高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義

數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義書目集合…………2函數(shù)…………15§2.1函數(shù)與其性質(zhì)………15§2.2二次函數(shù)………21§2.3函數(shù)迭代………28§2.4抽象函數(shù)………32第三章數(shù)列…………37§3.1等差數(shù)列與等比數(shù)列……37§3.2遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法………………44§3.3遞推法解題………………48第四章三角平面對(duì)量復(fù)數(shù)………51第五章直線、圓、圓錐曲線………60第六章空間向量簡(jiǎn)潔幾何體………68第七章二項(xiàng)式定理與多項(xiàng)式………75第八章聯(lián)賽二試選講………82§8.1平幾名定理、名題與競(jìng)賽題……82§8.2數(shù)學(xué)歸納法………99§8.3排序不等式………103第一章集合集合是中學(xué)數(shù)學(xué)中最原始、最基礎(chǔ)的概念，也是中學(xué)數(shù)學(xué)的起始單元，是整個(gè)中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).它的基礎(chǔ)性體現(xiàn)在：集合思想、集合語言和集合的符號(hào)在中學(xué)數(shù)學(xué)的很多章節(jié)如函數(shù)、數(shù)列、方程與不等式、立體幾何與解析幾何中都被廣泛地運(yùn)用.在高考試題和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，很多問題可以用集合的語言加以敘述.集合不僅是中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，也是支撐現(xiàn)代數(shù)學(xué)大廈的基石之一，本章主要介紹集合思想在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中出現(xiàn)的問題.§1.1集合的概念與運(yùn)算【基礎(chǔ)學(xué)問】一．集合的有關(guān)概念1．集合：具有某些共同屬性的對(duì)象的全體，稱為集合.組成集合的對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素.2．集合中元素的三個(gè)特征：確定性、互異性、無序性.3．集合的分類：無限集、有限集、空集.4.集合間的關(guān)系：二．集合的運(yùn)算1．交集、并集、補(bǔ)集和差集差集：記A、B是兩個(gè)集合，則全部屬于A且不屬于B的元素構(gòu)成的集合記作.即且.2.集合的運(yùn)算性質(zhì)(1),(冪等律);(2),(交換律);(3),(結(jié)合律);(4),(安排律);(5),(汲取律);(6)(對(duì)合律);(7),(摩根律)(8),.3.集合的相等(1)兩個(gè)集合中元素相同,即兩個(gè)集合中各元素對(duì)應(yīng)相等;(2)利用定義,證明兩個(gè)集合互為子集;(3)若用描述法表示集合,則兩個(gè)集合的屬性能夠相互推出(互為充要條件),即等價(jià);(4)對(duì)于有限個(gè)元素的集合,則元素個(gè)數(shù)相等、各元素的和相等、各元素之積相等是兩集合相等的必要條件.【典例精析】【例1】在集合中,隨意取出一個(gè)子集,計(jì)算它的各元素之和.則全部子集的元素之和是.〖分析〗已知的全部的子集共有個(gè).而對(duì)于,明顯中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這就說明在集合的全部子集中一共出現(xiàn)次,即對(duì)全部的求和,可得【解】集合的全部子集的元素之和為=〖說明〗本題的關(guān)鍵在于得出中包含的子集與集合的子集個(gè)數(shù)相等.這種一一對(duì)應(yīng)的方法在集合問題以與以后的組合總是中應(yīng)用特別廣泛.【例2】已知集合且,求參數(shù)的取值范圍.〖分析〗首先確定集合A、B,再利用的關(guān)系進(jìn)行分類探討.【解】由已知易求得當(dāng)時(shí),,由知無解;當(dāng)時(shí),,明顯無解;當(dāng)時(shí),,由解得綜上知,參數(shù)的取值范圍是.〖說明〗本題中,集合的定義是一個(gè)二次三項(xiàng)式,則尋于集合B要分類探討使其取值范圍數(shù)字化,才能通過條件求出參數(shù)的取值范圍.【例3】已知,集合.若,則的值是()A.5B.4C.25D.10【解】,,且與集合中元素的互異性知,即,此時(shí)應(yīng)有而,從而在集合B中,由,得由(2)(3)解得,代入(1)式知也滿意(1)式.〖說明〗本題主要考查集合相等的的概念,假如兩個(gè)集合中的元素個(gè)數(shù)相等,則兩個(gè)集合中對(duì)應(yīng)的元素應(yīng)分別相等才能保證兩個(gè)集合相等.而找到這種對(duì)應(yīng)關(guān)系往往是解決此類題目的關(guān)鍵.【例4】已知集合.若,求……+的值.〖分析〗從集合A=B的關(guān)系入手,則易于解決.【解】,,依據(jù)元素的互異性,由B知.且,,故只有,從而又由與,得所以或,其中與元素的互異性沖突!所以代入得:……+=()+2+()+2+……+()+2=0.〖說明〗本題是例4的拓展,也是考查集合相等的概念,所不同的是本題利用的是集合相等的必要條件,即兩個(gè)集合相等,則兩個(gè)集合中,各元素之和、各元素之積與元素個(gè)數(shù)相等.這是解決本題的關(guān)鍵.【例5】已知A為有限集,且,滿意集合A中的全部元素之和與全部元素之積相等,寫出全部這樣的集合A.【解】設(shè)集合A=且,由,,得,即或(事實(shí)上,當(dāng)時(shí),有.當(dāng)時(shí),,而當(dāng)時(shí),,由,解得綜上可知,〖說明〗本題依據(jù)集合中元素之間的關(guān)系找到等式,從而求得集合A.在解決問題時(shí),應(yīng)留意分析題設(shè)條件中所給出的信息,依據(jù)條件建立方程或不等式進(jìn)行求解.【例6】已知集合,若,求實(shí)數(shù)的取值組成的集合A.【解】,設(shè).=1\*GB3①當(dāng),即時(shí),,滿意;=2\*GB3②當(dāng),即或時(shí),若,則,不滿意,故舍去;若時(shí),則,滿意.=3\*GB3③當(dāng)時(shí),滿意等價(jià)于方程的根介于1和2之間.即.綜合=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③得,即所求集合A.〖說明〗先探討特殊情形(S=),再探討一般情形.解決本題的關(guān)鍵在于對(duì)分類探討,確定的取值范圍.本題可以利用數(shù)形結(jié)合的方法探討【例7】(2005年江蘇預(yù)賽)已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集R},R}.若,則的取值范圍是．【解】由題意知是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線上與其凹口內(nèi)側(cè)的點(diǎn)集，是以為中心的正方形與其內(nèi)部的點(diǎn)集(如圖)．考察時(shí),的取值范圍:令,代入方程,得，解出得．所以，當(dāng)時(shí),．…………③令，代入方程,得.解出得．所以，當(dāng)時(shí),．…………④因此,綜合③與④可知，當(dāng)，即時(shí),．故填.【例8】已知集合,,其中,.若,.且中的全部元素之和為124,求集合A、B.【解】,且,,又,所以又,可得,并且或若,即,則有解得或(舍)此時(shí)有若,即,此時(shí)應(yīng)有,則中的全部元素之和為100124.不合題意.綜上可得,〖說明〗本題的難點(diǎn)在于依據(jù)已知條件推斷集合A、B中元素的特征.同時(shí)上述解答中運(yùn)用發(fā)分類探討的思想.分類探討是我們解決問題的基本手段之一,將問題分為多個(gè)部分,每一部分的難度比整體都要低,這樣就使問題變得簡(jiǎn)潔明白.【例9】滿意條件的函數(shù)形成了一個(gè)集合M,其中,并且,求函數(shù)與集合M的關(guān)系.〖分析〗求函數(shù)集合M的關(guān)系,即求該函數(shù)是否屬于集合M,也就是推斷該函數(shù)是否滿意集合M的屬性.【解】取時(shí),由此可見,〖說明〗本題中M是一個(gè)關(guān)于函數(shù)的集合.推斷一個(gè)函數(shù)是否屬于M,只要找至一個(gè)或幾個(gè)特殊的使得不符合M中的條件即可證明【例10】對(duì)集合與每一個(gè)非空子集定義唯一“交替和”如下:把子集中的數(shù)按遞減依次排列,然后從最大數(shù)起先,交替地加減相繼各數(shù),如的“交替和”是,集合的“交替和”是10－7=3,集合的“交替和”是5等等.試求A的全部的“交替和”的總和.并針對(duì)于集合求出全部的“交替和”.〖分析〗集合A的非空子集共有個(gè),明顯,要想逐個(gè)計(jì)算“交替和”然后相加是不行能的.必需分析“交替和”的特點(diǎn),故可采納從一般到特殊的方法.如{1,2,3,4}的非空子集共有15個(gè),共“交替和”分別為:{1}1;{2}2;{3}3;{4}4;{1,2}2-1;{1,3}3-1;{1,4}4-1;{2,3}3-2;{2,4}4-2;{3,4}4-3;{1,2,3}3-2+1;{1,2,4}4-2+1;{1,3,4}4-3=1;{2,3,4}4-3+2;{1,2,3,4}4-3+2-1.從以上寫出的“交替和”可以發(fā)覺,除{4}以外,可以把{1,2,3,4}的子集分為兩類:一類中包含4,另一類不包含4,并且構(gòu)成這樣的對(duì)應(yīng):設(shè)是{1,2,3,4}中一個(gè)不含有的子集,令與相對(duì)應(yīng),明顯這兩個(gè)集合的“交替和”的和為4,由于這樣的對(duì)應(yīng)應(yīng)有7對(duì),再加上{4}的“交替和”為4,即{1,2,3.4}的全部子集的“交替和”為32.【解】集合的子集中,除了集合,還有個(gè)非空子集.將其分為兩類:第一類是含2008的子集,其次類是不含2008的子集,這兩類所含的子集個(gè)數(shù)相同.因?yàn)榧偃缡瞧浯晤惖?則必有是第一類的集合;假如是第一類中的集合,則中除2008外,還應(yīng)用1,2,……,2007中的數(shù)做其元素,即中去掉2008后不是空集,且是其次類中的.于是把“成對(duì)的”集合的“交替和”求出來,都有2008,從而可得A的全部子集的“交替和”為同樣可以分析,因?yàn)閭€(gè)元素集合的子集總數(shù)為個(gè)(含,定義其“交替和”為0),其中包括最大元素的子集有個(gè),不包括的子集的個(gè)數(shù)也是個(gè),將兩類子集一一對(duì)應(yīng)(相對(duì)應(yīng)的子集只差一個(gè)元素),設(shè)不含的子集“交替和”為S,則對(duì)應(yīng)的含子集的“交替和”為,兩者相加和為.故全部子集的“交替和”為〖說明〗本題中＂退到最簡(jiǎn)＂,從特殊到一般的思想與分類探討思想、對(duì)應(yīng)思想都有所體現(xiàn),這種方法在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中是常用的方法,在學(xué)習(xí)的過程中應(yīng)留意強(qiáng)化.【例11】一支人數(shù)是5的倍數(shù)的且不少于1000人的游行隊(duì)伍，若按每橫排4人編隊(duì)，最終差3人；若按每橫排3人編隊(duì)，最終差2人；若按每橫排2人編隊(duì)，最終差1人，求這支游行隊(duì)伍的人數(shù)最少是多少？〖分析〗已知游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)是5的倍數(shù)，則可設(shè)總?cè)藬?shù)為.“按每橫排4人編隊(duì)，最終差3人”，從它的反面去考慮，可理解為多1人，同樣按3人、2人編隊(duì)都可理解為“多1人”，明顯問題轉(zhuǎn)化為同余問題.被4、3、2除時(shí)都余地，即是12的倍數(shù)，再由總?cè)藬?shù)不少于1000人的條件，即可求得問題的解.【解】設(shè)游行隊(duì)伍的總?cè)藬?shù)為，則由題意知分別被4、3、2除時(shí)均余1，即是4、3、2的公倍數(shù)，于是可令，由此可得：=1\*GB3①要使游行隊(duì)伍人數(shù)最少，則式=1\*GB3①中的應(yīng)為最少正整數(shù)且為5的倍數(shù)，應(yīng)為2.于是可令，由此可得：，=2\*GB3②所以，.取代入=2\*GB3②式，得故游行隊(duì)伍的人數(shù)最少是1045人.〖說明〗本題利用了補(bǔ)集思想進(jìn)行求解，對(duì)于題目中含有“至少”、“至多”、“最少”、“不都”、“都”等詞語，可以依據(jù)補(bǔ)集思想方法，從詞義氣反面（反義詞）考慮，對(duì)原命題做部分或全部的否定，用這種方法轉(zhuǎn)化命題，常常能起到化繁為簡(jiǎn)、化難為易的作用，使之尋求到解題思想或方法，實(shí)現(xiàn)解題的目的.【例12】設(shè)且≥15，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}.證明：或者中必有兩個(gè)不同數(shù)的和為完全平方數(shù).【證明】由題設(shè)，{1，2，3，…，}的任何元素必屬于且只屬于它的真子集之一.假設(shè)結(jié)論不真，則存在如題設(shè)的{1，2，3，…，}的真子集，使得無論是還是中的任兩個(gè)不同的數(shù)的和都不是完全平方數(shù).不妨設(shè)1∈，則3，否則1+3=，與假設(shè)沖突，所以3∈.同樣6，所以6∈，這時(shí)10，，即10∈.因≥15，而15或者在中，或者在中，但當(dāng)15∈時(shí)，因1∈，1+15=，沖突；當(dāng)15∈時(shí)，因10∈，于是有10+15=，仍舊沖突.因此假設(shè)不真,即結(jié)論成立.【賽向點(diǎn)撥】1.中學(xué)數(shù)學(xué)的第一個(gè)內(nèi)容就是集合，而集合又是數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).因此，深刻理解集合的概念,嫻熟地進(jìn)行集合運(yùn)算是特別重要的.由于本節(jié)中涉與的內(nèi)容較多,所以抓好概念的理解和應(yīng)用尤其重要.2.集合內(nèi)容幾乎是每年的高考與競(jìng)賽的必考內(nèi)容.一般而言,一是考查集合本身的學(xué)問;二是考查集合語言和集合思想的應(yīng)用.3.對(duì)于給定的集合,要正確理解其含義,弄清元素是什么,具有怎樣的性質(zhì)這是解決集合問題的前提.4.集合語言涉與數(shù)學(xué)的各個(gè)領(lǐng)域,所以在競(jìng)賽中,集合題是普遍而又基本的題型之一.【針對(duì)練習(xí)】(A組)1.(2006年江蘇預(yù)賽)設(shè)在平面上，，所圍成圖形的面積為，則集合的交集所表示的圖形面積為()A.B.C.D.2.(2006年陜西預(yù)賽)為實(shí)數(shù),集合M=表示把集合M中的元素映射到集合P中仍為,則的值等于()A.B.0C.1D.3.(2004年全國聯(lián)賽)已知M=，N=，若對(duì)于全部的，均有則的取值范圍是A．[]B.（）C.（）D.[]4.(2005年全國聯(lián)賽)記集合將M中的元素按從大到小的依次排列，則第2005個(gè)數(shù)是（）A．B．C．D．5.集合A,B的并集A∪B={a1,a2,a3}，當(dāng)且僅當(dāng)A≠B時(shí)，(A,B)與(B,A)視為不同的對(duì)，則這樣的(A,B)對(duì)的個(gè)數(shù)有()A.27B.28.C.26D.256.設(shè)A={n|100≤n≤600,n∈N}，則集合A中被7除余2且不能被57整除的數(shù)的個(gè)數(shù)為______________.7.已知,.若,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.8.設(shè)M={1,2,3,…,1995}，A是M的子集且滿意條件:當(dāng)x∈A時(shí),15xA，則A中元素的個(gè)數(shù)最多是_______________.9.(2006年集訓(xùn)試題)設(shè)n是正整數(shù)，集合M={1，2，…，2n}．求最小的正整數(shù)k，使得對(duì)于M的任何一個(gè)k元子集，其中必有4個(gè)互不相同的元素之和等于10.設(shè)＝{|＝,}，求證：⑴∈()；⑵.11.（2006年江蘇）設(shè)集合，．若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．12.以某些整數(shù)為元素的集合具有下列性質(zhì)：①中的元素有正數(shù)，有負(fù)數(shù)；②中的元素有奇數(shù),有偶數(shù)；③－1；④若，∈,則＋∈試推斷實(shí)數(shù)0和2與集合的關(guān)系.(B組)1.設(shè)為滿意下列條件的有理數(shù)的集合：①若∈，∈，則+∈，；②對(duì)任一個(gè)有理數(shù)，三個(gè)關(guān)系∈，－∈，＝0有且僅有一個(gè)成立.證明：是由全體正有理數(shù)組成的集合.2．為非空集合，對(duì)于1，2，3的隨意一個(gè)排列，若，則證明：三個(gè)集合中至少有兩個(gè)相等.三個(gè)集合中是否可能有兩個(gè)集無公共元素？3．已知集合：?jiǎn)柈?dāng)取何值時(shí)，為含有兩個(gè)元素的集合？當(dāng)取何值時(shí)，為含有三個(gè)元素的集合？4．已知,.⑴請(qǐng)依據(jù)自己對(duì)點(diǎn)到直線的距離,兩條異面直線的距離中“距離”的相識(shí),給集合A與B的距離定義;⑵依據(jù)⑴中的定義求出與的距離.5.設(shè)集合｛不小于３的正整數(shù)｝，定義Ｐ上的函數(shù)如下：若，定義為不是的約數(shù)的最小正整數(shù)，例如.記函數(shù)的值域?yàn)椋?證明：6．為了搞好學(xué)校的工作，全校各班級(jí)一共提了P條建議.已知有些班級(jí)提出了相同的建議，且任何兩個(gè)班級(jí)都至少有一條建議相同，但沒有兩個(gè)班提出全部相同的建議.求證該校的班級(jí)數(shù)不多于個(gè).【參考答案】A組1.解：在xOy平面上的圖形關(guān)于x軸與y軸均對(duì)稱，由此的圖形面積只要算出在第一象限的圖形面積乘以4即得.為此，只要考慮在第一象限的面積就可以了.由題意可得，的圖形在第一象限的面積為A＝.因此的圖形面積為.所以選B.2.解:由M=P,從而,即,故從而選C.3.解：相當(dāng)于點(diǎn)（0，b）在橢圓上或它的內(nèi)部.故選A.4.解:用表示k位p進(jìn)制數(shù)，將集合M中的每個(gè)數(shù)乘以，得 中的最大數(shù)為.在十進(jìn)制數(shù)中，從2400起從大到小依次排列的第2005個(gè)數(shù)是2400－2004=396.而將此數(shù)除以，便得M中的數(shù)故選C.5.解：A=φ時(shí)，有1種可能；A為一元集時(shí)，B必需含有其余2元，共有6種可能；A為二元集時(shí)，B必需含有另一元.共有12種可能；A為三元集時(shí)，B可為其任一子集.共8種可能.故共有1+6+12+8=27個(gè).從而選A.6．解：被7除余2的數(shù)可寫為7k+2.由100≤7k+2≤600.知14≤k≤85.又若某個(gè)k使7k+2能被57整除，則可設(shè)7k+2=57n.即.即n－2應(yīng)為7的倍數(shù).設(shè)n=7m+2代入，得k=57m+16.∴14≤57m+16≤85.∴m=0,1.于是所求的個(gè)數(shù)為85－(14－1)７．解：依題意可得,設(shè),要使,只需,在(1,3)上的圖象均在軸的下方,則,,,,由此可解得結(jié)果.8．解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出全部大于133而不超過1995的整數(shù).由于這時(shí)己取出了159=135,…15133=1995.故9至133的整數(shù)都不能再取，還可取1至8這8個(gè)數(shù)，即共取出1995—133+8=1870個(gè)數(shù),這說明所求數(shù)≥1870.另一方面，把k與15k配對(duì)，（k不是15的倍數(shù)，且1≤k≤133）共得133—8=125對(duì)，每對(duì)數(shù)中至多能取1個(gè)數(shù)為A的元素，這說明所求數(shù)≤1870，綜上可知應(yīng)填1870.9.解：考慮M的n+2元子集P={n－l，n，n+1，…，2n}．P中任何4個(gè)不同元素之和不小于(n－1)+n+(n+1)+(n+2)=4n+2，所以k≥n+3．將M的元配為n對(duì)，Bi=(i，2n+1－i)，1≤i≤n．對(duì)M的任一n+3元子集A，必有三對(duì)同屬于A(i1、I2、I3兩兩不同)．又將M的元配為n－1對(duì)，CI(i，2n－i)，1≤i≤n－1．對(duì)M的任一n+3元子集A，必有一對(duì)同屬于A，這一對(duì)必與中至少一個(gè)無公共元素，這4個(gè)元素互不相同，且和為2n+1+2n=4n+1,最小的正整數(shù)k=n+310．10.解:⑴∵,∈且＝,∴∈；⑵假設(shè),則存在,使＝即(*)由于與具有相同的奇偶性，所以（*）式左邊有且僅有兩種可能：奇數(shù)或4的倍數(shù)，另一方面，（*）式右邊只能被4除余2的數(shù)，故（*）式不能成立.由此，.11.解：，．當(dāng)時(shí)，，由得；當(dāng)時(shí)，，由得；當(dāng)時(shí)，，與不符．綜上所述，．12．解：由④若，∈,則＋∈可知，若∈，則由①可設(shè)，∈，且＞0，＜0，則－＝||(||∈)故,－∈,由④,0＝(－)+∈.（2）2.若2∈，則中的負(fù)數(shù)全為偶數(shù)，不然的話，當(dāng)－（）∈（）時(shí)，－1＝（－）＋∈，與③沖突.于是，由②知中必有正奇數(shù).設(shè)，我們?nèi)∵m當(dāng)正整數(shù)，使，則負(fù)奇數(shù).前后沖突B組1．證明：設(shè)隨意的∈，≠0,由②知∈，或－∈之一成立.再由①，若∈，則；若－∈，則.總之，.取=1，則1∈.再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…，可知全體正整數(shù)都屬于.設(shè)，由①，又由前證知，所以∈.因此，含有全體正有理數(shù).再由①知，0與全體負(fù)有理數(shù)不屬于.即是由全體正有理數(shù)組成的集合.2．證明：（1）若，則，所以每個(gè)集合中均有非負(fù)元素.當(dāng)三個(gè)集合中的元素都為零時(shí)，命題明顯成立.否則，設(shè)中的最小正元素為，不妨設(shè)，設(shè)為中最小的非負(fù)元素，不妨設(shè)則－∈.若＞0,則0≤－＜，與的取法沖突.所以=0.任取因0∈,故－0＝∈.所以，同理.所以=.（２）可能.例如=={奇數(shù)}，={偶數(shù)}明顯滿意條件，和與都無公共元素.3．解：=.與分別為方程組（Ⅰ）（Ⅱ）的解集.由（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（）=（1，0），（，）使恰有兩個(gè)元素的狀況只有兩種可能：①②由①解得=0；由②解得=1.故=0或1時(shí)，恰有兩個(gè)元素.使恰有三個(gè)元素的狀況是：=解得，故當(dāng)時(shí)，恰有三個(gè)元素.4．解:(1)設(shè)(即集合A中的點(diǎn)與集合B中的點(diǎn)的距離的最小值),則稱為A與B的距離.⑵解法一：∵中點(diǎn)的集合為圓圓心為,令是雙曲線上的任一點(diǎn),則==+8=令,則=當(dāng)時(shí),即有解，∴∴解法二：如圖,是雙曲線上的任一點(diǎn),Q為圓上任一點(diǎn),圓心為.明顯,(當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào))∴.5．解：記時(shí)，由于1，2，……18都是的約數(shù)，故此時(shí)從而若存在，使，則對(duì)于小于99的正整數(shù)，均有，從而，但是，由整數(shù)理論中的性質(zhì)9×11=99是的一個(gè)約數(shù)，這是一個(gè)沖突！從而6．證明：假設(shè)該校共有個(gè)班級(jí)，他們的建議分別組成集合。這些集合中沒有兩個(gè)相同（因?yàn)闆]有兩個(gè)班級(jí)提出全部相同的建議），而任何兩個(gè)集合都有相同的元素，因此任何一個(gè)集合都不是另外一個(gè)集合的補(bǔ)集。這樣在中至多有A（全部P條建議所組成的集合）的個(gè)子集，所以其次章函數(shù)§2.1函數(shù)與其性質(zhì)一、函數(shù)的基本性質(zhì)：函數(shù)圖像的對(duì)稱性奇函數(shù)與偶函數(shù)：奇函數(shù)圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，對(duì)于隨意，都有成立；偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，對(duì)于隨意，都有成立。原函數(shù)與其反函數(shù)：原函數(shù)與其反函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。若某一函數(shù)與其反函數(shù)表示同一函數(shù)時(shí)，則此函數(shù)的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱。若函數(shù)滿意，則的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱；若函數(shù)滿意，則的圖像就關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱。互對(duì)稱學(xué)問：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱。2．函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性是針對(duì)其定義域的某個(gè)子區(qū)間而言的。推斷一個(gè)函數(shù)的單調(diào)性一般采納定義法、導(dǎo)數(shù)法或借助其他函數(shù)結(jié)合單調(diào)性的性質(zhì)（如復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性）特殊提示：函數(shù)的圖像和單調(diào)區(qū)間。3．函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)非零常數(shù)，使得當(dāng)為定義域中的每一個(gè)值時(shí)，都有成立，則稱是周期函數(shù)，稱為該函數(shù)的一個(gè)周期。若在全部的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，就稱其為最小正周期。若是的周期，則也是它的周期。若是周期為的函數(shù)，則是周期為的周期函數(shù)。若函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，則是周期為的函數(shù)。若函數(shù)滿意，則是周期為的函數(shù)。4.函數(shù)的最值：常規(guī)求法：配方法、判別式法、不等式法、換元法、構(gòu)造法5．Gauss(高斯)函數(shù)對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，我們記不超過的最大整數(shù)為，通常稱函數(shù)為取整函數(shù)。又稱高斯函數(shù)。又記，則函數(shù)稱為小數(shù)部分函數(shù)，它表示的是的小數(shù)部分。高斯函數(shù)的常用性質(zhì)：對(duì)隨意（2）對(duì)隨意，函數(shù)的值域?yàn)椋?）高斯函數(shù)是一個(gè)不減函數(shù)，即對(duì)于隨意（4）若，后一個(gè)式子表明是周期為1的函數(shù)。（5）若（6）若二、應(yīng)用舉例：例1．已知是一次函數(shù)，且．求的解析式．例2．已知例3．函數(shù)，求函數(shù)迭代中的”穿脫”技巧設(shè)函數(shù)y=f(x),并記fn(x)=f(f(f…(fx)…),其中n是正整數(shù),fn(x)叫做函數(shù)f(x)的n次迭代,函數(shù)迭代是一種特殊的函數(shù)復(fù)合形式,在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中占有很重要的地位,尤其是近年來在國內(nèi)外數(shù)學(xué)競(jìng)賽屢次出現(xiàn),成為熱點(diǎn)問題之一,以引起廣在數(shù)學(xué)愛好者的關(guān)注.由f(x)(或fn(x)的表達(dá)式”穿上”或”脫去”n-1個(gè)函數(shù)符號(hào)得出fn(x)(或f(x))的函數(shù)迭代問題,這里我們對(duì)數(shù)學(xué)競(jìng)賽中穿脫問題的解題技巧作簡(jiǎn)潔介紹和粗淺的探究.1程序化穿脫“穿”,”脫”函數(shù)符號(hào)是一種有序的過程,由內(nèi)至外一層層穿上f,或從外至內(nèi)一層層脫去f,往往是一種程序化的模式,例已知f(x)=,求fn(x).2試驗(yàn)法穿脫很多狀況下,求解穿脫問題并非只是一種程序化的操作,還須要用敏銳的思維和眼光去發(fā)覺穿脫過程所蘊(yùn)含的規(guī)律性,試驗(yàn)是發(fā)覺的源泉,是發(fā)覺規(guī)律的金鑰匙.例函數(shù)定義在整數(shù)集上,且滿意f(n)=n-3(n≥1000)f[f(n+5)](n＜1000求f(84)例21對(duì)隨意的正整數(shù)k,令f1(k)定義為k的各位數(shù)字和的平方.對(duì)于n≥2令fn(k)=f1(fn-1(k)),求f1988(11).3周期性穿脫在求解函數(shù)迭代問題時(shí)我們常常要借助于函數(shù)的周期性,利用周期性穿脫要能達(dá)到進(jìn)退自如,做到需穿插則穿,需脫則脫,從而優(yōu)化解題過程.例定義域?yàn)檎麛?shù)的函數(shù),滿意:f(n)=n-3(n≥1000)f[f(n+7)](n＜1000.試求f(90)練習(xí)1.設(shè)n是自然數(shù),f(n)為n2+1(十進(jìn)制)的數(shù)字之和,f1(n)=f(n),求的f100(1990)值.2.已知f(x)=.設(shè)f35(x)=f5(x),求f28(x).例4．求函數(shù)的值域。兩邊平方得，從而且。由或y≥2。任取y≥2，由，易知x≥2，于是。任取，同樣由，易知x≤1。于是。因此，所求函數(shù)的值域?yàn)?。?（1）設(shè)x,y是實(shí)數(shù)，且滿意，求x+y的值若方程有唯一解，求a例6：解方程、不等式：（1）（2）(x＋8)2007＋x2007＋2x＋8＝0（3）Ex1.求的圖象與軸交點(diǎn)坐標(biāo)。解：令，可知是奇函數(shù)，且嚴(yán)格單調(diào)，所以，當(dāng)時(shí)，，所以，故，即圖象和軸交點(diǎn)坐標(biāo)為若函數(shù)為單調(diào)的奇函數(shù)，且，則。若遇兩個(gè)式子結(jié)構(gòu)相同，不妨依此構(gòu)造函數(shù)，若剛好函數(shù)能滿意上述性質(zhì)，則可解之。Ex2.設(shè)函數(shù)，則對(duì)隨意實(shí)數(shù)a,b,是的（）A．充分必要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分又不必要條件探求探討函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，歷年來都是數(shù)學(xué)競(jìng)賽的命題熱點(diǎn)之一，例如探求函數(shù)的周期性，函數(shù)的不等式證明，以與解反函數(shù)的不等式等問題。而解決這類問題的方法就是要“穿脫”函數(shù)符號(hào)“f”，下面我們從詳細(xì)的例子談一談“穿脫”的技巧與方法.1.單調(diào)性穿脫法對(duì)于特殊函數(shù)的單調(diào)性,我們可以依據(jù)函數(shù)值相等或函數(shù)的單調(diào)性對(duì)函數(shù)“f”進(jìn)行“穿脫”,進(jìn)而達(dá)到化簡(jiǎn)的目的,由此使問題獲得解答.已知函數(shù)f(x)在區(qū)間(-,+)上是增函數(shù),a和b是實(shí)數(shù).試證:⑴證明命題:假如a+b≥0則f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).⑵推斷⑴中的逆命題是否正確,并證明你的結(jié)論.2反函數(shù)穿脫法敏捷自如地處理原函數(shù)f(x)與反函數(shù)f-1(x),并能嫻熟地運(yùn)用f-1(f(x))=x,f(f-1(x))=x進(jìn)行穿脫函數(shù)符號(hào)“f”，這是極為常用而又重要的方法.引理若f(x),g(x)互為反函數(shù),且f(a+b)=f(a)f(b),則g(mn)=g(m)+g(n)例已知函數(shù)f(x)滿意:①f()=1;②函數(shù)的值域?yàn)閇-1,1];③嚴(yán)格遞減;④f(xy)=f(x)+f(y).試求:⑴求證:不在f(x)的定義域內(nèi)⑵求不等式f-1(x)f-1()≤的解集3定義探求法在求解有關(guān)函數(shù)方程的問題時(shí),我們常常會(huì)遇到要證明某函數(shù)為周期性函數(shù),此時(shí)我們一般采納周期函數(shù)的定義來求解,探求函數(shù)的有關(guān)性質(zhì).例設(shè)a>0,f(x)是定義在實(shí)數(shù)集上的一個(gè)實(shí)值函數(shù),且對(duì)每一實(shí)數(shù)x,有f(x+a)=+⑴證明:f(x)是周期函數(shù);⑵對(duì)a=1,詳細(xì)給出一個(gè)這樣的特別數(shù)的函數(shù)f(x)例7．設(shè)，均為實(shí)數(shù)，試求當(dāng)改變時(shí)，函數(shù)的最小值。例8．設(shè)是定義在Z上的一個(gè)實(shí)值函數(shù)，滿意，求證：是周期為4的周期函數(shù)。例9．已知函數(shù)f(x)對(duì)隨意實(shí)數(shù)x,都有f(x＋m)＝－,求證f(x)是周期函數(shù)三、練習(xí)1．集合由滿意如下條件的函數(shù)組成：當(dāng)時(shí)，有，對(duì)于兩個(gè)函數(shù)，以下關(guān)系中成立的是（）2．設(shè)，記，若則（）、、-、、3．若(log23)x(log53)x≥(log23)(log53)，則()

(A)xy≥0(B)x+y≥0(C)xy≤0(D)x+y≤04．定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)f(x)，對(duì)一切實(shí)數(shù)x都有f(x＋1)＝f(2－x)成立，若f(x)＝0僅有101個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則全部實(shí)數(shù)根的和為()

A.150 B. C.152 D.5．已知（a、b；實(shí)數(shù)）且，則的值是（）（A）（B）（C）3（D）隨a、b取不同值而取不同值6．函數(shù)的奇偶性是:A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)D.不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)7．已知函數(shù)在[1,2]上恒正，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()（A） （B）（C） （D）8．函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?．給定實(shí)數(shù)，定義為不大于x的最大整數(shù)，則下列結(jié)論中不正確的序號(hào)是（）10．函數(shù)，則

11。實(shí)數(shù)x，y滿意x2＝2xsin(xy)－1，則x2006＋6sin5y＝______________12．方程ln(＋x)＋ln(＋2x)＋3x＝0的解集是13．.已知,且，則=14．下列說法正確的是（1）函數(shù)與關(guān)于直線對(duì)稱；（2）函數(shù)與關(guān)于y軸對(duì)稱；（3）若函數(shù)滿意=，則關(guān)于直線對(duì)稱；（4）若函數(shù)滿意=，則關(guān)于y軸對(duì)稱15．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，且對(duì)于的隨意值都有，則函數(shù)的周期為__________。16．設(shè)方程的根為,方程的根為,則=17．函數(shù)，則18．設(shè)則S的最大值為19．設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的圖象與軸所圍成的封閉部分的面積．20．為何實(shí)數(shù)時(shí)，方程有四個(gè)互不相等的實(shí)數(shù)根．21．(1)若函數(shù)滿意，求證的圖像就關(guān)于直線對(duì)稱(2)函數(shù)的圖像關(guān)于某條垂直于x軸的直線對(duì)稱，求實(shí)數(shù)c的值22．已知，定義（１）求（２）設(shè)，求證：中至少含有個(gè)元素．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，但不包括數(shù)，對(duì)定義域中的任何實(shí)數(shù)，在定義域中存在，使得，且滿意以下三個(gè)條件：（１）是定義域中的數(shù)，或，則；（２）（是一個(gè)正常數(shù)）；（３）當(dāng)時(shí)，．求證：（１）是奇函數(shù)；（２）是周期函數(shù)，并求出其周期；（３）在內(nèi)為減函數(shù)．§2.2二次函數(shù)基礎(chǔ)學(xué)問：二次函數(shù)的解析式（1）一般式：（2）頂點(diǎn)式：，頂點(diǎn)為（3）兩根式：（4）三點(diǎn)式：2．二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)（1）的圖像是一條拋物線，頂點(diǎn)坐標(biāo)是，對(duì)稱軸方程為，開口與有關(guān)。（2）單調(diào)性：當(dāng)時(shí)，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)；時(shí)相反。（3）奇偶性：當(dāng)時(shí)，為偶函數(shù)；若對(duì)恒成立，則為的對(duì)稱軸。（4）最值：當(dāng)時(shí)，的最值為，當(dāng)時(shí)，的最值可從中選取；當(dāng)時(shí)，的最值可從中選取。常依軸與區(qū)間的位置分類探討。3．三個(gè)二次之間的關(guān)聯(lián)與根的分布理論：二次方程的區(qū)間根問題，一般狀況須要從三個(gè)方面考慮：判別式、區(qū)間端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)；對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的關(guān)系。綜合應(yīng)用：例1：已知，若時(shí)，恒成立，求的取值范圍。例2．設(shè)滿意條件：（1）當(dāng)時(shí)，，（2）當(dāng)，（3）在R上的最小值為0。①求的解析式；②求最大的使得存在，只要就有。設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿意

a2－bc－8a＋7＝0…………①

b2＋c2＋bc－6a＋6＝0…………②

求a的取值范圍.分析：如何將含有三個(gè)變量的兩個(gè)方程組成的方程組問題，轉(zhuǎn)化為只含有a的不等式，是解決本題的關(guān)鍵，細(xì)致分析視察方程組的特點(diǎn)，發(fā)覺可以利用a來表示bc與b＋c，從而用韋達(dá)定理構(gòu)造出a為變量的一元二次方程，由△≥0建立a的不等式.解：由①得：bc＝a2－8a＋7…………③

由①②得：(b＋c)2＝a2－2a＋1即b＋c＝±(a－1)…………④

由③④得b，c為方程x2±(a－1)x＋(a2－8a＋7)＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，

由于b，c∈R，所以△≥0即：[±(a－1)]2－4(a2－8a＋7)≥0即：a2－10a＋9≤0得：1≤a≤9

例3。已知二次函數(shù)和一次函數(shù)，其中滿意，，．（1）求證：兩函數(shù)的圖像交于不同的兩點(diǎn)A、B；（2）求線段在軸上的射影的范圍。命題意圖：本題主要考查考生對(duì)函數(shù)中函數(shù)與方程思想的運(yùn)用實(shí)力.學(xué)問依托：解答本題的閃光點(diǎn)是嫻熟應(yīng)用方程的學(xué)問來解決問題與數(shù)與形的完備結(jié)合.錯(cuò)解分析：由于此題表面上重在“形”，因而本題難點(diǎn)就是一些考生可能走入誤區(qū)，老是想在“形”上找解問題的突破口，而忽視了“數(shù)”.技巧與方法：利用方程思想奇妙轉(zhuǎn)化.(1)證明：由消去y得ax2+2bx+c=0Δ=4b2－4ac=4(－a－c)2－4ac=4(a2+ac+c2)=4［(a+c2∵a+b+c=0,a>b>c,∴a>0,c<0∴c2>0,∴Δ>0,即兩函數(shù)的圖象交于不同的兩點(diǎn).(2)解：設(shè)方程ax2+bx+c=0的兩根為x1和x2,則x1+x2=－,x1x2=.|A1B1|2=(x1－x2)2=(x1+x2)2－4x1x2∵a>b>c,a+b+c=0,a>0,c<0∴a>－a－c>c,解得∈(－2,－)∵的對(duì)稱軸方程是.∈(－2,－)時(shí)，為減函數(shù)∴|A1B1|2∈(3,12),故|A1B1|∈().例4．已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b是常數(shù)，且a≠0)滿意條件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x有等根。①求f(x)的解析式；②是否存在實(shí)數(shù)m，n(m<n)，使f(x)的定義域和值域分別為[m,n]和[4m,4n]？假如存在，求出m,n的值；假如不存在，請(qǐng)說明理由。解析：①∵方程f(x)=2x有等根⊿＝0b=2∵f(x－1)=f(3－x)f(x)=f(2-x)圖象的對(duì)稱軸為x=-=1a∴f(x)=-x2+2x②f(x)=-(x-1)2+1≤1∴4n≤1n≤∵拋物線y=-x2+2x的對(duì)稱軸為x=1∴n≤時(shí)，f(x)在[m,n]上為增函數(shù)若滿意題設(shè)條件的m,n存在，則∵m<n≤∴m=-2,n=0，這時(shí)定義域?yàn)閇-2,0]，值域?yàn)閇-8,0]∴存在m=-2,n=0，滿意條件。例5．對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在實(shí)數(shù)x0，滿意f(x0)=x0，則稱x0為f(x)的不動(dòng)點(diǎn)。已知F1(x)=f(x),F2(x)=f[F1(x)],F3(x)=f[F2(x)],…,Fn(x)=f[Fn-1(x)](n∈N*,n≥2)。①若f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)，試問F2(x),F3(x),…,Fn(x)是否存在不動(dòng)點(diǎn)？寫出你的結(jié)論，并加以證明。②設(shè)f(x)=2x-x2。求使全部Fn(x)<0（n∈N*,n≥2）成立的全部正實(shí)數(shù)x值的集合。①y=f(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，則f(x0)=x0，下證x0是Fn(x)的不動(dòng)點(diǎn)。∵F2(x0)=f[F1(x0)]=f[f(x0)]f(x0)=x0∴x0也是F2(x)的不動(dòng)點(diǎn)。若Fn-1(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0，即Fn-1(x0)=x0∴Fn(x0)=f[Fn-1(x0)]=f(x0)=x0Fn(x)存在不動(dòng)點(diǎn)x0綜上所述：對(duì)于隨意n∈N*,n≥2，F(xiàn)n(x)都存在不動(dòng)點(diǎn)，并且有相同的不動(dòng)點(diǎn)。②方法一：∵f(x)<02x－x2<0x<0或x>2∵要使Fn(x)<0(n≥2)f[Fn-1(x)]<02Fn-1(x)－[Fn-1(x)]2<0Fn-1(x)<0或Fn-1(x)>2依此類推，要使F2(x)<0f[F1(x)]<0f[f(x)]<02f(x)－[f(x)]2<0f(x)<0或f(x)>22x－x2<0或2x－x2>2∴所求x的取值范圍為(2,+∞)。例6：求實(shí)數(shù)的取值范圍，使得對(duì)于隨意實(shí)數(shù)和隨意實(shí)數(shù)，恒有。設(shè)，原不等式化為：恒成立記，則，，例7：已知函數(shù)，方程的兩根是，又若，試比較的大小。解法一：設(shè)F(x)＝f(x)－x＝ax2＋(b－1)x＋c＝a(x－x1)(x－x2)∴f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x

作差：f(t)－x1＝a(t－x1)(t－x2)＋t－x1＝(t－x1)[a(t－x2)＋1]＝a(t－x1)(t－x2＋)

又t－x2＋＜t－(x2－x1)－x1＝t－x1＜0∴f(t)－x1＞0∴f(t)＞x1

解法二：同解法一得f(x)＝a(x－x1)(x－x2)＋x

令g(x)＝a(x－x2)∵a＞0，g(x)是增函數(shù)，且t＜x1Tg(t)＜g(x1)＝a(x1－x2)＜－1

另一方面：f(t)＝g(t)(t－x1)＋t

∴＝a(t－x2)＝g(t)＜－1∴f(t)－t＞x1－t∴f(t)＞x1例8．已知函數(shù)，方程的兩個(gè)根為，且求證：也是方程的根；設(shè)的另兩個(gè)根是，且，試推斷的大小。解：（1）易證。（2）由方程的兩個(gè)根為，設(shè)所以記，則是的兩根，而，且，故。例9．設(shè),方程的兩個(gè)根，若，設(shè)的對(duì)稱軸為，求證構(gòu)造可以推出結(jié)論。．設(shè),當(dāng)時(shí)，，求證：適合的最小實(shí)數(shù)A的值為8。，所以A的最小值為8例10．設(shè),方程的兩個(gè)根滿意，（1）當(dāng)時(shí)，證明；（2）設(shè)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，證明該題是一九九七年全國一般高考理工類數(shù)學(xué)第24題，它綜合考查二次函數(shù)、二次方程和不等式的基礎(chǔ)學(xué)問，以與敏捷運(yùn)用數(shù)學(xué)學(xué)問和方法分析、解決問題的實(shí)力，當(dāng)年沒有幾個(gè)考生能完整解答此題。可以從代數(shù)與幾何兩個(gè)角度綻開思索：從代數(shù)角度看，f(x)是二次函數(shù)，從而方程f(x)-x=0即ax2+(b-1)x+c=0(a＞0)是二次方程，由于x1,x2是它的兩個(gè)根，且方程中x2的系數(shù)是a，因此有表達(dá)式：f(x)-x=a(x-x1)(x-x2),進(jìn)而，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和題設(shè)條件，可得第（1）問的證明。從幾何角度看，拋物線y=f(x)-x開口向上，因此在區(qū)間［x1,x2］的外部，f(x)-x＞0，（1）的左端得證。其次，拋物線y=f(x)的開口也向上，又x1=f(x1)，于是為了證得（1）的右端，相當(dāng)于要求證明函數(shù)f(x)在區(qū)間［0,x1］的最大值是f(x1)，這相當(dāng)于證明f(0)≤f(x1)，也即C≤x1，利用韋達(dá)定理和題設(shè)，馬上可得。至于（Ⅱ）的證明，應(yīng)用配方法可得x0=，進(jìn)而利用韋達(dá)定理與題設(shè)，即得證明。證明：①欲證：x＜f(x)＜x1

只須證：0＜f(x)-x＜x1-x

①∵方程f(x)-x=0的兩根為x1,x2,∴f(x)-x=a(x-x1)(x-x2)①式即:0＜a(x-x1)(x-x2)＜x1-x

②∵a＞0，x∈(0,x1)，x1-x＞0，∴a(x1-x)＞0②式兩邊同除以a(x1-x)＞0，得：0＜x2-x＜，即：x＜x2＜+x這由已知條件：0＜x＜x1＜x2＜，即得：x＜x2＜＜+x，故命題得證。（2）欲證x0＜，因?yàn)閤0=，故只須證：x0-=-＜0①由韋達(dá)定理，x1+x2=，=，代入①式，有-=-＜0即：x2＜由已知：0＜x1＜x2＜，命題得證。三、練習(xí)1．二次函數(shù),若,則等于:A.B.C.cD.2．已知二次函數(shù)，設(shè)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．①假如，設(shè)函數(shù)的對(duì)稱軸為，求證：；②假如，且的兩實(shí)根的差為2，求實(shí)數(shù)的取值范圍．（1）即為：它的兩根滿意的充要條件是：又，所以：因?yàn)椋海裕?，即：由題意得：即：消去得：，此不等式等價(jià)于：解得：3．已知函數(shù)f(x)=6x－6x2，設(shè)函數(shù)g1(x)=f(x),g2(x)=f[g1(x)],g3(x)=f[g2(x)],…,gn(x)=f[gn-1(x)],…。①求證：假如存在一個(gè)實(shí)數(shù)x0，滿意g1(x0)=x0，則對(duì)一切n∈N*,gn(x0)=x0都成立；②若實(shí)數(shù)x0，滿意gn(x0)=x0，則稱x0為穩(wěn)定動(dòng)點(diǎn)，試求全部這些穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)。③設(shè)區(qū)間A=(-∞,0)，對(duì)于隨意x∈A，有g(shù)1(x)=f(x)=a<0,g2(x)=f[g1(x)]=f(0)<0，且n≥2時(shí)，gn(x)<0。試問是否存在區(qū)間B(A∩B≠)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)隨意實(shí)數(shù)x，只要n≥2，都有g(shù)n(x)<0？解:①數(shù)學(xué)歸納法：當(dāng)n=1時(shí)，g1(x0)=x0明顯成立；當(dāng)n=k時(shí)，在gk(x0)=x0(k∈N*)成立，則gk+1(x0)=f[gk(x)]=f(x0)=g1(x0)=x0，即當(dāng)n=k+1時(shí)，命題成立?！鄬?duì)一切n∈N*，若g1(x0)=x0，則gn(x0)=x0。②由①知，穩(wěn)定不動(dòng)點(diǎn)x0只需滿意f(x0)=x0，∵f(x0)=x06x0－6x02=x0x0=0或x0=。③∵f(x)<06x－2x2<0x<0或x>1∴gn(x)<0f[gn-1(x)]<0gn-1(x)<0或g要使一切n∈N,n≥2，都有g(shù)n(x)<0，必需有g(shù)1(x)<0或g1(x)>1∵g1(x)<06x－2x2<0x<0或x>1g1(x)>16x－2x2>1<x<∴對(duì)于區(qū)間(-∞,0),(,)和(1,+∞)內(nèi)的隨意x，只要n≥2,n∈N*，都有g(shù)n(x)<0?！?.3函數(shù)迭代學(xué)問提要先看一個(gè)好玩的問題：李政道博士1979年4月到中國科技高校，給少年班的同學(xué)面試這樣一道題：五只猴子，分一堆桃子，怎么也平分不了，于是大家同意先去睡覺，明天再說．夜里一只猴子偷偷起來，把一個(gè)桃子吃掉后正好可以分成5份，保藏起自己的一份后又去睡覺了．其次只猴子起來后，像第一只猴子一樣，先吃掉一個(gè)，剩下的又剛好分成5份，也把自己的一份保藏起來睡覺去了．第三、第四、第五只猴子也都是這樣：先吃掉一個(gè)，剩下的剛好分成5份．問這堆桃子最少是多少個(gè)？設(shè)桃子的總數(shù)為個(gè)．第只猴子吃掉一個(gè)并拿走一份后，剩下的桃子數(shù)目為個(gè)，則，且．設(shè)．于是由于剩下的桃子數(shù)都是整數(shù)，所以，．因此，最小的為：．上面的解法，我們利用了一個(gè)函數(shù)自身復(fù)合多次，這就叫迭代．一般地，設(shè)是一個(gè)函數(shù)，對(duì)，記，，，…，，，則稱函數(shù)為的次迭代，并稱為的迭代指數(shù)．反函數(shù)記為．一些簡(jiǎn)潔函數(shù)的次迭代如下：（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；（4）若，則；（5）若（），則；的一般解法是先猜后證法：先迭代幾次，視察規(guī)律并揣測(cè)表達(dá)式，證明時(shí)常用數(shù)學(xué)歸納法．例題講解1．求迭代后的函數(shù)值例1：已知是一次函數(shù)，且，求的解析式．例2：自然數(shù)的各位數(shù)字和的平方記為，且，則（）的值域?yàn)椋ǎˋ） （B） （C） （D）（第14屆希望杯）例3：設(shè)，而，．記，則．（第14屆希望杯）2．不動(dòng)點(diǎn)法一般地，若，則把它寫成因而……這里的就是方程的根．一般地，方程的根稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)．假如是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則也是的不動(dòng)點(diǎn)．可用數(shù)學(xué)歸納法證明．利用不動(dòng)點(diǎn)能較快地求得函數(shù)的次迭代式．例4：若，求．3．相像法若存在一個(gè)函數(shù)以與它的反函數(shù)，使得，我們稱通過和相像，簡(jiǎn)稱和相像，其中稱為橋函數(shù)．假如和相像，即，則有：．例6：若，求．例7：若，求．課后練習(xí)1．若的定義域?yàn)?，的定義域?yàn)?，則（）（A） （B） （C） （D）（第5屆希望杯）2．在正整數(shù)集上定義的函數(shù)，則的值是（）（A） （B） （C） （D）（第2屆希望杯）3．已知是一次函數(shù)，且，則的解析式為．4．已知函數(shù)，且，則．（第6屆希望杯）5．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且對(duì)于隨意實(shí)數(shù)，有，則．6．設(shè)函數(shù)，是無理數(shù)的小數(shù)點(diǎn)后第位數(shù)字，并且規(guī)定．令，求證：．（第1屆希望杯）7．給定個(gè)數(shù)：，（）將這個(gè)數(shù)由大到小地排成一列，定義：第位上恰是的數(shù)（）叫做希望數(shù)，試求時(shí)的希望數(shù)．（第11屆希望杯）8．設(shè)．記，（），．證明：.（2006年全國聯(lián)賽）§2.4抽象函數(shù)學(xué)問提要1．所謂抽象函數(shù)泛指不詳細(xì)的函數(shù)，然而抽象函數(shù)又多以詳細(xì)函數(shù)為背景，所以探討抽象函數(shù)很有應(yīng)用價(jià)值．抽象函數(shù)也是高考、競(jìng)賽命題的熱點(diǎn)之一．2．抽象函數(shù)與它的代表函數(shù)抽象函數(shù)滿意條件代表函數(shù)1（）2（）3（）45678或3．抽象函數(shù)的性質(zhì)（1）若的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，，且對(duì)隨意有，則是上的增函數(shù)；（2）若對(duì)隨意實(shí)數(shù)都成立，則是奇函數(shù)；（3）若對(duì)隨意實(shí)數(shù)都成立，則的圖像以點(diǎn)為中心對(duì)稱；（4）若，則是的一個(gè)周期．例題講解1．抽象函數(shù)的值（值域）例1：函數(shù)的值域，則的值域?yàn)椋ǖ?屆希望杯）例2：定義為的函數(shù)，對(duì)任何，都有，則．（第5屆希望杯）例3：設(shè)是上的不減函數(shù)，即對(duì)于有，且滿意：（1）；（2）；（3），則．例4：設(shè)奇函數(shù)的定義域?yàn)?，，且?duì)隨意，都有，當(dāng)時(shí)，是增函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上的最大值是．（第4屆希望杯）2．抽象函數(shù)的單調(diào)性例5：奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為8，最小值為，則．（第14屆希望杯）例6：設(shè)是定義在上的增函數(shù)，且，若，則成立的的取值范圍是．3．抽象函數(shù)的奇偶性例7：是定義在上的奇函數(shù)，它的最小正周期為2，則（A）1或0 （B）1或 （C）0 （D）1（第6屆希望杯）例8：函數(shù)的定義域是，函數(shù)，已知，則．（第4屆希望杯）4．抽象函數(shù)的周期性例9：定義在實(shí)數(shù)集上的函數(shù)，滿意，則的值為．（第12屆希望杯）例10：定義在上的特別數(shù)函數(shù)，滿意（1）為偶函數(shù)；（2），則肯定是（）（A）是偶函數(shù)，也是周期函數(shù) （B）是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù) （C）是奇函數(shù)，也是周期函數(shù) （D）是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)（第12屆希望杯）課后練習(xí)1．函數(shù)是定義在上的實(shí)函數(shù)，它既關(guān)于對(duì)稱，又關(guān)于對(duì)稱，則的周期是（）（A） （B） （C） （D）2．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)在區(qū)間上為減函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，則（）（A）（B）（C）（D）（2007年重慶高考）3．定義在上的函數(shù)既是奇函數(shù)，又是周期函數(shù)，是它的一個(gè)正周期.若將方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)記為，則可能為（）（A）0 （B）1 （C）3 （D）5（2007年安徽高考）4．定義在上的函數(shù)，它具有下述性質(zhì)：（1）對(duì)任何，都有；（2）對(duì)任何，，都有．則的值為（）（A）0 （B）1 （C） （D）不確定5．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且滿意，當(dāng)時(shí)，，則．6．函數(shù)是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，且為增函數(shù)，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．（第5屆希望杯）7．定義在上的函數(shù)，恒有．若，則．8．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?duì)一切實(shí)數(shù)，都滿意．（1）證明：函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱．（2）若又是偶函數(shù)，且時(shí)，，求時(shí)的的表達(dá)式．9．設(shè)函數(shù)在上滿意，，且在閉區(qū)間上，只有．（1）試推斷函數(shù)的奇偶性；（2）試求方程在閉區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)，并證明你的結(jié)論．（2005年廣東高考）第三章：數(shù)列§3.1等差數(shù)列與等比數(shù)列數(shù)列是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的課題，也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽中常常出現(xiàn)的問題.所謂數(shù)列就是按肯定次序排列的一列數(shù).數(shù)列的一般形式是a1,a2,…,an,…通常簡(jiǎn)記為{an}.假如數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與n之間的函數(shù)關(guān)系可用一個(gè)公式來表示，這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.從函數(shù)的角度看，數(shù)列可以看做是一個(gè)函數(shù)，定義域是自然數(shù)集或自然數(shù)集的一個(gè)有限子集，函數(shù)表達(dá)式就是數(shù)列的通項(xiàng)公式.對(duì)于數(shù)列{an}，把Sn=a1+a2+…+an叫做數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則有I．等差數(shù)列與等比數(shù)列1．等差數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1+(n－1)d.（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等差中項(xiàng)：（5）隨意兩項(xiàng)：an=am+(n－m)d.（6）性質(zhì)：①公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)；②公差為非零的等差數(shù)列的充要條件是前n項(xiàng)和公式為n的不含常數(shù)項(xiàng)的二次函數(shù)；③設(shè){an}是等差數(shù)列，假如m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq;④設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…,Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、p∈N*)仍成等差數(shù)列；⑤設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則是等差數(shù)列；⑥設(shè){an}是等差數(shù)列，則{λan+b}(λ,b是常數(shù))是等差數(shù)列；⑦設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，則{λ1an+λ2bn}（λ1，λ2是常數(shù)）也是等差數(shù)列；⑧設(shè){an}與{bn}是等差數(shù)列，且bn∈N*，則{abn}也是等差數(shù)列（即等差數(shù)列中等距離分別出的子數(shù)列仍為等差數(shù)列）；⑨設(shè){an}是等差數(shù)列，則{}（c>0,c≠1）是等比數(shù)列.2．等比數(shù)列（1）定義：（2）通項(xiàng)公式：an=a1qn－1.（3）前n項(xiàng)和公式：（4）等比中項(xiàng)：（5）隨意兩項(xiàng)：an=amqn－m.（6）無窮遞縮等比數(shù)列各項(xiàng)和公式：S=（7）性質(zhì)：①設(shè){an}是等比數(shù)列，假如m、n、p、q∈N*，且m+n=p+q，則am·an=ap·aq；②設(shè)Sn是等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則Sm,S2m－Sm,S3m－S2m,…，Spm－S(p－1)m(m>1,p≥3，m、n∈N*)仍為等比數(shù)列；③設(shè){an}是等比數(shù)列，則{λan}（λ是常數(shù)）、{}（m∈Z*）仍成等比數(shù)列；④設(shè){an}與{bn}是等比數(shù)列，則{an·bn}也是等比數(shù)列；⑤設(shè){an}是等比數(shù)列，{bn}是等差數(shù)列，bn∈Z*，則{abn}是等比數(shù)列（即等比數(shù)列中等距離分別出的子數(shù)列仍為等比數(shù)列）；⑥設(shè){an}是正項(xiàng)等比數(shù)列，則{logcan}(c>0,c≠1)是等差數(shù)列.賽題精講例1設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=2an－1(n=1,2,…)，數(shù)列{bn}滿意b1=3,bk+1=bk+ak(k=1,2，…)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)之和.（1996年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽二試題1）【思路分析】欲求數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和，需先求bn.由ak=bk+1－bk,知求ak即可，利用ak=Sk－Sk－1(k=2,3,4,…)可求出ak.【略解】由Sn=2an－1和a1=S1=2a1－1,得a1=1,又an=Sn－Sn－1=2an－2an－1,即an=2an－1,因此{(lán)an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，則有an=2n－1.由ak=bk+1－bk，取k=1,2,…,n－1得a1=b2－b1,a2=b3－b2,a3=b4－b3,…,an－1=bn－bn－1,將上面n－1個(gè)等式相加，得bn－b1=a1+a2+…+an.即bn=b1+a1+a2+…+an=3+(1+2+22+…+2n－1)=2n－1+2,所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Sn′=（2+1）+（2+2）+（2+22）+…+（2+2n－1）=2n+2n－1.【評(píng)述】求數(shù)列的前n項(xiàng)和，一般狀況必需先探討通項(xiàng)，才可確定求和的方法.例2求證：若三角形的三內(nèi)角成等差數(shù)列，對(duì)應(yīng)的三邊成等比數(shù)列，則此三角形必是正三角形.【思路分析】由△ABC的三個(gè)內(nèi)角A、B、C成等差數(shù)列，知∠B=60°，三個(gè)角可設(shè)為60°－d,60°,60°+d，其中d為常數(shù)；又由對(duì)應(yīng)的三邊a、b、c成等比數(shù)列，知b2=ac，或?qū)⑷呌洖閍、aq、aq2，其中q為正常數(shù)，由此知要證此三角形為正三角形只須證明d=0或q=1或a=b=c.【證】設(shè)△ABC的三個(gè)內(nèi)角為A、B、C與其對(duì)邊a、b、c，依題意b2=ac,∠B=60°.【方法1】由余弦定理，得整理得(a－c)2=0因此a=c.故△ABC為正三角形.【方法2】設(shè)a、b、c三邊依次為a、aq、aq2，由余弦定理有cosB=,整理得q4－2q2+1=0,解得q=1,q=－1（舍去）所以a=b=c,故此△ABC為正三角形.【方法3】因?yàn)閎2=ac,由正弦定理：(2RsinB)2=2RsinA·2RsinC（其中R是△ABC外接圓半徑）即sin2B=sinA·sinC，把B=60°代入得sinA·sinC=，整理得[cos(A－C)－cos(A+C)=，即cos(A－C)=1,所以A=C，且∠B=60°，故此△ABC為正三角形.【方法4】將60°－d,60°,60°+d代入sin2B=sinAsinC,得sin(60°－d)·sin(60°+d)=，即[cos(2d)－cos120°]=.得cos2d=1,d=0°,所以∠A=∠B=∠C，故△ABC為正三角形.【評(píng)述】方法1、2著眼于邊，方法3、4著眼于角.例3各項(xiàng)都是正數(shù)的數(shù)列{an}中，若前n項(xiàng)的和Sn滿意2Sn=an+,求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.【思路分析】在Sn與an的混合型中，應(yīng)整理成數(shù)列{Sn}的遞推式或數(shù)列{an}的遞推式，然后用遞推關(guān)系式先求出Sn，再求an，或干脆求an.本題簡(jiǎn)潔得到數(shù)列{Sn}的遞推式，利用an=Sn－Sn－1先求出Sn，再求an即可.【解】n≥2時(shí)，將an=Sn－Sn－1代入2Sn=an+,得2Sn=Sn－Sn－1+,整理得所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，即當(dāng)n=1時(shí)，由2S1=a1+,得a1=1也滿意.故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為.【評(píng)述】處理本例的思想方法，可用來求滿意Sn與an混合型中的通項(xiàng)公式.例4設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn與an的關(guān)系為Sn=－ban+1－，其中b是與n無關(guān)的常數(shù)，且b≠－1.（1）求an與an－1的關(guān)系式；（2）寫出用n與b表示an的表達(dá)式.【思路分析】利用Sn=an－an－1(n≥2)整理出數(shù)列{an}的遞推關(guān)系式求an.【解】（1）當(dāng)n≥2時(shí)，an=Sn－Sn－1=－ban+1－,整理得兩邊同乘以2n，得2nan=2n－1an－1+,可知數(shù)列{2nan}是以2a=為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.所以當(dāng)b≠1，b≠－1時(shí)，由（*）式得(1+b)nan=b(1+b)n－1an－1+從而數(shù)列{cn－cn－1}就是一個(gè)等比數(shù)列，n取2，3，…，n得故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為【評(píng)述】構(gòu)造協(xié)助數(shù)列是解由遞推關(guān)系式給出數(shù)列求通項(xiàng)的一個(gè)基本方法，本例構(gòu)造了協(xié)助數(shù)列{cn}、{cn－cn－1}，使數(shù)列{cn－cn－1}為等比數(shù)列，化未知為已知，從而使問題獲解.例5n2(n≥4)個(gè)正數(shù)排成n行n列a11a12a13aa21a22a23aa31a32a33aa41a42a43a…an1an2an3an4……ann其中每一行的數(shù)成等差數(shù)列，每一列的數(shù)成等比數(shù)列，并且全部公比相等，已知a24=1,a42=，a43=,求a11+a22+a33+…+ann.（1990年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】求和須要探討a11和akk，又每列成等比數(shù)列且公比相等，只須要探討a1k和q,又每行成等差數(shù)列，須要求得an和第一行的公差d，因而本題利用已知建立an、d和q之間關(guān)系，使問題獲解.【解】設(shè)第一行數(shù)列公差為d，各列數(shù)列公比為q.因?yàn)?a43=a42+a44,所以a44=2a43－a42=2×－=.又因?yàn)閍44=a24·q2=q2,所以q=,于是有解此方程組，得d=,a11=.對(duì)于隨意的1≤k≤n,有【評(píng)述】數(shù)列求和應(yīng)先探討通項(xiàng)，通項(xiàng)cn=anbn，其中{an}成等差為九列，{bn}為等比數(shù)列，數(shù)列{cn}的求和用錯(cuò)項(xiàng)相減去.例6將正奇數(shù)集合{1，3，5，…}從小到大按第n組有(2n－1)奇數(shù)進(jìn)行分組：{1},{3,5,7},{9,11,13,15,17},…（第1組）（第2組）（第3組）問1991位于第幾組中？（1991年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）【思路分析】思路須要寫出第n組的第1個(gè)數(shù)和最終一個(gè)數(shù)，1991介于其中，而第n組中最終一個(gè)數(shù)是第（1+3+…+2n－1）=n2個(gè)奇數(shù)為2n2－1.【解】因?yàn)?+3+5+…+(2n－1)=n2所以前n組共含有奇數(shù)n2個(gè)，第n組最終一個(gè)數(shù)即第n2個(gè)奇數(shù)為2n2－1,第n組第一個(gè)數(shù)即第n－1組最終一個(gè)數(shù)后面的奇數(shù)為[2(n－1)2－1]+2=2(n－1)2+1.由題意，有不等式2(n－1)2+1≤1991≤2n2－1.解得(n－1)2≤995且n2≥996，從而n≤32且n≥32，故n=32，即1991位于第32組中.【評(píng)述】應(yīng)用待定的方法，假定位于第n組中然后確定n即可.例7設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，Sn是前n項(xiàng)和，證明（1995年全國高考題）【思路分析】要證原結(jié)論成立，只需證SnSn+2<成立，用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式表示或建立Sn、Sn+1、Sn+2的關(guān)系，用比較法證之.【證法1】設(shè){an}的公比為q,由題設(shè)知a1>0,q>0.（1）當(dāng)q=1時(shí)，Sn=na1，從而SnSn+2－=na1(n+2)a1－(n+1)2=－<0.（2）當(dāng)q≠1時(shí)，由①、②知依據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，得【證法2】設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)知a1>0,q>0.因?yàn)镾n+1+=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1,所以SnSn+2－=Sn(a1+qSn+1)－(a1+qSn)Sn+1=a1(Sn－Sn+1)=－a1(Sn+1－Sn)=－a1an+1<0.即（以下同證法1）.【評(píng)述】明確須要證，建立Sn、Sn+1、Sn+2之間的關(guān)系較為簡(jiǎn)潔.針對(duì)性訓(xùn)練題1．設(shè)等差數(shù)列{an}滿意3a8=5a13,且a1>0,Sn為其前n項(xiàng)之和，求Sn(n∈N*)中最大的是什么？（1995年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽題）2．一個(gè)等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1=2－5，它的前11項(xiàng)的幾何平均數(shù)為25，若在前11項(xiàng)中抽出一項(xiàng)后的幾何平均數(shù)為24，求抽去的是第幾項(xiàng)？3．已知a1,a2,a3,…,an是n個(gè)正數(shù)，滿意a1·a2·…·an=1，求證（2+a1）(2+a2)…(2+an)≥3n.4．已知數(shù)列{an}滿意：a1=，a1+a2+…+an=n2an(n≥1).試求數(shù)列{an}的通項(xiàng).5．已知95年數(shù)a1,a2,…,a95，每個(gè)都只能取+1或－1兩個(gè)值之一，則，它們兩兩之積的和a1a2+a1a3+…+a94（1994年全國中學(xué)數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題）6．設(shè){an}為等差數(shù)列，又設(shè)方程aix2+2ai+1x+ai+2=0(i=1，2，…)中每個(gè)ai與公差都是非零的實(shí)數(shù).（1）求這些方程的公共根；（2）證明，若上述方程的另一根為αi，則成等差數(shù)列.§3.2遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法確定數(shù)列的通項(xiàng)公式，對(duì)于探討數(shù)列的性質(zhì)起著至關(guān)重要的作用。求遞歸數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決數(shù)學(xué)競(jìng)賽中有關(guān)數(shù)列問題的關(guān)鍵，本文著重對(duì)遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式加以探討?；A(chǔ)學(xué)問定義：對(duì)于隨意的，由遞推關(guān)系確定的關(guān)系稱為階遞歸關(guān)系或稱為階遞歸方程，由階遞歸關(guān)系與給定的前項(xiàng)的值(稱為初始值)所確定的數(shù)列稱為階遞歸數(shù)列。若是線性的，則稱為線性遞歸數(shù)列，否則稱為非線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的數(shù)列問題常常是非線性遞歸數(shù)列問題。求遞歸數(shù)列的常用方法：一．公式法(1)設(shè)是等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，則其通項(xiàng)為；(2)設(shè)是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，則其通項(xiàng)為；(3)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，則。二．迭代法迭代恒等式：；迭乘恒等式：，()迭代法能夠解決以下類型一和類型二所給出的遞推數(shù)列的通項(xiàng)問題：類型一：已知，求通項(xiàng)；類型二：已知，求通項(xiàng)；三．待定系數(shù)法類型三：已知，求通項(xiàng)；四．特征根法類型四：設(shè)二階常系數(shù)線性齊次遞推式為（），其特征方程為，其根為特征根。（1）若特征方程有兩個(gè)不相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定；（2）若特征方程有兩個(gè)相等的實(shí)根，則其通項(xiàng)公式為（），其中A、B由初始值確定。證明：設(shè)特征根為，則所以====即是以為公比，首項(xiàng)為的等比數(shù)列。所以，所以(1)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中，；(2)當(dāng)時(shí)，則其通項(xiàng)公式為，其中五．代換法代換法主要包括三角代換、分式代換與代換相消等，其中代換相消法可以解決以下類型五：已知，，求通項(xiàng)。六．不動(dòng)點(diǎn)法若，則稱為的不動(dòng)點(diǎn)，利用不動(dòng)點(diǎn)法可將非線性遞歸式化歸為等差數(shù)列、等比數(shù)列或易于求解的遞關(guān)系的遞推關(guān)系，從而達(dá)到求解的目的。類型六：(1)已知，且，求通項(xiàng)；(2)已知，求通項(xiàng)；七．?dāng)?shù)學(xué)歸納法八．構(gòu)造法典例分析例1．?dāng)?shù)列{an}中，a1=1,an+1>an,且成立，求。例2．已知正數(shù)數(shù)列滿意：，其中，求。例3．已知數(shù)列{an}滿意：，求。例4．已知，證明：該數(shù)列中的一切數(shù)都是整數(shù)。例5．已知，求。例6．?dāng)?shù)列滿意，且，求的通項(xiàng)公式。例7．已知，求。例8．?dāng)?shù)列滿意，求。例9．已知，求的通項(xiàng)公式。例10．已知數(shù)列滿意：，且，求的通項(xiàng)公式。例11．若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，求的通項(xiàng)公式。拓展：若數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿意，求的通項(xiàng)公式。(參考答案：，其中)例12．設(shè)數(shù)列滿意：，且，，證明：(……)是完全平方數(shù)。練習(xí)題：1．已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)2．已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)3．已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)4．已知數(shù)列滿意，求數(shù)列的通項(xiàng)練習(xí)答案：1．解：其特征方程為，解得，令，由，得，2．解：其特征方程為，解得，令，由，得，3．解：其特征方程為，化簡(jiǎn)得，解得，令由得，可得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，，4．解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公差的等差數(shù)列，，§3.3遞推法解題基礎(chǔ)學(xué)問對(duì)于某些與自然數(shù)有關(guān)的問題，我們有時(shí)可以用遞推法解決，扎謂用遞推法解題，就是依據(jù)題目的特點(diǎn)，構(gòu)造出遞推關(guān)系解題的一種方法，解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造遞推關(guān)系。遞推關(guān)系一般可以用歸納、猜想等途徑獲得。利用遞推法解題的一般步驟為：(1)確定初始值；(2)建立遞推關(guān)系；(3)利用遞推關(guān)系求通項(xiàng)。遞推方法是人們從起先相識(shí)數(shù)量關(guān)系時(shí)就很自然地產(chǎn)生的一種推理思想.例如自然數(shù)中最小的數(shù)是1，比1大1的數(shù)是2，接下來比2大1的數(shù)是3，…由此得到了自然數(shù)數(shù)列：1，2，3，4，5，….在這里事實(shí)上就有了一個(gè)遞推公式，假設(shè)第n個(gè)數(shù)為an，則an+1=an+1;即由自然數(shù)中第n個(gè)數(shù)加上1，就是第n+1個(gè)數(shù)。由此可得an＋2=an＋1＋1，這樣就可以得到自然數(shù)數(shù)列中任何一個(gè)數(shù).再看一個(gè)例子：平面上5條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？平面上100條直線最多能把圓的內(nèi)部分成幾部分？解：假設(shè)用ak表示k條直線最多能把圓的內(nèi)部分成的部分?jǐn)?shù).這里k＝0，1，2，….a0＝1a1=a0+1＝2a2=a1＋2=4a3=a2＋3=7a4=a3+4＝11…歸納出遞推公式an＋1＝an+n.（1）即畫第n＋1條直線時(shí)，最多增加n部分.緣由是這樣的：第一條直線最多把圓分成兩部分，故a1＝2.當(dāng)畫其次條直線時(shí)要想把圓內(nèi)部分割的部分盡可能多，就應(yīng)和第一條直線在圓內(nèi)相交，交點(diǎn)把其次條直線在圓內(nèi)部分分成兩條線段，而每條線段又把原來的一個(gè)區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域，因而增加的區(qū)域數(shù)是2，正好等于其次條直線的序號(hào).同理，當(dāng)畫第三條直線時(shí)，要想把圓內(nèi)部分割的部分?jǐn)?shù)盡可能多，它就應(yīng)和前兩條直線在圓內(nèi)各有一個(gè)交點(diǎn).兩個(gè)交點(diǎn)把第三條線在圓內(nèi)部分成三條線段.而每條線段又把原來一個(gè)區(qū)域劃分成兩個(gè)區(qū)域.因而增加的區(qū)域部分?jǐn)?shù)是3，正好等于第三條直線的序號(hào)，….這個(gè)道理適用于隨意多條直線的情形.所以遞推公式（1）是正確的.這樣就易求得5條直線最多把圓內(nèi)分成：a5=a4+5＝11=5＝16（部分）。要想求出100條直線最多能把圓內(nèi)分成多少區(qū)域，就去求通項(xiàng)公式。一般來說，假如一個(gè)與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)列中的任一項(xiàng)an可以由它前面的k（≤n-1）項(xiàng)經(jīng)過運(yùn)算或其他方法表示出來，我們就稱相鄰項(xiàng)之間有遞歸關(guān)系，并稱這個(gè)數(shù)列為遞歸數(shù)列.假如這種推算方法能用公式表示出來，就稱這種公式為遞推公式或遞推關(guān)系式.通過尋求遞歸關(guān)系來解決問題的方法就稱為遞推方法.很多與自然數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題都常常具有遞推關(guān)系，可以用遞推公式來表達(dá)它的數(shù)量關(guān)系.如何尋求這個(gè)遞推公式是解決這類問題的關(guān)鍵之一，常用的方法是“退”到問題最簡(jiǎn)潔狀況起先視察.逐步歸納并猜想一般的速推公式.在小學(xué)生階段，我們僅要求學(xué)生能撥開問題的一些表面現(xiàn)象由簡(jiǎn)到繁地歸納出問題的遞推公式就行了，不要求嚴(yán)格證明.當(dāng)然能證明更好.所謂證明，就是要嚴(yán)格推出你建立的關(guān)系式適合全部的n，有時(shí)，僅僅在前面幾項(xiàng)成立的關(guān)系式，不肯定當(dāng)n較大時(shí)也成立。1、“河內(nèi)塔問題”傳聞在印度的佛教圣地貝拿勒斯圣廟里安放著個(gè)一個(gè)黃銅板，板上插著三根寶石針，在第一根寶石針上，從下到上穿著由大到小的64片中心有孔的金片.每天都有一個(gè)值班僧侶按下面規(guī)則移動(dòng)金片：把金片從第一根寶石針移到其余的某根寶石針上.要求一次只能移動(dòng)一片，而且小片恒久要放在大片的上面.當(dāng)時(shí)傳聞當(dāng)64片金片都按上面的規(guī)則從第一根寶石針移到另一根寶石針上時(shí)，世界將在一聲霹靂中毀滅.所以有人戲稱這個(gè)問題叫“世界末日”問題（也稱為“Hanoi