2022-2023學(xué)年四川省瀘縣高二年級(jí)下冊(cè)學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題【含答案】

2022-2023學(xué)年四川省瀘縣高二下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．現(xiàn)須完成下列2項(xiàng)抽樣調(diào)查：①從12瓶飲料中抽取4瓶進(jìn)行食品衛(wèi)生檢查；②某生活小區(qū)共有540名居民，其中年齡不超過30歲的有180人，年齡在超過30歲不超過60歲的有270人，60歲以上的有90人，為了解居民對(duì)社區(qū)環(huán)境綠化方面的意見，擬抽取一個(gè)容量為30的樣本.較為合理的抽樣方法分別為（

）A．①抽簽法，②分層隨機(jī)抽樣 B．①隨機(jī)數(shù)法，②分層隨機(jī)抽樣C．①隨機(jī)數(shù)法，②抽簽法 D．①抽簽法，②隨機(jī)數(shù)法【答案】A【分析】根據(jù)抽簽法以及分層抽樣的使用條件，可得答案.【詳解】對(duì)于①，由于抽取的總體個(gè)數(shù)與樣本個(gè)數(shù)都不大，則應(yīng)用抽簽法；對(duì)于②，抽取的總體個(gè)數(shù)較多，且總體有明確的分層，抽取的樣本個(gè)數(shù)較大，則采用分層隨機(jī)抽樣.故選：A.2．若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【解析】由題意結(jié)合導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算可得，再由導(dǎo)數(shù)的概念即可得解.【詳解】由題意，所以，所以.故選：D.3．甲，乙兩人在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)用莖葉圖表示如圖，中間一列的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的十位數(shù)，兩邊的數(shù)字表示零件個(gè)數(shù)的個(gè)位數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的極差相同B．在這5天中，甲，乙兩人加工零件數(shù)的中位數(shù)相同C．在這5天中，甲日均加工零件數(shù)大于乙日均加工零件數(shù)D．在這5天中，甲加工零件數(shù)的方差小于乙加工零件數(shù)的方差【答案】C【分析】由莖葉圖的數(shù)據(jù)，分別計(jì)算甲、乙加工零角個(gè)數(shù)的極差，中位數(shù)，平均數(shù)，方差，進(jìn)而得解.【詳解】甲在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：18,19,23,27,28；乙在5天中每天加工零件的個(gè)數(shù)為：17,19,21,23,25對(duì)于A，甲加工零件數(shù)的極差為，乙加工零件數(shù)的極差為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，甲加工零件數(shù)的中位數(shù)為，乙加工零件數(shù)的中位數(shù)為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，甲加工零件數(shù)的平均數(shù)為，乙加工零件數(shù)的平均數(shù)為，故C正確；對(duì)于D，甲加工零件數(shù)的方差為，乙加工零件數(shù)的方差為，故D錯(cuò)誤；故選：C4．若函數(shù)的圖象在處的切線與直線垂直，則的值為（

）A．1 B．2或 C．2 D．1或【答案】D【分析】由兩線垂直可知處切線的斜率為3，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義有，即可求的值.【詳解】由題意知：直線的斜率為，則在處切線的斜率為3，又∵，即，∴或，故選：D．5．函數(shù)的圖象大致為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】判斷函數(shù)的奇偶性，再判斷函數(shù)值的正負(fù)，從而排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，得正確選項(xiàng).【詳解】因?yàn)樗缘茫詾槠婧瘮?shù)，排除C；在，設(shè)，，單調(diào)遞增，因此，故在上恒成立，排除A、D，故選：B.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：函數(shù)圖象的辨識(shí)可從以下方面入手：（1）從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置.（2）從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢(shì)；（3）從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對(duì)稱性；（4）從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象.6．正方形的邊長(zhǎng)為2，以為起點(diǎn)作射線交邊于點(diǎn)，則的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】求出以為起點(diǎn)作射線交邊于點(diǎn)時(shí)所有射線形成的角的大小，再考慮對(duì)應(yīng)的射線所形成的角的大小，從而可求概率.【詳解】如圖，在邊上取一點(diǎn)，使得，則.以為起點(diǎn)作射線交邊于點(diǎn)時(shí)所有射線形成的角為，以為起點(diǎn)作射線交邊于點(diǎn)且時(shí)所有的射線形成的角為，故時(shí)對(duì)應(yīng)的概率為.故選：B.7．已知為實(shí)數(shù)，則“”是“方程表示的曲線為橢圓”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【解析】取曲線不是橢圓，充分性不成立；反之成立.【詳解】當(dāng)時(shí)，取曲線是圓而不是橢圓，故充分性不成立；當(dāng)方程表示的曲線為橢圓時(shí)，成立，所以“”是“方程表示的曲線為橢圓”的必要不充分條件.故選：B【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)晴：曲線表示橢圓的充要條件是：，且.8．某市2016年至2020年新能源汽車年銷量y（單位：百臺(tái)）與年份代號(hào)x的數(shù)據(jù)如下表，若根據(jù)表中的數(shù)據(jù)用最小二乘法求得y關(guān)于x的回歸直線方程為，則表中的值為（

）年份20162017201820192020年份代號(hào)x01234年銷量y10153035A．22 B．20 C．30 D．32.5【答案】B【分析】先求出、，再利用回歸直線過進(jìn)行求解.【詳解】由題意，得，，因?yàn)閥關(guān)于x的回歸直線方程為，所以，解得.故選：B.9．圓關(guān)于直線對(duì)稱，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程得出圓的圓心，由圓的對(duì)稱性可得直線過圓心，得到關(guān)于、的關(guān)系式，運(yùn)用基本不等式可求得的最小值.【詳解】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心坐標(biāo)為，而直線經(jīng)過圓心，所以，得，因?yàn)?，，由基本不等式得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最小值為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查圓的對(duì)稱性，基本不等式的應(yīng)用，關(guān)鍵在于巧妙地運(yùn)用“”，構(gòu)造基本不等式，屬于中檔題.10．正方體，棱長(zhǎng)為2，M是CD的中點(diǎn)，則三棱錐的體積為（

）A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】取中點(diǎn)，連接,通過計(jì)算證明平面，再根據(jù)求解即可.【詳解】解：如圖所示：取中點(diǎn)，連接,由題意可得,,,所以,,所以可得,,所以,所以,,又因?yàn)?所以,平面,所以=.故選:B.11．已知圓，過直線上一點(diǎn)向圓作切線，切點(diǎn)為，則的面積最小值為（

）A．3 B． C． D．【答案】B【分析】結(jié)合圖形，利用勾股定理可知取得最小值時(shí)也最小，從而求得，進(jìn)而可得的面積最小值.【詳解】由圓，得圓心，半徑，所以圓心到直線的距離為，因?yàn)樗援?dāng)直線與垂直時(shí)，取得最小值，此時(shí)也最小，故，所以，即的面積最小值為.故選：B.12．若實(shí)數(shù)，滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)不等式變形得到，換元后得到，構(gòu)造，求導(dǎo)研究其單調(diào)性，極值最值情況，得到，從而只有時(shí)，即時(shí)，滿足要求，從而解出，依次判斷四個(gè)選項(xiàng).【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，令，則，即，所以，令，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以在處取得極大值，也是最大值，，要想使得成立，只有時(shí)，即時(shí)，滿足要求，所以，由定義域可知：，解得：，，A選項(xiàng)正確；，BC錯(cuò)誤.，D錯(cuò)誤；故選：A.【點(diǎn)睛】對(duì)不等式或方程變形后，利用同構(gòu)來構(gòu)造函數(shù)解決問題，常見的同構(gòu)型：（1）；（2）；（3）；（4），本題難點(diǎn)在于變形為，換元后得到，從而構(gòu)造解決問題.二、填空題13．某社區(qū)利用分層抽樣的方法從140戶高收入家庭、280戶中等收入家庭、80戶低收入家庭中選出100戶調(diào)查社會(huì)購買力的某項(xiàng)指標(biāo)，則中等收入家庭應(yīng)選________戶．【答案】56【分析】由分層抽樣的計(jì)算方法有，中等收入家庭的戶數(shù)占總戶數(shù)的比例再乘以要抽取的戶數(shù)，即可得到答案.【詳解】該社區(qū)共有戶.利用分層抽樣的方法,中等收入家庭應(yīng)選戶故答案為：56【點(diǎn)睛】本題考查分層抽樣，注意抽取比例是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.14．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值為___________．【答案】0【分析】作出不等式組表示的平面區(qū)域，再利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義計(jì)算作答.【詳解】作出不等式組表示的平面區(qū)域，如圖中陰影（含邊界），其中，目標(biāo)函數(shù)，即表示斜率為2，縱截距為z的平行直線系，畫出直線，顯然直線經(jīng)過點(diǎn)A，其縱截距是經(jīng)過陰影且斜率為2，縱截距為z的平行直線系中最大的，所以的最大值為0.故答案為：015．若對(duì)任意的，均有成立，則稱函數(shù)為和在上的“中間函數(shù)”．已知函數(shù)，且是和在區(qū)間上的“中間函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是__________．【答案】【分析】根據(jù)“中間函數(shù)”的定義列出不等式，將問題轉(zhuǎn)化成不等式恒成立問題，利用參變分離以及構(gòu)造函數(shù)的方法來解決函數(shù)最值，從而求出的取值范圍.【詳解】依題意得：已知條件等價(jià)為：在區(qū)間上恒成立對(duì)于在區(qū)間上恒成立，變形為：令，易知單調(diào)遞增，對(duì)于在區(qū)間上恒成立，變形為：令則為增函數(shù)，在單調(diào)遞增，綜上所述：即故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了用參變分離的方法解決恒成立的問題，考查了用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性、極值、最值以及恒成立的等價(jià)形式，對(duì)學(xué)生分析問題和解決問題的能力有一定的要求，屬于難題.16．已知橢圓的左，右焦點(diǎn)分別為，，過作垂直軸的直線交橢圓于兩點(diǎn)，點(diǎn)在軸上方.若，的內(nèi)切圓的面積為，則直線的方程是_____________________.【答案】【分析】利用，的內(nèi)切圓的面積為求出a、b、c，得到的坐標(biāo)，即可求出直線的方程.【詳解】橢圓中,令,得，所以.又△ABF2的內(nèi)切圓面積為,即所以內(nèi)切圓半徑.由橢圓的定義可得△ABF2的周長(zhǎng)為4a,而△ABF2的面積為，即.又，解得：則，所以直線AF2的方程是，即為3x+4y-3=0.故答案為：3x+4y-3=0三、解答題17．已知的極坐標(biāo)方程為，以極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x軸正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，(1)求的直角坐標(biāo)方程，(2)過作直線l交圓于P，Q兩點(diǎn)，且，求直線l的斜率．【答案】(1)(2)或【分析】（1）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式即可求解；（2）設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），代入圓方程中化簡(jiǎn)，利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知和參數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】（1）解：因?yàn)榈臉O坐標(biāo)方程為：，且，所以，，故的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：設(shè)直線的傾斜角為，則直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），與聯(lián)立，得．點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的參數(shù)為，則，因?yàn)?，所以，?lián)立可得，解得：，所以直線的斜率為或.18．已知是函數(shù)的極值點(diǎn)，則：(1)求實(shí)數(shù)的值．(2)求函數(shù)在區(qū)間上的最值．【答案】(1)；(2)在上的最小值為，最大值為.【分析】（1）由求得的值；（2）結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性來求得函數(shù)在區(qū)間上的最值.【詳解】（1），由題意知，或，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以為函數(shù)的極值點(diǎn)，滿足要求；時(shí)，，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是函數(shù)的極值點(diǎn)，不符合題意.則.（2）由（1）知，且在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，，則，.19．如圖，已知多面體ABCDEF中，平面ABCD，平面ABCD，且B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，.(1)求證：平面ACF；(2)求平面AEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連BD交AC于點(diǎn)O，連接OF，證明四邊形EFOD為矩形，再利用線面垂直的判定推理作答.（2）以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解二面角作答.【詳解】（1）如圖，連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OF，因B，D，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面，平面ABCD，平面平面，則，而底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，，則，因此四邊形EFOD為平行四邊形，又平面ABCD，且平面ABCD，即，則為矩形，即，又，，則，而，平面ACF，所以平面ACF.（2）由（1）知，，而平面ABCD，則平面ABCD，即有OA，OB，OF兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，以向量，，的方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)為平面AEF的法向量，則，令，得，設(shè)為平面BCF的法向量，則，令，得，于是得，所以平面AEF與平面BCF所成銳二面角的余弦值為.20．某蛋糕店計(jì)劃按天生產(chǎn)一種面包，每天生產(chǎn)量相同，生產(chǎn)成本每個(gè)6元，售價(jià)每個(gè)8元，未售出的面包降價(jià)處理，以每個(gè)5元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.（1）若該蛋糕店一天生產(chǎn)30個(gè)這種面包，求當(dāng)天的利潤(rùn)y（單位：元）關(guān)于當(dāng)天需求量n（單位：個(gè)，）的函數(shù)解析式；（2）蛋糕店記錄了30天這種面包的日需求量（單位：個(gè)），整理得表：日需求量n282930313233頻數(shù)346674假設(shè)蛋糕店在這30天內(nèi)每天生產(chǎn)30個(gè)這種面包，求這30天的日利潤(rùn)（單位：元）的平均數(shù)及方差；（3）蛋糕店規(guī)定：若連續(xù)10天的日需求量都不超過10個(gè)，則立即停止這種面包的生產(chǎn)，現(xiàn)給出連續(xù)10天日需求量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)為“平均數(shù)為6，方差為2”，試根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)決策是否一定要停止這種面包的生產(chǎn)？并給出理由.【答案】（1），；（2）平均數(shù)為（元），方差為；（3）一定要停止，理由見解析【分析】（1）當(dāng)天需求量時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)，當(dāng)天需求量時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)，由此能求出當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式.（2）由題意，利用平均數(shù)和方差的公式，即可求出這30天的日利潤(rùn)的平均數(shù)和方差.（3）根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，一定要停止這種面包的生產(chǎn).推導(dǎo)出連續(xù)10天的日需求量都不超過10個(gè)，由此說明一定要停止這種面包的生產(chǎn).【詳解】（1）由題意可知，當(dāng)天需求量時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn)，當(dāng)天需求量時(shí)，當(dāng)天的利潤(rùn).故當(dāng)天的利潤(rùn)y關(guān)于當(dāng)天需求量n的函數(shù)解析式為:，.（2）由題意可得：日需求量n282930313233日利潤(rùn)545760606060頻數(shù)346674所以這30天的日利潤(rùn)的平均數(shù)為（元），方差為.（3）根據(jù)該統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，一定要停止這種面包的生產(chǎn).理由如下：由，可得，所以（，，），所以，由此可以說明連續(xù)10天的日需求量都不超過10個(gè)，即說明一定要停止這種面包的生產(chǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)解析式、平均數(shù)、方差的求法，考查函數(shù)性質(zhì)、平均數(shù)、方差公式等基礎(chǔ)知識(shí)綜合應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力.21．已知，分別是雙曲線C：(，)的左、右焦點(diǎn)，，P是C上一點(diǎn)，，且.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，過點(diǎn)A作直線的垂線，垂足為D，過點(diǎn)O作(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，垂足為M.則在x軸上是否存在定點(diǎn)N，使得為定值？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)存在，.【分析】(1)根據(jù)雙曲線的定義取出a、b、c即可；(2)設(shè)BD交x軸于E點(diǎn)，∵OM⊥BD，∴若在x軸上存在定點(diǎn)N，使得為定值，則E為定點(diǎn)，N為OE中點(diǎn)，，即直線BD過x軸上的定點(diǎn)E.【詳解】（1）由題意得，∵，，∴，又，∴，解得，∴，，∴雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由(1