2013年高考安徽理科數(shù)學(xué)試題及答案(word解析版)

年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（安徽卷）數(shù)學(xué)（理科）第Ⅰ卷（選擇題共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．（1）【2013年安徽，理1，5分】設(shè)是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)．若，則（）（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】設(shè)，則由得，即，所以，，所以，，即，故選A．（2）【2013年安徽，理2，5分】如圖所示，程序框圖（算法流程圖）的輸出結(jié)果是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】開始，，；返回，，，；返回，，，；返回，不成立，輸出，故選D．（3）【2013年安徽，理3，5分】在下列命題中，不是公理的是（）（A）平行于同一個(gè)平面的兩個(gè)平面相互平行（B）過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面（C）如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在此平面內(nèi)（D）如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線【答案】A【解析】由立體幾何基本知識(shí)知，B選項(xiàng)為公理2，C選項(xiàng)為公理1，D選項(xiàng)為公理3，A選項(xiàng)不是公理，故選A．（4）【2013年安徽，理4，5分】“”是“函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增”的（）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】C【解析】函數(shù)的圖象有以下三種情形：由圖象可知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增時(shí)，，故選C．（5）【2013年安徽，理5，5分】某班級(jí)有50名學(xué)生，其中有30名男生和20名女生．隨機(jī)詢問了該班五名男生和五名女生在某次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)中的成績，五名男生的成績分別為86,94,88,92,90，五名女生的成績分別為88,93,93,88,93．下列說法一定正確的是（） （A）這種抽樣方法是一種分層抽樣（B）這種抽樣方法是一種系統(tǒng)抽樣（C）這五名男生成績的方差大于這五名女生成績的方差（D）該班男生成績的平均數(shù)小于該班女生成績的平均數(shù)【答案】C【解析】解法一：對(duì)A選項(xiàng)，分層抽樣要求男女生總?cè)藬?shù)之比=男女生抽樣人數(shù)之比，所以A選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)B選項(xiàng)，系統(tǒng)抽樣要求先對(duì)個(gè)體進(jìn)行編號(hào)再抽樣，所以B選項(xiàng)錯(cuò)；對(duì)C選項(xiàng)，男生方差為40，女生方差為30．所以C選項(xiàng)正確；對(duì)D選項(xiàng)，男生平均成績?yōu)?0，女生平均成績?yōu)?1．所以D選項(xiàng)錯(cuò)，故選C．解法二：五名男生成績的平均數(shù)為，五名女生成績的平均數(shù)為，五名男生成績的方差為，五名女生成績的方差為，所以，故選C．（6）【2013年安徽，理6，5分】已知一元二次不等式的解集為，則的解集為（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】由題意知，所以，故選D．（7）【2013年安徽，理7，5分】在極坐標(biāo)系中，圓的垂直于極軸的兩條切線方程分別為（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】由題意可知，圓可化為普通方程為．所以圓的垂直于軸的兩條切線方程分別為和，再將兩條切線方程化為極坐標(biāo)方程分別為和，故選B．（8）【2013年安徽，理8，5分】函數(shù)的圖象如圖所示，在區(qū)間上可找到個(gè)不同的數(shù)，使得，則的取值范圍是（）（A）（B）（C）（D）【答案】B【解析】可化為，故上式可理解為圖象上一點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)連線的斜率相等，即可看成過原點(diǎn)的直線與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．如圖所示，由數(shù)形結(jié)合知識(shí)可得，①為，②為，③為，故選B．（9）【2013年安徽，理9，5分】在平面直角坐標(biāo)系中，是坐標(biāo)原點(diǎn)，兩定點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)集所表示的區(qū)域的面積是（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】以，為鄰邊作一個(gè)平行四邊形，將其放置在如圖平面直角坐標(biāo)系中，使，兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，由已知，可得出，點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)，現(xiàn)設(shè)，則由得，即，由于，，可得，畫出動(dòng)點(diǎn)滿足的可行域?yàn)槿鐖D陰影部分，故所求區(qū)域的面積為，故選D．（10）【2013年安徽，理10，5分】若函數(shù)有極值點(diǎn)，，且，則關(guān)于的方程的不同實(shí)根個(gè)數(shù)是（）（2）由（1）知，．若，則．當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞增；當(dāng)即時(shí)，單調(diào)遞減．綜上可知，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減．（17）【2013年安徽，理17，12分】設(shè)函數(shù)，其中，區(qū)間．（1）求的長度(注：區(qū)間的長度定義為；（2）給定常數(shù)，當(dāng)時(shí)，求長度的最小值．解：（1）因?yàn)榉匠逃袃蓚€(gè)實(shí)根，，故的解集為．因此區(qū)間，的長度為．（2）設(shè)，則．令，得．，故當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．所以當(dāng)時(shí)，的最小值必定在或處取得．而，故．因此當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值．（18）【2013年安徽，理18，12分】設(shè)橢圓E：的焦點(diǎn)在軸上．（1）若橢圓的焦距為1，求橢圓的方程；（2）設(shè)分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，為橢圓上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，直線交軸于點(diǎn)，并且．證明：當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)在某定直線上．解：（1）因?yàn)榻咕酁?，所以，解得．故橢圓的方程為．（2）設(shè)，，，其中．由題設(shè)知，則直線的斜率，直線的斜率，故直線的方程為．當(dāng)時(shí)，，即點(diǎn)坐標(biāo)為．因此，直線的斜率為．由于，所以．化簡得．①將①代入方程，由于點(diǎn)在第一象限，解得，，即點(diǎn)在定直線上．（19）【2013年安徽，理19，13分】如圖，圓錐頂點(diǎn)為，底面圓心為，其母線與底面所成的角為，和是底面圓上的兩條平行的弦，軸與平面所成的角為．（1）證明：平面與平面的交線平行于底面；（2）求．解：（1）設(shè)面與面的交線為．，不在面內(nèi)，所以面．又因?yàn)槊妫媾c面的交線為，所以．由直線在底面上而在底面外可知，與底面平行．（2）設(shè)CD的中點(diǎn)為．連接，．由圓的性質(zhì)，，．因?yàn)榈酌?，底面，所以．又，故面．又面，因此面面．從而直線在面上的射影為直線，故為與面所成的角．．設(shè)，則．根據(jù)題設(shè)有，得．由和，得，因此．在中，，故．（20）【2013年安徽，理20，13分】設(shè)函數(shù)．證明：（1）對(duì)每個(gè)，存在唯一的，滿足；（2）對(duì)任意，由（1）中構(gòu)成的數(shù)列滿足．解：（1）對(duì)每個(gè)，當(dāng)時(shí)，，故在內(nèi)單調(diào)遞增．由于，當(dāng)時(shí)，，故．又，所以存在唯一的，滿足．（2）當(dāng)時(shí)，，故．由在內(nèi)單調(diào)遞增知，，故為單調(diào)遞減數(shù)列，從而對(duì)任意，．對(duì)任意，由于，①．②①式減去②式并移項(xiàng)，利用，得．因此，對(duì)任意，都有．（21）【2013年安徽，理21，13分】某高校數(shù)學(xué)系計(jì)劃在周六和周日各舉行一次主題不同的心理測(cè)試活動(dòng)，分別由李老師和張老師負(fù)責(zé)．已知該系共有位學(xué)生，每次活動(dòng)均需該系位學(xué)生參加(和都是固定的正整數(shù))．假設(shè)李老師和張老師分別將各自活動(dòng)通知的信息獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)給該系位學(xué)生，且所發(fā)信息都能收到．記該系收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的學(xué)生人數(shù)為．（1）求該系學(xué)生甲收到李老師或張老師所發(fā)活動(dòng)通知信息的概率；（2）求使取得最大值的整數(shù)．解：（1）因?yàn)槭录骸皩W(xué)生甲收到李老師所發(fā)信息”與事件：“學(xué)生甲收到張老師所發(fā)信息”是相互獨(dú)立的事件，所以與相互獨(dú)立．由于，故，因此學(xué)生甲收到活動(dòng)通知信息的概率．（2）當(dāng)時(shí)，只能取，有．當(dāng)時(shí)，整數(shù)滿足，其中是和中的較小者．由于“李老師和張老師各自獨(dú)立、隨機(jī)地發(fā)活動(dòng)通知信息給位同學(xué)”所