第九講彈性力學基礎(chǔ)演示文稿

第九講彈性力學基礎(chǔ)演示文稿目前一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點優(yōu)選第九講彈性力學基礎(chǔ)目前二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點兩組荷載共同作用時產(chǎn)生的應力場、應變場和位移場，等于各自單獨作用時引起的相應場之和。疊加原理是由基本方程與邊界條件的線性性質(zhì)所決定，適用于線彈性和小變形情況。對大變形，彈性穩(wěn)定問題和彈塑性力學問題不適用。疊加原理目前八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點疊加原理的例子1：非均勻應力邊界條件的求解目前十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點地震斷層同震位錯反演Shenetal.,NATUREGEOSCIENCE,2009疊加原理的例子2：利用地表GPS變形資料反演地震斷層位錯目前十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點疊加原理的例子3：利用地表GPS同震變形資料反演地震斷層地震力目前十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點幾何形狀特征：物體沿一個坐標軸（例如z軸）方向的長度很長，且所有垂直于z軸的橫截面都相同，即為一等直柱體；位移約束條件或支承條件沿z方向也相同。載荷特征：柱體側(cè)表面承受的表面力以及體積力均垂直于z軸，且分布規(guī)律不隨z變化。目前二十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點物理意義：

－－表示物體繞原點的剛體轉(zhuǎn)動。－－表示x，y向的剛體平移，目前二十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前二十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前三十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前四十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前四十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點平面域A內(nèi)的基本方程:(2)幾何方程(3)物理方程平面應力問題的求解(1)平衡微分方程目前四十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點應力邊界條件

位移邊界條件

（在上）（在上）邊界條件：

8個未知函數(shù)必須，滿足上述方程和邊界條件。三大方程和邊界條件：平面應力問題的定解問題。目前四十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點平面應力問題的位移解法按位移求解⑵將其他未知函數(shù)用u,v表示：

應變用u,v表示─幾何方程;

應力先用形變來表示（物理方程），再代入幾何方程，用u,v表示:⑴取u,v為基本未知函數(shù)；目前四十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前四十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點⑶在A中導出求u,v的基本方程─將式(a)

代入平衡微分方程，上式是用u,v表示的平衡微分方程。目前四十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點位移邊界條件

（在上）(d)（在上）(c)應力邊界條件─將式(a)代入應力邊界條件，⑷在S上的邊界條件目前四十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點歸納：(c)(d)

按位移求解時，u,v必須滿足A內(nèi)的方程(b)和邊界條件(c)、(d)。式(b)，(c)，(d)－－是求解u,v的條件;也是校核u,v是否正確的全部條件。目前四十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點

按位移求解（位移法）的優(yōu)缺點：適用性廣─可適用于任何邊界條件。求函數(shù)式解答困難，但在近似解法（變分法，差分法，有限單元法）中有著廣泛的應用。目前四十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點例1

考慮兩端固定的一維桿件。圖(a)，只受重力作用，。試用位移法求解。目前五十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點解：為了簡化，設(shè)位移按位移求解，位移應滿足式(b),(c),(d)。代入式(b),第一式自然滿足，第二式成為目前五十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點均屬于位移邊界條件，代入v，得得解出目前五十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點在處，代入v，并求出形變和應力，目前五十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點（1）取為基本未知函數(shù)；平面應力問題的應力解法（2）其他未知函數(shù)用應力來表示:應變用應力表示（物理方程）。位移用應變─應力表示，須通過積分，不僅表達式較復雜，而且包含積分帶來的未知項，因此位移邊界條件用應力分量來表示時既復雜又難以求解。故在按應力求解時，只考慮全部為應力邊界條件的問題,即。目前五十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點⑶在A內(nèi)求解應力的方程(b)從幾何方程中消去位移u,v，得相容方程（形變協(xié)調(diào)條件）：

補充方程─從幾何方程，物理方程中消去位移和形變得出:平衡微分方程（2個）。(a)平面應力問題的應力解法目前五十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點代入物理方程，消去形變，并應用平衡微分方程進行簡化，便得用應力表示的相容方程：其中

(4)應力邊界條件－－假定全部邊界上均為應力邊界條件。平面應力問題的應力解法目前五十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點（1）A內(nèi)的平衡微分方程；（2）A內(nèi)的相容方程；（3）邊界Sσ上的應力邊界條件.（1）-（3）也是校核應力分量是否正確的全部條件。按應力求解平面應力問題，應力必須滿足下列條件：歸納：目前五十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點⑴相容方程(a)1.常體力情況下按應力求解的條件(b)⑵平衡微分方程常體力情況下的簡化應力函數(shù)⑶應力邊界條件(c)目前五十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點在⑴-⑶條件下求解的全部條件(a)，(b)，(c)中均不包含彈性常數(shù)，故與彈性常數(shù)無關(guān)。2.在⑴常體力,⑵單連體,⑶全部為應力邊界條件（）下的應力特征：目前五十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點結(jié)論：①不同材料的應力()的理論解相同，用試驗方法求應力時，也可以用不同的材料來代替。②兩類平面問題的應力解相同，試驗時可用平面應力的模型代替平面應變的模型。在⑴常體力,⑵單連體,⑶全部為應力邊界條件目前六十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點

3.常體力下按應力求解的簡化對應的齊次微分方程的通解，艾里已求出為非齊次微分方程(b)的任一特解，如?。?）常體力下平衡微分方程的通解是：

非齊次特解+齊次通解。目前六十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點所以滿足平衡微分方程的通解為:(g)為艾里應力函數(shù)。目前六十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點如果，則A，B均可用一個函數(shù)表示，即說明：a.導出艾里（Airy）應力函數(shù)，是應用偏導數(shù)的相容性，即目前六十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點d.由再去求應力（式（g））,必然滿足平衡微分方程，故不必再進行校核。c.仍然是未知的。但已將按應力求解轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻瘮?shù)求解，從3個未知函數(shù)減少至1個未知函數(shù)。b.導出應力函數(shù)的過程，也就證明了的存在性，故可以用各種方法去求解。目前六十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點（2）應力應滿足相容方程（a），將式（g）代入（a），得（3）若全部為應力邊界條件（），則應力邊界條件也可用表示。目前六十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點（1）A內(nèi)相容方程（h）；（2）上的應力邊界條件；求出后，可由式（g）求得應力。在常體力下求解平面問題，可轉(zhuǎn)變?yōu)榘磻瘮?shù)求解，應滿足:歸納：目前六十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點例1如圖所示的簡支梁只承受自重的作用，設(shè)材料的密度為，給出函數(shù)可以作為應力函數(shù)的條件，并求出表達式和應力分量，其中，的形式為：解：將應力函數(shù)代入相容方程,得到這就是作為應力函數(shù)必須滿足的條件此時：

按應力函數(shù)和應力方法求解彈性問題解析解目前六十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前六十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前六十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七十頁\總數(shù)八十一頁\編于七點例2如圖所示，右端固定懸臂梁，長為l，高為h，在左端面上受分布力作用（其合力為FS）。不計體力，試求梁的應力分量解：1、用湊冪次不同的雙調(diào)和多項式函數(shù)的半逆解法來求解。顯然，應力函數(shù)所對應的面力，在梁兩端與本題相一致，只是該函數(shù)在上、下邊界面上多出了一個大小為的剪應力，為了抵消它，在應力函數(shù)上再添加一個與純剪應力對應的應力函數(shù) ：按應力函數(shù)和應力方法求解彈性問題解析解目前七十一頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七十二頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七十三頁\總數(shù)八十一頁\編于七點例3圖示的墻高度為h,寬度為b,兩側(cè)受均布剪力作用，用已知應力函數(shù)求解應力分量

解：給出的應力函數(shù)顯然滿足相容方程，于是得到應力分量表達式

下面驗證邊界條件

按應力函數(shù)和應力方法求解彈性問題解析解目前七十四頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七十五頁\總數(shù)八十一頁\編于七點按應力函數(shù)和應力方法求解彈性問題解析解例4：三角形懸梁臂只受重力作用，如圖所示，使用純?nèi)问綉瘮?shù)求解。目前七十六頁\總數(shù)八十一頁\編于七點目前七十七頁\總數(shù)八十一頁\編于七點例5試用純?nèi)问綉瘮?shù)，求解楔形體受重力和側(cè)向液體壓力的應力場。目前七十八頁\總數(shù)八十一頁\編于七點YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOFGEOPHYSICALRESEARCH,VOL.111,B06409,doi:10.1029/2005JB003987,2006例6利用應力函數(shù)法求解楔形體的應力場目前七十九頁\總數(shù)八十一頁\編于七點上頂界：y=0YanHuandKelinWang,Bending-likebehaviorofthinwedge-shapedelasticfaultblocks,JOURNALOF