全國初中數(shù)學競賽試題及答案()

中國數(shù)學教育網(wǎng)info@第18頁共18頁全國初中數(shù)學競賽試題及答案()2000年全國初中數(shù)學競賽試題解答一、選擇題（只有一個結(jié)論正確）1、設(shè)的平均數(shù)為M，的平均數(shù)為N，N，的平均數(shù)為P，若，則M與P的大小關(guān)系是（）。（A）M＝P；（B）M＞P；（C）M＜P；（D）不確定。答：（B）?！進＝，N＝，P＝，M－P＝，∵，∴＞，即M－P＞0，即M＞P。2、某人騎車沿直線旅行，先前進了千米，休息了一段時間，又原路返回千米（），再前進千米，則此人離起點的距離S與時間t的關(guān)系示意圖是（）。答：（C）。因為圖（A）中沒有反映休息所消耗的時間；圖（B）雖表明折返后S的變化，但沒有表示消耗的時間；圖（D）中沒有反映沿原始返回的一段路程，唯圖（C）正確地表述了題意。3、甲是乙現(xiàn)在的年齡時，乙10歲；乙是甲現(xiàn)在的年齡時，甲25歲，那么（）。（A）甲比乙大5歲；（B）甲比乙大10歲；（C）乙比甲大10歲；（D）乙比甲大5歲。答：（A）。由題意知3×（甲－乙）＝25－10，∴甲－乙＝5。4、一個一次函數(shù)圖象與直線平行，與軸、軸的交點分別為A、B，并且過點（－1，－25），則在線段AB上（包括端點A、B），橫、縱坐標都是整數(shù)的點有（）。（A）4個；（B）5個；（C）6個；（D）7個。答：（B）。在直線AB上，橫、縱坐標都是整數(shù)的點的坐標是＝－1＋4N，＝－25＋5N，（N是整數(shù)）．在線段AB上這樣的點應(yīng)滿足－1＋4N＞0，且－25＋5N≤0，∴≤N≤5，即N＝1，2，3，4，5。5、設(shè)分別是△ABC的三邊的長，且，則它的內(nèi)角∠A、∠B的關(guān)系是（）。（A）∠B＞2∠A；（B）∠B＝2∠A；（C）∠B＜2∠A；（D）不確定。答：（B）。由得，延長CB至D，使BD＝AB，于是CD＝，在△ABC與△DAC中，∠C為公共角，且BC:AC＝AC:DC，∴△ABC∽△DAC，∠BAC＝∠D，∵∠BAD＝∠D，∴∠ABC＝∠D＋∠BAD＝2∠D＝2∠BAC。6、已知△ABC的三邊長分別為，面積為S，△A1B1C1的三邊長分別為，面積為S1，且，則S與S1的大小關(guān)系一定是（）。（A）S＞S1；（B）S＜S1；（C）S＝S1；（D）不確定。答：（D）。分別構(gòu)造△ABC與△A1B1C1如下：①作△ABC∽△A1B1C1，顯然，即S＞S1；②設(shè)，則，S＝10，，則S1＝×100＞10，即S＜S1；③設(shè)，則，S＝10，，則，S1＝10，即S＝S1；因此，S與S1的大小關(guān)系不確定。二、填空題7、已知：，那么＝________。答：1?！撸?。∴。8、如圖，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝8，BC＝6，∠BCD＝45°，∠BAD＝120°，則梯形ABCD的面積等于________。答：66＋6（平方單位）。作AE、BF垂直于DC，垂足分別為E、F，由BC＝6，∠BCD＝45°，得AE＝BF＝FC＝6。由∠BAD＝120°，得∠DAE＝30°，因為AE＝6得DE＝2，AB＝EF＝8，DC＝2＋8＋6＝14＋2，∴。9、已知關(guān)于的方程的根都是整數(shù)，那么符合條件的整數(shù)有________個。答：5。①當時，；②當時，易知是方程的一個整數(shù)根，再由且是整數(shù)，知，∴；由①、②得符合條件的整數(shù)有5個。10、如圖，工地上豎立著兩根電線桿AB、CD，它們相距15米，分別自兩桿上高出地面4米、6米的A、C處，向兩側(cè)地面上的E、D；B、F點處，用鋼絲繩拉緊，以固定電線桿。那么鋼絲繩AD與BC的交點P離地面的高度為________米。答：2.4米。作PQ⊥BD于Q，設(shè)BQ＝米，QD＝米，PQ＝米，由AB∥PQ∥CD，得及，兩式相加得，由此得米。即點P離地面的高度為2.4米。（注：由上述解法知，AB、CD之間相距多遠，與題目結(jié)論無關(guān)。）11、如圖，在直角坐標系中，矩形OABC的頂點B的坐標為（15，6），直線恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分，那么＝________。答：。直線通過點D（15，5），故BD＝1。當時，直線通過，兩點，則它恰好將矩形OABC分成面積相等的兩部分。12、某商場經(jīng)銷一種商品，由于進貨時價格比原進價降低了6.4％，使得利潤率增加了8個百分點，那么經(jīng)銷這種商品原來的利潤率是________。（注：×100％）答：17％。設(shè)原進價為元，銷售價為元，那么按原進價銷售的利潤率為×100％，原進價降低6.4％后，在銷售時的利潤率為×100％，依題意得：×100％＋8％＝×100％，解得＝1.17，故這種商品原來的利潤率為×100％＝17％。三、解答題13、設(shè)是不小于的實數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根。（1）若，求的值。（2）求的最大值。解：因為方程有兩個不相等的實數(shù)根，所以，∴。根據(jù)題設(shè)，有。（1）因為，即。由于，故。（2）。設(shè)上是遞減的，所以當時，取最大值10。故的最大值為10。14、如上圖：已知四邊形ABCD外接圓O的半徑為2，對角線AC與BD的交點為E，AE＝EC，AB＝AE，且BD＝2，求四邊形ABCD的面積。解：由題設(shè)得AB2＝2AE2＝AE·AC，∴AB:AC＝AE:AB，又∠EAB＝∠BAC，∴△ABE∽△ACB，∴∠ABE＝∠ACB，從而AB＝AD。連結(jié)AD，交BD于H，則BH＝HD＝?！郞H＝＝1，AH＝OA－OH＝2－1＝1?！啵逧是AC的中點，∴，，∴，∴。15、一幢33層的大樓有一部電梯停在第一層，它一次最多能容納32人，而且只能在第2層至第33層中的某一層停一次。對于每個人來說，他往下走一層樓梯感到1分不滿意，往上走一層樓梯感到3分不滿意?，F(xiàn)在有32個人在第一層，并且他們分別住在第2至第33層的每一層，問：電梯停在哪一層，可以使得這32個人不滿意的總分達到最??？最小值是多少？（有些人可以不乘電梯而直接從樓梯上樓）解：易知，這32個人恰好是第2至第33層各住1人。對于每個乘電梯上、下樓的人，他所住的層數(shù)一定大于直接走樓梯上樓的人所住的層數(shù)。事實上，設(shè)住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，。交換兩人上樓方式，其余的人不變，則不滿意總分不增，現(xiàn)分別考慮如下：設(shè)電梯停在第層。①當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。②當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分也為。③當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。④當時，若住第層的人乘電梯，而住第層的人直接走樓梯上樓，則這兩者不滿意總分為；交換兩人上樓方式，則這兩者不滿意總分為，前者比后者多。⑤當