2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆河南省新鄉(xiāng)市高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用不等式的解法化簡集合，再利用并集的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，故選：C2．復(fù)數(shù)的虛部為（

）A． B．2 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可求得答案.【詳解】由于，所以的虛部為2，故選：B3．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，分別求出a，b，c的范圍，即可得出結(jié)果．【詳解】因?yàn)?，，，所以．故選：D.4．在區(qū)間中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)，則取到的數(shù)的絕對值小于的概率為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)幾何概型知識即可得答案.【詳解】解：設(shè)取到的數(shù)為，則有，所以，由幾何概型知識可知，取到的數(shù)的絕對值小于的概率為．故選：C.5．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P在拋物線C上，，若的面積為，則（

）A．4 B．3 C．5 D．2【答案】A【分析】根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合拋物線定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由題意知,準(zhǔn)線方程為，設(shè)．因?yàn)?，的面積為，所以，則，所以．故選：A6．已知等差數(shù)列滿足，則的前20項(xiàng)和（

）A．400 B．380 C．340 D．280【答案】A【分析】設(shè)，，則解方程即可求出，再由等差數(shù)列的前項(xiàng)和即可得出答案.【詳解】設(shè)，所以，所以．因?yàn)?，所以所以則，所以．故選：A.7．在如圖所示的正方體或正三棱柱中，M，N，Q分別是所在棱的中點(diǎn)，則滿足直線BM與平面CNQ平行的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正方體，正三棱柱的性質(zhì)，線面的位置關(guān)系及線面平行的判定定理結(jié)合條件逐項(xiàng)分析即得.【詳解】A選項(xiàng)中，由正方體的性質(zhì)可知，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤；B選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面ACNQ，而，平面CNQ，平面CNQ，所以直線BM與平面CNQ平行，故正確；C選項(xiàng)中，因?yàn)?，故平面CNQ即為平面BCNQ，則直線BM與平面CNQ相交于點(diǎn)B，故錯誤；D選項(xiàng)中，假設(shè)直線BM與平面CNQ平行，過點(diǎn)M作CQ的平行線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D是在上靠近點(diǎn)的四等分點(diǎn)，由，平面CNQ，平面CNQ，可得平面CNQ，又BM與平面CNQ平行，平面，則平面平面CNQ，而平面與平面，平面CNQ分別交于BD，QN，則BD與QN平行，顯然BD與QN不平行，假設(shè)錯誤，所以直線BM與平面CNQ不平行，故錯誤．故選：B.8．定義在上的函數(shù)滿足，且為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．0 B． C． D．1【答案】A【分析】由和為偶函數(shù)，可知的周期為4，且的圖象關(guān)于直線對稱，利用函數(shù)的周期性和對稱性將條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，所以的周期?．又為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，則．故選：A.9．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出S的結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)程序框圖得到，計(jì)算得到答案.【詳解】由題可知，．故選：D10．剪紙是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，剪紙時(shí)常會沿著紙的某條對稱軸對折．將一張紙片先左右折疊，再上下折疊，然后沿半圓弧虛線裁剪，展開得到最后的圖形，若正方形的邊長為，點(diǎn)在四段圓弧上運(yùn)動，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可求得的取值范圍.【詳解】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為、軸建立如下圖所示的平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)，易知，以為半徑的左半圓的方程為，以為半徑的右半圓的方程為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍是，又因?yàn)?，，所以?故選：B.11．已知函數(shù)在上存在零點(diǎn)，且在上單調(diào)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)和單調(diào)性求出，從而可得根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)，即可求的取值范圍.【詳解】，因?yàn)樵谏洗嬖诹泓c(diǎn)，所以，解得．又在上單調(diào)，所以，即，解得，則，則則解得．故選：C.12．已知F是雙曲線的左焦點(diǎn)，P是E右支上一點(diǎn)，PF與E的漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，且，則E的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)點(diǎn)，由可表示出，點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)镻是E右支上一點(diǎn)，帶入橢圓得方程化簡即可得出答案.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)，，由，可得為的中點(diǎn)，所以，由，解得．因?yàn)椋瑒t得因?yàn)镻是E右支上一點(diǎn)，則，則，故E的離心率為．故選：B.二、填空題13．函數(shù)的圖象在處的切線方程為______．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，結(jié)合直線點(diǎn)斜式方程進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以，則，，故的圖象在處的切線方程為．故答案為：14．設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列滿足，，則______．【答案】8【分析】由已知條件得，，求得，進(jìn)而求得.【詳解】設(shè)的公為q，因?yàn)?，，所以，解得或（舍去），則，．故答案為：8三、雙空題15．某中學(xué)有高中生2500人，初中生3750人．用分層抽樣的方法從該校學(xué)生中抽取5人，組成?；@球運(yùn)動小組，則從高中生中抽取______人，若從這5人中任意選取2人為組長，則初中生和高中生各有1人為組長的概率為______．【答案】

2

【分析】根據(jù)分層抽樣法可得第一空答案；用列舉法可得第二空答案.【詳解】解：應(yīng)從高中生中抽取人，記為A，B，則應(yīng)從初中生中抽取3人，記為a，b，c．從這5人中任意選取2人為組長，總事件包括AB，Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，ab，ac，bc，共10種情況，其中初中生和高中生各有1人為組長的事件包括Aa，Ab，Ac，Ba，Bb，Bc，共6種情況，故所求的概率．故答案為：2；四、填空題16．若正四面體的棱長為4，則該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為______．【答案】【分析】設(shè)O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過作，垂足為G，由題意求出，，又因?yàn)椋蟪?，再由，即可求出答?【詳解】如圖，設(shè)O為正四面體的內(nèi)切球球心，也是外接球球心，D為的外心，過作，垂足為G，，．因?yàn)?，所以，解得．因?yàn)?，所以，解得，即該四面體內(nèi)切球的球心到其一條側(cè)棱的距離為．故答案為：.五、解答題17．世界上的能源消耗有是由摩擦和磨損造成的，一般機(jī)械設(shè)備中約有80%的零件因磨損而失效報(bào)廢．零件磨損是由多方面因素造成的，某機(jī)械設(shè)備的零件隨著使用時(shí)間的增加，“磨損指數(shù)”也在增加．現(xiàn)根據(jù)相關(guān)統(tǒng)計(jì)，得到一組數(shù)據(jù)如下表．使用時(shí)間t/年12345磨損指數(shù)r/%(1)求r關(guān)于t的線性回歸方程；(2)在每使用完一整年后，工人會對該零件進(jìn)行檢測分析，若該零件在下一年使用過程中的“磨損指數(shù)”超過10%，則該零件需要在本次檢測后立即進(jìn)行報(bào)廢處理．根據(jù)（1）中的回歸方程，估計(jì)該零件使用多少年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理？參考數(shù)據(jù)：，．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，．【答案】(1)(2)8年【分析】（1）根據(jù)題中所給的公式和數(shù)據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）運(yùn)用代入法進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以．又，，所以，所以．故r關(guān)于t的線性回歸方程為．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故估計(jì)該零件使用8年后需要進(jìn)行報(bào)廢處理．18．如圖，在直三棱柱中，D是的中點(diǎn)，，，．(1)證明：平面BCD．(2)求點(diǎn)D到平面的距離．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）確定，根據(jù)相似得到，得到線面垂直.（2）計(jì)算，，再根據(jù)等體積法計(jì)算得到距離.【詳解】（1）在直三棱柱中，平面，平面，故，，，平面，故平面，平面，．因?yàn)?，，所以．又D是的中點(diǎn)，，所以，所以，則．因?yàn)?，平面BCD，所以平面BCD．（2）．，所以．設(shè)點(diǎn)D到平面的距離為d，由，得，解得，即點(diǎn)D到平面的距離為．19．如圖，在中，D，E在BC上，，，．(1)求的值；(2)求面積的取值范圍．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)三角形面積公式結(jié)合條件可得，，進(jìn)而可得，然后利用正弦定理即得；（2）設(shè)，根據(jù)余弦定理及三角形面積公式結(jié)合條件可表示三角形面積，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合條件即得.【詳解】（1）因?yàn)?，，，所以，，故，即，則在中，根據(jù)正弦定理可得，；（2）設(shè)，則，由解得，在中，，則，，由，得，則，故面積的取值范圍為．20．已知函數(shù)．(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)證明：．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)證明見解析【分析】(1)求導(dǎo)得,令，根據(jù)的正負(fù)即可得的單調(diào)區(qū)間；(2)由題意可得即證明，令，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1）解：因?yàn)?，所?由，得．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）證明：等價(jià)于．令函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，即．21．已知橢圓的長軸長為4，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A為橢圓C的右頂點(diǎn)，B為橢圓C的上頂點(diǎn)，且的面積為．(1)求橢圓C的方程．(2)過點(diǎn)的直線l與橢圓相交于P，Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線AQ相交于點(diǎn)M，N是PM的中點(diǎn)，試問直線AN的斜率是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)直線AN的斜率為定值，定值為．【分析】（1）根據(jù)橢圓的性質(zhì)列方程組求解；（2）聯(lián)立直線l與橢圓方程，求出點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)，再由斜率公式結(jié)合韋達(dá)定理得出直線AN的斜率為定值.【詳解】（1）由題可知，解得故橢圓C的方程為．（2）由題可知，直線l的斜率一定存在，設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立方程組,消去y整理得．，解得，，．直線AQ的方程為，令，得，即點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為．直線AN的斜率．故直線AN的斜率為定值，且該定值為．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決問題（2）的關(guān)鍵在于，聯(lián)立直線和橢圓方程，利用韋達(dá)定理建立的聯(lián)系，從而證明直線AN的斜率為定值.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為．(1)求出的普通方程和的直角坐標(biāo)方程；(2)若與有公共點(diǎn)，求m的取值范圍．【答案】(1)：，：(2)【分析】（1）消參法求的普通方程，公式法求的直角坐標(biāo)方程；（2）根據(jù)與有公共點(diǎn)，即圓心到直線距離小于等于半徑列不等式求參數(shù)范圍.【詳解】（1）因?yàn)椋缘钠胀ǚ匠虨椋驗(yàn)椋?，故的直角坐?biāo)方程為．（2）因?yàn)榕c有公共點(diǎn)，且不在上，且圓心為，半徑為1，所以，解得，故m的取值范圍為．