2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆內(nèi)蒙古包頭市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．若，則（

）A． B．2 C． D．3【答案】B【分析】由題設(shè)即可求結(jié)果.【詳解】由.故選：B2．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)一元二次不等式化簡集合,即可由集合的交運(yùn)算求解.【詳解】由得，所以，故選：C3．已知為拋物線上第一象限的一點(diǎn)，以點(diǎn)B為圓心且半徑為12的圓經(jīng)過C的焦點(diǎn)F，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)拋物線的方程結(jié)合拋物線的定義列式求解.【詳解】由題意可得：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線，則，解得.故選：D.4．正多面體共有5種，統(tǒng)稱為柏拉圖體，它們分別是正四面體、正六面體（即正方體）、正八面體、正十二面體、正二十面體．若連接某正方體的相鄰面的中心，就可以得到一個正八面體，已知該正八面體的體積為36，則生成它的正方體的棱長為（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【分析】設(shè)正方體的棱長為，由條件結(jié)合錐體體積公式列方程求解即可.【詳解】設(shè)正方體棱長為，可得正八面體是由兩個四棱錐構(gòu)成，四棱錐的底面為邊長為的正方形，高為，則正八面體體積為，解得，∴.故選：B.5．設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由對數(shù)的性質(zhì)可得：，，，即可得出答案.【詳解】，，，故.故選：C.6．函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由，則，而，所以點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：A7．已知，且，則＝（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由二倍角余弦公式、因式分解可得，結(jié)合角的范圍求值即可.【詳解】由，所以或，又，故.故選：B8．若函數(shù)在的大致圖象如下圖，則（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】根據(jù)圖象結(jié)合最小正周期和零點(diǎn)求，進(jìn)而可求結(jié)果.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，由圖象可得：，即，可得，解得，則，所以.故選：A.9．若是奇函數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)奇函數(shù)的定義結(jié)合對數(shù)運(yùn)算求解即可.【詳解】由題意得，解得，則的定義域為，又為奇函數(shù)，所以，可得，當(dāng)時，，其定義域為，，所以是奇函數(shù)，故.故選：A.10．小王家訂了一份報紙，送報人可能在早上之間把報送到小王家，小王離開家去工作的時間在早上之間．用A表示事件：“小王在離開家前能得到報紙”，設(shè)送報人到達(dá)的時間為x，小王離開家的時間為y，看成平面中的點(diǎn)，則用幾何概型的公式得到事件A的概率P（A）等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】畫出圖形，利用面積比求解即可.【詳解】根據(jù)題意作出圖形如圖所示，基本事件位于矩形內(nèi)及邊界，事件發(fā)生，則，即事件A應(yīng)位于五邊形BCDEF內(nèi)及邊界，則.故選：A.11．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐中最長的棱的長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三視圖還原幾何體，注意線面垂直關(guān)系，進(jìn)而求其它各棱長，即可得答案.【詳解】由三視圖，幾何體如下圖示，且面，而面，故，所以，顯然為最長棱.故選：C12．已知A，B，C為球O的球面上的三個點(diǎn)，為△ABC的外接圓，若的面積為12π，，則當(dāng)△ABC的面積最大時，球O的表面積為（

）A．84π B．96π C．180π D．192π【答案】D【分析】求得的半徑，根據(jù)正弦定理得出，，然后代入整理得出的面積，設(shè)，，求導(dǎo)得出函數(shù)的最大值，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理求出球的半徑，即可得出答案.【詳解】設(shè)的半徑為，球的半徑為，則，所以.由正弦定理可得，，，因為，所以，所以，設(shè)，，則，因為，由可得，，由可得，，因為，所以，所以，所以，所以，在上單調(diào)遞增；由可得，，由，可知，所以，所以，在上單調(diào)遞減.所以，當(dāng)時，取得唯一極大值，也是最大值，此時，為等邊三角形，且，所以，，由圖象可得，在中，有，，所以，，即，所以，球的表面積為.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)，的最值是解決本題的關(guān)鍵.二、填空題13．若x，y滿足約束條件則的最小值為______．【答案】1【分析】畫出可行域，根據(jù)最小的幾何意義判斷取最小值時所過的點(diǎn)，即可得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)可得如下可行域，要使最小，即直線上下平移過程中，與可行域有交點(diǎn)情況下截距最小，所以，當(dāng)過與的交點(diǎn)時有最小值，故.故答案為：114．已知，，與的夾角為θ，且，則θ＝______．【答案】/【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律可得，結(jié)合已知模長及數(shù)量積定義求夾角即可.【詳解】由，即，所以，又，則.故答案為：15．已知圓C經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，且圓心在直線上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為__________．【答案】【分析】求出線段AB的中垂線方程，與直線聯(lián)立，可得圓心坐標(biāo)，根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出半徑，可得圓的方程．【詳解】因為，，所以直線的斜率為，線段中點(diǎn)為，所以中垂線方程為，即，聯(lián)立，解得，所以圓心的坐標(biāo)為.根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，得半徑，因此，所求的圓的方程為.故答案為：.16．雙曲線C：（，）的兩個焦點(diǎn)為，，以C的虛軸為直徑的圓記為D，過作D的切線與C的漸近線交于點(diǎn)H，若的面積為，則C的離心率為______．【答案】【分析】根據(jù)相切關(guān)系可得直線的斜率，進(jìn)而得方程為，聯(lián)立兩直線方程得交點(diǎn)坐標(biāo)，即可由面積公式得的關(guān)系，由齊次式即可求解離心率.【詳解】設(shè)直線與圓相切于,由題意可知,，所以，所以,所以直線方程為，聯(lián)立和得，故因此，故，因此，故，故答案為：三、解答題17．已知等差數(shù)列的前n項和為，等比數(shù)列的前n項和為，，，．(1)若，且等比數(shù)列的公比大于0，求和的通項公式；(2)若，求．【答案】(1)，(2)或【分析】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，根據(jù)已知寫出的表達(dá)式.然后列出方程組，求解即可得出的值，代入即可得出答案；（2）檢驗可得項和公式可得，解得，或.分別求出的值，得出，然后根據(jù)等差數(shù)列前項和公式計算即可得出答案.【詳解】（1）設(shè)的公差為d，的公比為q，，則，．聯(lián)立，即，因為，解得，

所以，.（2）設(shè)的公差為d，的公比為q.當(dāng)時，，不滿足題意，所以.所以，，整理可得，解得，或.

當(dāng)時，，由，得，所以，故；當(dāng)時，，由，得，所以，故.18．某學(xué)校為了解高三學(xué)生的學(xué)習(xí)成績變化情況，隨機(jī)調(diào)查了100名學(xué)生，得到這些學(xué)生一輪復(fù)習(xí)結(jié)束相對于高二期末學(xué)習(xí)成績增長率的頻數(shù)分布表.的分組學(xué)生數(shù)16243012108（1）估計這個學(xué)校的高三學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績增長率不低于的學(xué)生比例；（2）求這個學(xué)校的高三學(xué)生學(xué)習(xí)成績增長率的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差的估計值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（精確到）附：.【答案】（1）；（2）0.25；0.146.【分析】（1）根據(jù)題意得學(xué)習(xí)成績增長率不低于的學(xué)生有人，進(jìn)而根據(jù)頻率估計即可；（2）根據(jù)頻率分布估計平均數(shù)和方差即可.【詳解】（1）根據(jù)學(xué)習(xí)成績增長率頻數(shù)分布表得，所調(diào)查的名學(xué)生中，學(xué)習(xí)成績增長率不低于的學(xué)生有人，所以學(xué)習(xí)成績增長率不低于的學(xué)生頻率為，用樣本頻率分布估計總體分布得這個學(xué)校高三學(xué)生成績增長率不低于的學(xué)生比例為（2）.19．如圖，四棱錐S—ABCD中，側(cè)面底面ABCD，，，，，E，F(xiàn)分別是SC和AB的中點(diǎn)，．(1)證明：平面SAD；(2)點(diǎn)P在棱SA上，當(dāng)時，求四棱錐P—AFCD的體積．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)M為SD的中點(diǎn)，證明，根據(jù)線面平行判定定理證明結(jié)論；（2）首先證△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，易知，，應(yīng)用面面垂直性質(zhì)得面ABCD，進(jìn)而有，易得，再證△△判斷為中點(diǎn)，最后應(yīng)用棱錐體積公式求體積.【詳解】（1）設(shè)M為SD的中點(diǎn)，連接ME，MA，因為ME是的中位線，所以，又且，所以底面ABCD為平行四邊形，所以，又且，故且，所以四邊形是平行四邊形，則，又平面，平面，所以平面.（2）由，，即，故，所以△為等腰直角三角形，若為中點(diǎn)，連接，所以，，又，，即△為等邊三角形，所以，因為面面ABCD，面底面ABCD，，面，所以面ABCD，面ABCD，故，在△中，，即，若為中點(diǎn)，則，故，在△中，，則，又，P在棱SA上，且，易知：△△，所以，又，由（1）M為SD的中點(diǎn)，故為中點(diǎn)，所以到面距離等于到面距離的一半，又面ABCD，即，由，則四棱錐P—AFCD的體積.20．設(shè)函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)若f（x）有兩個極值點(diǎn)，，求a的取值范圍．【答案】(1)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)【分析】（1）運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性.（2）將問題轉(zhuǎn)化為，是的兩個不同的根，分離參數(shù)研究與有兩個不同的交點(diǎn)，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)研究的圖象進(jìn)而求得a的范圍.【詳解】（1）∵，∴，當(dāng)時，∴，定義域為R，則，∴，，∴的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（2）∵有兩個極值點(diǎn)，（），∴，是的兩個不同的根.即：，是的兩個不同的根.∴令，則，是與的兩個不同的交點(diǎn).∴，∴，，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又∵，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴圖象如圖所示，所以，所以，即：a的取值范圍為.21．已知定點(diǎn)，及動點(diǎn)，點(diǎn)R是直線MQ上的動點(diǎn)，且．(1)求點(diǎn)R的軌跡C的方程；(2)過點(diǎn)的直線與曲線C交于點(diǎn)A，B，試探究：的面積是否存在最大值，若存在，請求出最大值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在，最大值為【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由條件列關(guān)系式求軌跡方程；（2）設(shè)直線AB的方程為，聯(lián)立方程組結(jié)合設(shè)而不求法求的面積，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由已知，，，因為點(diǎn)R是直線MQ上，所以，因為，所以，即，所以化簡得，．因為，所以，故點(diǎn)R的軌跡C的方程為．（2）過點(diǎn)的斜率為的直線與曲線沒交點(diǎn)，不滿足要求，故設(shè)直線AB的方程為，由，消去x并整理，得，方程的判別式，設(shè)，則，

所以，的面積，

設(shè)，則，設(shè)，則，在是增函數(shù)，

故，即，有，因此，當(dāng)，即時，S存在最大值為．【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：解決直線與橢圓的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、橢圓的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．(1)寫出C的普通方程；(2)若A，B是C上異于坐標(biāo)原點(diǎn)O的兩動點(diǎn)，且，，并與線段AB相交于點(diǎn)P，求點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）消參求普通方程；（2）設(shè)，根據(jù)得，再根據(jù)得，進(jìn)而可得，再由A，P，B三點(diǎn)共線，可得，整理可得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由C的參數(shù)方程消去參數(shù)t，得C的普通方程為．（2）根據(jù)（1），設(shè)，（，且），則，因為，所以，得，

又，因為，所以，即，

因為A，P，B三點(diǎn)共線，所以，即，整理得，把和，代入上式，得，故點(diǎn)P軌跡的極坐標(biāo)方程為．23．已知函數(shù)．(1)畫出和的圖象；(2)若，求a的值．【答案】(1)圖象見解析(2)6【分