2023屆天津市紅橋區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題

2023屆天津市紅橋區(qū)高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，或，則（

）A． B．或C． D．【答案】D【分析】根據(jù)交集和補(bǔ)集的定義即可得出答案.【詳解】解：因?yàn)?或，所以，所以.故選：D．2．“”是“”的A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【詳解】因?yàn)椋?，故?yīng)選答案A．3．函數(shù)的大致圖象是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)奇偶性定義判斷的對(duì)稱(chēng)性，并由及、增長(zhǎng)速度關(guān)系，結(jié)合排除法確定函數(shù)圖象.【詳解】由且定義域?yàn)椋适桥己瘮?shù)，又，排除B、C；當(dāng)時(shí)，函數(shù)比增長(zhǎng)得更快，排除A.故選：D．4．某校有200位教職員工，他們每周用于鍛煉所用時(shí)間的頻率分布直方圖如圖所示，據(jù)圖估計(jì)，每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為（

）A．18 B．46 C．54 D．92【答案】D【分析】由頻率分布直方圖求出每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率，由此能求出每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)．【詳解】由頻率分布直方圖得：每周鍛煉時(shí)間在[10，12]小時(shí)內(nèi)的頻率為：1﹣（0.03+0.06+0.18+0.14）×2＝0.18，∴每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的頻率為：∴每周鍛煉時(shí)間在小時(shí)內(nèi)的人數(shù)為：200×0.46＝92．故選：D．5．拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離是，則該雙曲線的離心率為A． B． C． D．【答案】C【解析】求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)以及雙曲線的漸近線方程，利用點(diǎn)到直線的距離求出的值，再利用離心率公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，雙曲線的漸近線方程為，由題意得，解得，因此，該雙曲線的離心率為.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線和雙曲線幾何性質(zhì)的應(yīng)用，在涉及利用雙曲線的漸近線方程求雙曲線的離心率時(shí)，利用公式計(jì)算較為方便，考查計(jì)算能力，屬于中等題.6．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A．B．C．D．【答案】D【詳解】若α∥β，mα，mβ，則m，n可能平行也可能異面，故B錯(cuò)誤；若m⊥α，m⊥n，則n∥α或nα，故C錯(cuò)誤；若mα，nα，m∥β，n∥β，由于m，n不一定相交，故α∥β也不一定成立，故A錯(cuò)誤；若m∥n，n⊥α，根據(jù)線面垂直的第二判定定理，我們易得m⊥α，故D正確.7．設(shè)，且，則的大小關(guān)系為A． B． C． D．【答案】B【分析】由函數(shù)單調(diào)性進(jìn)行判定，繼而比較出大小【詳解】當(dāng)a>1時(shí),易知>2a，再由以a為底對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，從而可知m>p又∵(+1)?(a?1)=?a+2恒大于0(二次項(xiàng)系數(shù)大于0,根的判別式小于0,函數(shù)值恒大于0),即+1>a?1，再由以a為底對(duì)數(shù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，從而可知m>n又∵當(dāng)a>1時(shí)2a顯然大于a?1，同上，可知p>n.綜上∴m>p>n.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查了運(yùn)用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，需要熟練掌握并能求解結(jié)果，本題較為基礎(chǔ).8．某班級(jí)有50名學(xué)生，期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，已，則的學(xué)生人數(shù)為（

）A．5 B．10 C．20 D．30【答案】D【分析】由正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性求出，即可求出的學(xué)生人數(shù).【詳解】因?yàn)槠谀┛荚嚁?shù)學(xué)成績(jī)服從正態(tài)分布，所以期末考試數(shù)學(xué)成績(jī)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，所以，所以的學(xué)生人數(shù)為：人.故選：D.9．函數(shù)，關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】把函數(shù)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為以和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，作出圖象求解即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).作出函數(shù)的圖象如圖所示：當(dāng)時(shí)，，，，要使函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，則，當(dāng)，，，，當(dāng)時(shí)，，過(guò)點(diǎn)與曲線的切點(diǎn)為，，可得：，所以，所以切線斜率為，要使函數(shù)和的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，由圖可得,當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有2個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.綜上：.故選：A.二、填空題10．已知，其中是虛數(shù)單位，那么實(shí)數(shù)_____．【答案】-1【分析】化簡(jiǎn)方程左邊，利用兩復(fù)數(shù)相等，得到方程組，求出的值.【詳解】故答案為：-111．某項(xiàng)選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答問(wèn)題者進(jìn)入下一輪考試，否則即被淘汰．已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問(wèn)題的概率分別為，，，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響，則該選手被淘汰的概率為_(kāi)________．【答案】【分析】設(shè)事件表示“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”，選手被淘汰，考慮對(duì)立事件，代入的值，可得結(jié)果；【詳解】記“該選手能正確回答第輪的問(wèn)題”為事件，則.該選手被淘汰的概率：故答案為：【點(diǎn)睛】求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法：(1)直接法：將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和；(2)間接法：先求該事件的對(duì)立事件的概率，再由求解．當(dāng)題目涉及“至多”“至少”型問(wèn)題時(shí)，多考慮間接法．12．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．【答案】.【分析】利用通項(xiàng)公式即可得出．【詳解】通項(xiàng)公式Tr+1（x2）6﹣r（﹣1）rx12﹣3r，令12﹣3r＝0，解得r＝4．∴展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)15．故答案為15．【點(diǎn)睛】本題考查了二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13．已知兩圓和相交于兩點(diǎn)，則直線的方程是_____．【答案】【詳解】試題分析：兩圓為①，②，可得，所以公共弦所在直線的方程為．【解析】相交弦所在直線的方程14．已知，則的最小值為_(kāi)__________．【答案】【分析】將不等式變?yōu)?，再由基本不等式即可得出答?【詳解】,當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故答案為：.三、雙空題15．如圖所示，在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，且，過(guò)點(diǎn)的直線與直線相交于點(diǎn)，與直線相交于點(diǎn)（交兩點(diǎn)不重合）．若，則________，若，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】

##【分析】由向量的線性表示，利用三角形法則及已知可求解；根據(jù)（1）的結(jié)論，轉(zhuǎn)化用表示，根據(jù)三點(diǎn)共線找出等量關(guān)系，再由基本不等式可求的最小值.【詳解】在中，，且，則，可得

所以；又由，已知，所以，可得，因?yàn)槿c(diǎn)共線，且點(diǎn)在線外，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即等號(hào)成立，所以的最小值為.故答案為：；.四、解答題16．已知的內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為，且．(1)求角的大?。?2)求的值；(3)求的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由余弦定理求出，結(jié)合，求出；（2）結(jié)合（1），由正弦定理求出的值；（3）由二倍角公式得到，由兩角差的正弦公式即可求解【詳解】（1）在中，，，，由余弦定理得，又因?yàn)椋?；?）在中，由（1）知，，，由正弦定理可得；（3）由知，所以角A為銳角，因?yàn)?，所以，所以，，所?17．如圖，在長(zhǎng)方體中，、分別是棱,上的點(diǎn)，,（1）求異面直線與所成角的余弦值；（2）證明平面（3）求二面角的正弦值．【答案】（1）,（2）見(jiàn)解析（3）【詳解】方法一：如圖所示，建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè),依題意得,,,（1）解：易得,于是所以異面直線與所成角的余弦值為（2）證明：已知,,于是·=0，·=0.因此，,,又所以平面(3)解：設(shè)平面的法向量，則,即不妨令X=1,可得．由（2）可知，為平面的一個(gè)法向量．于是，從而所以二面角的正弦值為方法二：（1）解：設(shè)AB=1，可得AD=2,AA1=4,CF=1.CE=鏈接B1C,BC1，設(shè)B1C與BC1交于點(diǎn)M,易知A1D∥B1C，由,可知EF∥BC1.故是異面直線EF與A1D所成的角，易知BM=CM=,所以,所以異面直線FE與A1D所成角的余弦值為（2）證明：連接AC，設(shè)AC與DE交點(diǎn)N因?yàn)?，所以，從而，又由?所以，故AC⊥DE,又因?yàn)镃C1⊥DE且，所以DE⊥平面ACF，從而AF⊥DE.連接BF，同理可證B1C⊥平面ABF,從而AF⊥B1C,所以AF⊥A1D因?yàn)?，所以AF⊥平面A1ED(3)解：連接A1N.FN,由（2）可知DE⊥平面ACF,又NF平面ACF,A1N平面ACF，所以DE⊥NF,DE⊥A1N,故為二面角A1-ED-F的平面角易知，所以，又所以，在連接A1C1,A1F在．所以所以二面角A1-DE-F正弦值為18．已知數(shù)列是公比大于0的等比數(shù)列，，.(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)，(2)(3)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求出，進(jìn)而求出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用通項(xiàng)公式和已知條件求出，進(jìn)而求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）先求出，再利用分組求和法和等差數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解；（3）先得到，再利用裂項(xiàng)抵消法進(jìn)行求和.【詳解】（1）因?yàn)槭枪顬?的等差數(shù)列，且，所以，解得，所以；設(shè)等比數(shù)列的公比為（），因?yàn)椋?，所以，即，解得（舍去）或，所?（2）由（1）得，則，則（3）由（1）得，則，【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題中考察了數(shù)列求和的兩種采用方法，第二問(wèn)考察了并項(xiàng)求和法，第三問(wèn)考察了裂項(xiàng)抵消法，技巧性較強(qiáng).19．設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，離心率，長(zhǎng)軸為4，且過(guò)橢圓右焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)，求直線的斜率；(3)若是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，判斷是否為定值？若是定值，請(qǐng)求出，若不是定值，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)(3)是定值，定值為4【分析】（1）由離心率和長(zhǎng)軸，求出和，再由求得，即可求出橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，分別表示出和，由列出方程，即可求出斜率值；（3）由弦長(zhǎng)公式表示出，再由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，且，表示出，即可得出答案．【詳解】（1）解：由離心率，長(zhǎng)軸為4，得，，所以，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：．（2）由（1）得橢圓的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，由得，，則，，所以，因?yàn)?，所以，即，解得，故直線的斜率為．（3）是定值，理由如下，由（2）得：直線的方程為：，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，，，，則，由是橢圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的弦，設(shè)，，直線的斜率為，則，由得，，且，得，所以，為定值．20．已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí)，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)證明：．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）對(duì)求導(dǎo)，得到函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)，利用直線方程得點(diǎn)斜式即可得出答案；（2）若恒成立，則，設(shè)，對(duì)求導(dǎo)，得到