計算機(jī)圖形學(xué) 第五章

計算機(jī)圖形學(xué)第五章第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第五章圖形的幾何變換5.1齊次坐標(biāo)表示5.2二維幾何變換5.3

通用二維復(fù)合變換5.4二維坐標(biāo)系變換5.5三維空間的幾何變換第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四圖形的幾何變換是計算機(jī)圖形學(xué)中利用簡單基本圖元生成復(fù)雜場景的主要方法之一;同時在觀察過程中通過對圖形進(jìn)行一系列連續(xù)的幾何變換可方便達(dá)到用戶的要求。圖形的幾何變換一般是指將表示圖形的幾何信息經(jīng)過幾何變換后產(chǎn)生新的圖形的過程。第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.1齊次坐標(biāo)表示在計算機(jī)圖形學(xué)中使用齊次坐標(biāo)技術(shù)，圖形幾何變換中的復(fù)雜計算可通過將圖形的點集矩陣與某些變換矩陣相乘的方式來實現(xiàn)，從而可以利用計算機(jī)的高速運算功能。第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.1齊次坐標(biāo)表示齊次坐標(biāo)表示法就是用n+1維矢量表示一個n維矢量。即n維空間中的點的位置矢量(P1,P2,…,Pn)被表示為具有n+1個坐標(biāo)分量的位置矢量(hP1,hP2,…,hPn,h)，且不唯一。規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示?第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.1齊次坐標(biāo)表示采用齊次坐標(biāo)表示法的優(yōu)點：(1)用變換矩陣實現(xiàn)對圖形的幾何變換；(2)它提供了用矩陣運算把二維、三維甚至高維空間中的一個點集從一個坐標(biāo)系變換到另一個坐標(biāo)系的有效方法；(3)它可以表示無窮遠(yuǎn)的點。第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換

平移、旋轉(zhuǎn)和縮放是所有圖形軟件均支持的基本幾何變換形式，在有些軟件包中還支持反射和錯切變換。第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換平移（translation）變換:通過將平移位移量加到一個點的坐標(biāo)上來生成一個新的坐標(biāo)位置的過程來實現(xiàn)。5.2.1二維平移變換第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換旋轉(zhuǎn)（rotation）變換:通過指定一個旋轉(zhuǎn)軸和一個旋轉(zhuǎn)角度，將圖形對象按指定角度圍繞旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)的剛體變換。二維對象的旋轉(zhuǎn):在xoy平面內(nèi)進(jìn)行，旋轉(zhuǎn)軸垂直于xoy平面并穿過平面上的某一坐標(biāo)點，該坐標(biāo)點稱為旋轉(zhuǎn)基準(zhǔn)點。5.2.2二維旋轉(zhuǎn)變換第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換5.2.2二維旋轉(zhuǎn)變換第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換縮放（scaling）變換:是一種改變圖形對象大小的非剛體變換。5.2.3二維縮放變換第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換當(dāng)Sx、Sy取不同值時，圖形可產(chǎn)生多種變化，典型的4種情況如下：⑴當(dāng)Sx=Sy=1時，為恒等比例變換，即圖形不變。⑵當(dāng)Sx=Sy>1時，圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向等比例放大。⑶當(dāng)Sx=Sy<1時，圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向等比例縮小。⑷當(dāng)Sx≠Sy時，圖形沿兩個坐標(biāo)軸方向作非均勻的比例變換。5.2.3二維縮放變換第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換經(jīng)過縮放變換既可以改變物體的大小，同時也改變了圖形對象的位置。為了控制縮放后對象的位置，可使圖形對象以某一固定點為參考進(jìn)行縮放變換。5.2.3二維縮放變換第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換分類:(1)圖形是由頂點集合組成，且相鄰頂點間有線段相連，如多邊形、曲線等。對每一頂點施加幾何變換(2)以某些參考點為中心并使用某種算法來生成的圖形，如圓錐曲線。選擇中心點變換,對其他控制量進(jìn)行變換（3）可用參數(shù)表示的曲線或曲面圖形。直接進(jìn)行幾何變換復(fù)雜圖形的幾何變換第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換反射（reflection）變換:是圍繞某一反射軸產(chǎn)生鏡像圖形的變換。5.2.4反射變換寫出它們的變換矩陣？第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.2二維幾何變換錯切（Shear）變換:是一種使對象形狀相對某個坐標(biāo)軸發(fā)生比例變化的變換。其效果相當(dāng)于對象內(nèi)部夾層沿某一坐標(biāo)方向發(fā)生滑動。5.2.5錯切變換寫出它們的變換矩陣？第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換復(fù)合變換:是指圖形在幾何上發(fā)生一次以上變換，其變換結(jié)果是每次的變換矩陣相乘。第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換5.3.1復(fù)合二維平移第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換5.3.2復(fù)合二維旋轉(zhuǎn)第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換5.3.3復(fù)合二維縮放第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換旋轉(zhuǎn)、縮放變換過程均與參考點有關(guān)，前述基本幾何變換都是相對于坐標(biāo)原點的變換。5.3.4相對任一參考點的二維幾何變換第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.3

通用二維復(fù)合變換而相對于某個參考點（xf,yf）的二維幾何變換，其基本過程相同：（1）將參考點進(jìn)行平移變換，使其與坐標(biāo)原點重合。變換式為T(-xf,-yf)。（2）針對原點進(jìn)行二維幾何變換。變換式為R(θ)或S（Sx，Sy）。（3）進(jìn)行逆平移變換，將參考點移回原始位置。變換式為T(xf,yf)。5.3.4相對任一參考點的二維幾何變換第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.4二維坐標(biāo)系變換在計算機(jī)圖形應(yīng)用中經(jīng)常需要在不同的坐標(biāo)系間進(jìn)行變換。第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.4二維坐標(biāo)系變換5.4.1指定角度和原點位置的2個笛卡爾坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.4二維坐標(biāo)系變換5.4.2

指定向量和原點位置的2個笛卡爾坐標(biāo)系間的轉(zhuǎn)換第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換三維空間的幾何變換是在二維空間幾何變換的基礎(chǔ)上拓展了z軸所代表的第三維空間變換，其特點如下：（1）在平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等變換中增加了第三維分量；（2）旋轉(zhuǎn)變換的參考對象由二維變換中以繞某個點坐標(biāo)變化為繞某個旋轉(zhuǎn)軸進(jìn)行；（3）齊次坐標(biāo)表示變?yōu)?元列向量，變換矩陣也變?yōu)?×4矩陣。第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換三維平移變換是一種使得圖形對象沿x、y、z方向移動一個位置的剛體幾何變換。5.5.1三維平移變換第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換三維旋轉(zhuǎn)的參考對象為一條直線（稱為旋轉(zhuǎn)軸），該旋轉(zhuǎn)軸最簡單的情況是使用三個坐標(biāo)軸，而較復(fù)雜的情況是繞任意軸的旋轉(zhuǎn)。繞每個旋轉(zhuǎn)軸的三維旋轉(zhuǎn)可看成在另外2個坐標(biāo)軸組成的平面內(nèi)的二維旋轉(zhuǎn)變換，而旋轉(zhuǎn)軸坐標(biāo)值不變。三維旋轉(zhuǎn)變換也是只改變對象的位置和方向而不改變對象的大小的剛體變換。5.5.2

簡單三維旋轉(zhuǎn)變換第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換繞z軸的旋轉(zhuǎn):5.5.2

簡單三維旋轉(zhuǎn)變換第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換在三維縮放變換中也可區(qū)分為以坐標(biāo)原點做為參考點的簡單變換和以任意點為參考點的復(fù)雜變換。三維縮放也是一種非剛體變換，縮放變換會引起圖形對象大小和位置的改變。5.5.3

簡單三維縮放變換第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換三維反射變換可以相對于給定的反射軸，或相對于給定的反射平面來進(jìn)行變換。5.5.4

三維反射變換第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5

三維空間的幾何變換三維錯切變換可用來修改對象形狀，也可用于透視投影的三維觀察中。5.5.5

三維錯切變換第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四5.5