shù)y=質伏H0）和二次函數(shù)y=云+3的圖像都

經過點A（4,3）和點8,過點A作OA的垂線交x軸于點C.力是線段A8上一點（點。與點A、0、8不重

合），E是射線AC上一點，且AE=OD,連接。E，過點。作x軸的垂線交拋物線于點凡以DE、DF

為鄰邊作YOEG/.

（1）填空：k=.b=;

（2）設點。的橫坐標是?，>（））,連接族.若NFGE=4DFE,求/的值；

（3）過點F作AB的垂線交線段￡>E于點R若SGFP=LS°DEGF，求。。的長?

315-V177

【答案】（1）I；（2）t=

【解析】

【分析】（1）把44,3）分別代入一次函數(shù)解析式和二次函數(shù)解析式，即可求解;

31173

(2)先證明