數(shù)學(xué)物理方法課件第五章留數(shù)定理及其應(yīng)用

PAGEPAGE76第五章留數(shù)定理及其應(yīng)用§5-1單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類【教材第三章第一節(jié)】留數(shù)定理是在羅朗級(jí)數(shù)展開方法基礎(chǔ)上建立起來的一個(gè)數(shù)學(xué)定理，是計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分最有效、最有用的工具，而且也可以用來計(jì)算很多實(shí)變函數(shù)的積分。留數(shù)是與單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)相聯(lián)系的一個(gè)數(shù)，留數(shù)的計(jì)算方法與孤立奇點(diǎn)的類型有關(guān)，因此在學(xué)習(xí)留數(shù)定理之前，需要先了解什么是單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)及其分類。復(fù)習(xí):奇點(diǎn)若函數(shù)在點(diǎn)點(diǎn)不解析，則稱點(diǎn)為函數(shù)的奇點(diǎn)。在某點(diǎn)解析，是指在此點(diǎn)及此點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)?！距徲?以為中心，d為半徑的圓內(nèi)部的點(diǎn)所組成的集合，稱為的d–鄰域。去心領(lǐng)域：不包含z0點(diǎn)】。z0z00<|z-z0|<|z-z0|<z0只要函數(shù)在點(diǎn)出現(xiàn)下述三種情況之一,點(diǎn)就是的奇點(diǎn)：（1）函數(shù)在點(diǎn)無定義（發(fā)散）；(2）函數(shù)在點(diǎn)不可導(dǎo)；（3）雖然函數(shù)在點(diǎn)有定義并且可導(dǎo)，但在點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)（無論其多么小），都有使不可導(dǎo)（或無定義）的點(diǎn)存在。（二）孤立奇點(diǎn)，非孤立奇點(diǎn)(a)孤立奇點(diǎn)：如果點(diǎn)是函數(shù)的奇點(diǎn)，但存在點(diǎn)的某個(gè)鄰域，在該鄰域內(nèi)除點(diǎn)外，是處處可導(dǎo)的，即在點(diǎn)的去心領(lǐng)域內(nèi)處處是解析的，則稱點(diǎn)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)。(b)非孤立奇點(diǎn)：如果點(diǎn)是函數(shù)的奇點(diǎn)，并且在點(diǎn)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)（無論其半徑多么?。c(diǎn)外，函數(shù)總還存在其它的奇點(diǎn)，即除點(diǎn)以外，在點(diǎn)的無論多么小的鄰域內(nèi)總還可以找到其它的奇點(diǎn)，則稱點(diǎn)是函數(shù)的非孤立奇點(diǎn)?！咀ⅲ喝绻呛瘮?shù)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，則在點(diǎn)的無論多么小的鄰域內(nèi)，函數(shù)總有無窮多個(gè)奇點(diǎn)！!】例1．復(fù)平面上每一點(diǎn)均為的非孤立奇點(diǎn)。例2．是的非孤立奇點(diǎn)。的奇點(diǎn)是：及，即，。顯然可以任意接近于點(diǎn)，任取點(diǎn)的鄰域，只要，，則就在之內(nèi)，這就是說在的無論多么小的鄰域內(nèi)，總有異于的奇點(diǎn)。例3．，是的兩個(gè)孤立奇點(diǎn)。因?yàn)樵谝詾閳A心，半徑為小于的無心圓（）內(nèi)，解析。在以為圓心，半徑為小于的無心圓（）內(nèi)，解析。(三)孤立奇點(diǎn)的分類:由孤立奇點(diǎn)的定義可知，如果點(diǎn)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，則一定存在以為中心的圓環(huán)（即點(diǎn)的某個(gè)去心領(lǐng)域），在該圓環(huán)內(nèi)函數(shù)是解析的。根據(jù)羅朗定理，函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)可以展開成羅朗級(jí)數(shù)：根據(jù)函數(shù)在其孤立奇點(diǎn)附近的羅朗級(jí)數(shù)展開的形式，可以將單值函數(shù)的孤立奇點(diǎn)分為三種類型：(1)可去奇點(diǎn)；（2）極點(diǎn)；（3）本性奇點(diǎn)。下面對(duì)這三類奇點(diǎn)分別加以說明：(a)可去奇點(diǎn)：若在點(diǎn)附近的羅朗級(jí)數(shù)展開式中無負(fù)冪項(xiàng)，即負(fù)冪項(xiàng)的系數(shù)都等于零：，則稱為的可去奇點(diǎn)。對(duì)于可去奇點(diǎn)，顯然有。若令，則在圓內(nèi)解析（即在點(diǎn)也變成解析），它的羅朗展開式實(shí)際上就成為泰勒展開式，奇異性就去掉了。這就是被稱為可去奇點(diǎn)的原因。例：的孤立奇點(diǎn)就是可去奇點(diǎn)。因?yàn)樵谄纥c(diǎn)附近可以展開成如下形式的級(jí)數(shù)：-若令，則在點(diǎn)解析。(b)本性奇點(diǎn)：如果在點(diǎn)附近的羅朗展開式中有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱為的本性奇點(diǎn)。可以證明，當(dāng)趨近于本性奇點(diǎn)時(shí)，沒有確定的極限。例如是函數(shù)的一個(gè)本性奇點(diǎn)。在該奇點(diǎn)附近的羅朗展開式為：，有無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)。(c)極點(diǎn)：若在點(diǎn)附近的羅朗展開式中只有有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱為的極點(diǎn):，負(fù)冪項(xiàng)的最高冪次稱為極點(diǎn)的階數(shù)。一階極點(diǎn)也稱單極點(diǎn)。對(duì)于極點(diǎn)，顯然有，在極點(diǎn)附近函數(shù)是無界的。例如是函數(shù)的三階極點(diǎn)。在該奇點(diǎn)附近的羅朗展開式為：。（四）如何判定極點(diǎn)的階數(shù)？零點(diǎn),零點(diǎn)與極點(diǎn)間的聯(lián)系如果一個(gè)復(fù)變函數(shù)在某點(diǎn)處解析，并且在點(diǎn)的鄰域內(nèi)可以展開成如下形式的泰勒級(jí)數(shù)：，()則稱為的階零點(diǎn)。如果為的階零點(diǎn)，則顯然有：，.這是零點(diǎn)階數(shù)的判斷方法。利用零點(diǎn)階數(shù)來判斷極點(diǎn)階數(shù)（零點(diǎn)與極點(diǎn)間的聯(lián)系）：（1）若是函數(shù)的階零點(diǎn)，則必為的階極點(diǎn)。反之,若為函數(shù)的階極點(diǎn)，則必為函數(shù)的階零點(diǎn)。證明：設(shè)是函數(shù)的階零點(diǎn)，則在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)可以展開成如下形式的泰勒級(jí)數(shù)：，()，其中，它在點(diǎn)解析，因而可以展開成泰勒級(jí)數(shù)：,其中。于是：，可見是的m階極點(diǎn)。（2）設(shè)，、在點(diǎn)均解析,而為的階零點(diǎn)、為的階零點(diǎn)，則:（a）如果,為的可去奇點(diǎn);（b）如果,為的階極點(diǎn);【說明：如果或在點(diǎn)不等于零,即點(diǎn)不是或的零點(diǎn)，則稱點(diǎn)為或的零階零點(diǎn)，即取或等于零?！坷昧泓c(diǎn)與極點(diǎn)之上述關(guān)系，有助于我們尋找函數(shù)的極點(diǎn)，并判斷極點(diǎn)的階數(shù)。這是應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算復(fù)變函數(shù)積分時(shí)很重要的一步。例1：求的極點(diǎn)及其階。解：，，是的零點(diǎn)。在這些零點(diǎn)處，，因此，，是的一階零點(diǎn)。同時(shí)也就是的一階極點(diǎn)。例2：是函數(shù)的幾階極點(diǎn)，是函數(shù)的幾階極點(diǎn)？解：是的零階零點(diǎn)（），是的一階零點(diǎn)，是的一階零點(diǎn)，是的三階極點(diǎn)（），是的二階極點(diǎn)。§5–2留數(shù)和留數(shù)定理【教材第四章第一節(jié)】（一）留數(shù)：由孤立奇點(diǎn)的定義可知，如果點(diǎn)是函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，則一定存在一個(gè)以為中心的圓環(huán)（即點(diǎn)的某個(gè)去心領(lǐng)域），在該圓環(huán)內(nèi)函數(shù)是解析的。根據(jù)羅朗定理，函數(shù)在圓環(huán)內(nèi)可以展開成羅朗級(jí)數(shù)：下面將會(huì)看到，在其孤立奇點(diǎn)點(diǎn)附近的羅朗級(jí)數(shù)展開式中項(xiàng)的系數(shù)有特殊的意義，稱它為在點(diǎn)的留數(shù)，記為,即：。【顯然在其解析點(diǎn)及可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為。】留數(shù)定理如果一個(gè)單值復(fù)變函數(shù)在其積分路徑（閉合曲線）上沒有奇點(diǎn)，在所包圍的區(qū)域內(nèi)只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)而沒有非孤立奇點(diǎn)，即在積分路徑所包圍區(qū)域內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，則沿積分路徑的積分等于乘以在這些奇點(diǎn)處的留數(shù)之和（留數(shù)定理）:證明：首先假設(shè)函數(shù)在積分路徑（閉合曲線）所包圍區(qū)域內(nèi)只有一個(gè)孤立奇點(diǎn)，除此奇點(diǎn)之外處處解析。若為的孤立奇點(diǎn)，根據(jù)羅朗定理，一定存在的某個(gè)無心鄰域，在該無心領(lǐng)域內(nèi)可以將作羅朗展開：，然后將沿著圓周（）進(jìn)行積分，我們得到：，其中利用了：。于是，由復(fù)連通區(qū)域柯西定理，我們得到：.然后再看函數(shù)在積分路徑（閉合曲線）所包圍區(qū)域內(nèi)有多個(gè)孤立奇點(diǎn)（）的情形。因?yàn)樵诜e分路徑（閉合曲線）所包圍區(qū)域內(nèi)如果除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，則對(duì)每個(gè)作一小圍線（），使這些小圍線互不相交，于是在以及為邊界的復(fù)連通區(qū)域內(nèi)解析，由復(fù)連通區(qū)域的柯西定理得：，而：，。于是得到留數(shù)定理：如果一個(gè)單值復(fù)變函數(shù)在積分路徑(閉合曲線)上沒有奇點(diǎn)，在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)除了有限個(gè)孤立奇點(diǎn)外處處解析，則其沿閉合曲線的圍道積分等于被積函數(shù)在積分路徑所圍區(qū)域內(nèi)各孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)之和乘以。很顯然，如果在積分路徑所圍閉區(qū)域內(nèi)處處解析（沒有奇點(diǎn)），則，這就是單連通區(qū)域的柯西定理。（三）留數(shù)的計(jì)算方法原則上求復(fù)變函數(shù)在某一孤立奇點(diǎn)處的留數(shù)，只需將函數(shù)在該奇點(diǎn)附件作羅朗級(jí)數(shù)展開，然后取的系數(shù)，這就是函數(shù)在此奇點(diǎn)處的留數(shù)。但這樣做比較麻煩，且當(dāng)計(jì)算一個(gè)圍線積分時(shí)，若被積函數(shù)在圍線所圍區(qū)域內(nèi)有幾個(gè)奇點(diǎn)，則此方法更麻煩，所以我們需要一個(gè)在某些情形下，不用作羅朗級(jí)數(shù)展開，而能求得留數(shù)的方法。留數(shù)的幾種計(jì)算方法：(1)復(fù)變函數(shù)在其可去奇點(diǎn)處的留數(shù)為；(2)當(dāng)奇點(diǎn)的性質(zhì)不明顯或是本性奇點(diǎn)時(shí)，只能用羅朗展開來求留數(shù)。將函數(shù)在該奇點(diǎn)附件作羅朗級(jí)數(shù)展開，然后取的系數(shù)；(3)對(duì)于復(fù)變函數(shù)在極點(diǎn)處的留數(shù)，我們有如下的定理：若為的階極點(diǎn)，則:。證：因?yàn)闉榈碾A極點(diǎn)，所以在點(diǎn)的羅朗展開式為，從而，，，。＃推論1：當(dāng)為的一階極點(diǎn)（單極點(diǎn)）時(shí)，則，（相當(dāng)于在上述定理中?。┩普?：設(shè)，、在點(diǎn)均解析并且，而為的一階零點(diǎn)（即，），則為的一階極點(diǎn)并且：。證：為的一階極點(diǎn)，故由推論1，得。推論3：設(shè)，、在點(diǎn)均解析,而為的階零點(diǎn)、為的階零點(diǎn)()，則:(a)如果,為的可去奇點(diǎn)，;(b)如果,為的階極點(diǎn)，例1：求在奇點(diǎn)處的留數(shù)。解：()是的點(diǎn)，且，()是的一階極點(diǎn)。由推論1：?；蛴赏普?：。例2：求在奇點(diǎn)處的留數(shù)。解：是的零點(diǎn)，又，所以是的單極點(diǎn)。由推論1：?；蛴赏普?：。例3：計(jì)算。解：是被積函數(shù)在圓內(nèi)的二階極點(diǎn)，因此，由留數(shù)定理，得。例4：計(jì)算。解：被積函數(shù)僅以為其三階極點(diǎn)，且包圍，，由留數(shù)定理，得：。例5：計(jì)算。解：是被積函數(shù)的奇點(diǎn)。是的三階零點(diǎn)。又，，，所以是的二階零點(diǎn)。因此被積函數(shù)僅以為其一階極點(diǎn)，且包圍，由推論1：，由留數(shù)定理，得：。例6：計(jì)算。解：被積函數(shù)僅以為其二階極點(diǎn)，且包圍，，或：，，。例7：計(jì)算，為自然數(shù)。解：以為單極點(diǎn)，由推論2，得，在復(fù)平面上有無窮多個(gè)奇點(diǎn)，而在圍線所圍區(qū)域內(nèi)的奇點(diǎn)必須滿足，即，而由于為整數(shù)，故，所以在內(nèi)部共有個(gè)奇點(diǎn)。由留數(shù)定理，得。以上都是當(dāng)奇點(diǎn)的性質(zhì)比較明顯，即知道是幾階極點(diǎn)，而當(dāng)奇點(diǎn)的性質(zhì)不明顯或是本性奇點(diǎn)時(shí)，只能用羅朗展開來求留數(shù)，即將函數(shù)在該奇點(diǎn)附件作羅朗級(jí)數(shù)展開，然后取的系數(shù)。例8：求。解：被積函數(shù)的奇點(diǎn)為的解：，，而僅在單位圓內(nèi)，且此奇點(diǎn)的性質(zhì)不明顯，所以我們采用在點(diǎn)作的羅朗展開式來求。。上式中的后一個(gè)因子在解析，且在時(shí)的值為，故可展為泰勒級(jí)數(shù)：，于是在點(diǎn)的羅朗展開式為，。從而由留數(shù)定理：。例9：求。解：在單位圓內(nèi)，只有一個(gè)本性奇點(diǎn)。其在該點(diǎn)的羅朗展開式為，，由留數(shù)定理：。例10：求。解：在單位圓內(nèi)，只有一個(gè)本性奇點(diǎn)。其在該點(diǎn)的羅朗展開式為，，由留數(shù)定理：。***補(bǔ)充選讀材料：無限遠(yuǎn)點(diǎn)的留數(shù)，關(guān)于留數(shù)之和的定理(略，不講，不作要求，有興趣的同學(xué)自學(xué)）)§2.應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分【教材第四章第二節(jié)】在實(shí)變函數(shù)理論中，有些定積分的計(jì)算是很麻煩的，有的甚至不可能用通常的積分方法計(jì)算，如菲涅耳（Fresnel）積分，等，但它們可用復(fù)變函數(shù)積分來求。留數(shù)定理的一個(gè)重要應(yīng)用就是用來計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分，關(guān)鍵是如何將實(shí)變的被積函數(shù)與某個(gè)復(fù)變函數(shù)聯(lián)系起來，同時(shí)將定積分與沿復(fù)平面某一回路的積分聯(lián)系起來。即將實(shí)變函數(shù)的定積分與復(fù)平面上的某個(gè)圍線積分聯(lián)系起來，→，然后用應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算，再求出實(shí)變函數(shù)的定積分。下面我們以三種類型的實(shí)變函數(shù)的定積分計(jì)算為例，來說明如何用留數(shù)定理來計(jì)算實(shí)變函數(shù)的定積分。(一)類型一：其中是，的有理函數(shù)。即有形式:。計(jì)算方法：令，則當(dāng)從到變化時(shí)，從出發(fā)沿單位圓周逆時(shí)針走一圈又回到。因?yàn)?，，其中：，為在單位圓內(nèi)的奇點(diǎn)。例1：計(jì)算。解：令得有兩個(gè)根，。，，、是被積函數(shù)的兩個(gè)一階極點(diǎn)。，在單位圓外。而，在單位圓內(nèi)，在此點(diǎn)的留數(shù)為。。例2：計(jì)算。解：令，則。，，、是被積函數(shù)的兩個(gè)一階極點(diǎn)。，在單位圓外。而，在單位圓內(nèi)。在點(diǎn)的留數(shù)為。。(二)類型二：其中滿足下列條件：（1）在實(shí)軸上無奇點(diǎn)；（2）在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)外都是解析的,即在上半平面只有有限個(gè)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)；（3）當(dāng)在上半平面和在實(shí)軸上時(shí)，一致地?！咀ⅲ骸爱?dāng)在上半平面和在實(shí)軸上時(shí)，一致地”的意思是：對(duì)于任意給定的一個(gè)小的正數(shù)，都存在一個(gè)正數(shù)，使得對(duì)于位于上半平面（或?qū)嵼S上）的點(diǎn)，只要，就有.簡(jiǎn)單地說，就是對(duì)于位于上半平面（或?qū)嵼S上）且位于以原點(diǎn)為圓心、為半徑的圓外面的所有點(diǎn)，都有?！坑?jì)算方法：考慮圍線積分，其中圍線由實(shí)軸的區(qū)間及上半圓周組成。取足夠大，使包圍在上半平面的所有奇點(diǎn)，，由留數(shù)定理，得：。只要包圍了在上半平面上的所有奇點(diǎn)，則當(dāng)再變大時(shí)（也即再變大），等式右邊保持不變，所以可令，則：。另一方面沿著上半圓周的積分在時(shí)其極限為零：，。例1：計(jì)算()。解：，在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，且，， 有四個(gè)一階極點(diǎn)的根）， （），其中只有、此兩極點(diǎn)在上半平面，另二個(gè)在下半平面。由關(guān)于極點(diǎn)留數(shù)的定理之推論2，得：，（此處利用了）。例2：計(jì)算（為正整數(shù)）。解：,它在上半平面只有一個(gè)階極點(diǎn),，積分。***選讀材料：在實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形（略，不要求，有興趣的同學(xué)自學(xué)）對(duì)于在實(shí)軸上有奇點(diǎn)的情形，我們有如下的補(bǔ)充定理（不講證明）：若在上半平面僅有有限個(gè)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)()，在實(shí)軸僅有有限個(gè)一階極點(diǎn)，且當(dāng)在實(shí)軸上或上半平面上時(shí)，一致地，則：.（三）類型三：，，其中是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，并且：（1）和在實(shí)軸上無奇點(diǎn)，在上半平面僅有有限個(gè)有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)；（2）當(dāng)在實(shí)軸上和上半平面上時(shí),、一致地。約當(dāng)引理：設(shè)當(dāng)在上半平面或?qū)嵼S上時(shí)，一致地，則，其中，是以原點(diǎn)為圓心，半徑為的上半圓周。（當(dāng)為負(fù)數(shù)時(shí)，約當(dāng)引理為：，其中是對(duì)于實(shí)軸的鏡象,即下半平面中以原點(diǎn)為圓心，半徑為的半圓周。）利用約當(dāng)引理，我們現(xiàn)在考慮圍線積分：。由實(shí)軸上的線段及上半圓周組成。取充分大，使圍線包圍在上半平面的所有有限遠(yuǎn)奇點(diǎn)，則有：。再令，由約當(dāng)引理，得，當(dāng)為偶函數(shù)時(shí)，，當(dāng)為奇函數(shù)時(shí)，。由此可得:例：計(jì)算，。解：，當(dāng)時(shí)，。在上半平面僅有單極點(diǎn)，在此單極點(diǎn)之留數(shù)為，。****補(bǔ)充選讀材料：積分路徑上有一階極點(diǎn)的情形（略，不要求，有興趣的同學(xué)自學(xué)）對(duì)于類型的積分，若積分路徑上有一階極點(diǎn)，有如下的補(bǔ)充定理：若（）除在實(shí)軸上有有限個(gè)單極點(diǎn)外，滿足約當(dāng)引理的其他條件，則：。當(dāng)是偶函數(shù)時(shí)，當(dāng)是奇函數(shù)時(shí)，例1：計(jì)算。解：在上半平面無有限奇點(diǎn)，而在實(shí)軸上僅有一個(gè)單極點(diǎn)，，。例2：計(jì)算。解：在上半平面僅有一個(gè)二階極點(diǎn)，在實(shí)軸上僅有一個(gè)單極點(diǎn)。，，。第五章習(xí)題1、確定下列各函數(shù)的孤立奇點(diǎn)，并指出它們是什么樣的類型（對(duì)于極點(diǎn)，要指出它們的階）：（1）；（2）；（3）。2、求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的留數(shù)。（1）在；（2）在（是自然數(shù)）3、計(jì)算下列積分：，，為自然數(shù)；4、求下列各積分值（1）；（2）。5、求下列各積分的值（1）；（2）第五章習(xí)題解答1、確定下列各函數(shù)的孤立奇