年數(shù)一真題解析2011數(shù)學(xué)

f

lnf(y)，

f

f(y)f(y)(f(f2(

f(0)f(0)0，zf

f(0)lnf(0)

f(0)f(0)(f2f 2

f

fzf(xlnfy在點(0,0)f(0)lnf(0)0，f(0)lnf(0)f(0)f(01，f(0 4、設(shè)I 4lnsinxdx,J 4lncotxdx,K 4lncosxdx，則I,J,K的大小關(guān)系是( IJ【答案

IK

JI

KJ 【解析】x 時，0sinx 4

2cosxcotx，因此lnsinxlncosxlncot2 4lnsinxdx 4lncosxdx 4lncotxdx，故選 5.A為3ABB的第二行與第一行得單位矩陣. P 0,

1,則A

PP PP 1 2 【解析APB，PBEABP1P1P1PP1 2

則x

【解析x0的基礎(chǔ)解系只有一個知rA3rA1AA

AE0知，,,x0x01 10 0

（C）f1xF2

2f2xF1（D）f1xF2xf2xF1

f1xF2xf2xF1xdxF1xF2x 1f1xF2xf2xF1x選（D 量與相互獨立且與存在記Umaxx,y,Vminx,y，

(UV)（

(B)

【答案】B【考點分析】本題考查隨量數(shù)字特征的運算性質(zhì)。計算時需要先對隨量UV進(jìn)行處【解析】由于UVmax{X,Y}min{X,YE(UV)E(max{X,Y}min{X,Y})E(XY)E(X)E(Y故應(yīng)選x9yx

tantdt0x

4s4【答案】1 即可4 【解析s

4y'0

dx

4tan2xdx0

4sec2x1dxtanxx410 010yyexcosxy(0)0y【答案ysinye1dx[excosxe1dxdxC]ex[cosxdxC]ex[sinx2y(0)0，得C0y2

【答案】

x,

01t

dt

2F2F ysin

【解析

1x2y2

2x

1x2y2

412Lx2y21zxyzzxzdxxdyL【答案】

ydz222

xcos【解析L的參數(shù)方程為ysinzcostsin

，其中t從0到2xzdxxdyL

y222022cost(costsint)(sint)costcostsin2t(costsin022sintcos2tsin2tcostcos2tsin3t 13x23y2z22axy2xz2yz4y24z24，則a 【答案】征值，通過特征值的相關(guān)性質(zhì)可以解出a。】本題等價于將二次型f(xyz)x23y2z22axy2xz2yz經(jīng)正交變換后化為了 fy24z2。由正交變換的特點可知，該二次型的特征值為140 該二次型的矩陣為A 1，可知Aa22a10，因此a1 14、設(shè)二維隨量(X,Y)服從N(,;2,2;0)，則E(XY2)【答案3【解析：由于0，由二維正態(tài)分布的性質(zhì)可知隨量X,Y獨立。因此E(XY2)EXEY2由于(X,YN(;2,2;0EXEY2DYEY222EXY22232。1limln(1x)ex15（本題滿分10分）求極限x0 【答案】e1 1

x2 1 ln(1x)x2

1ln(1x)ex ln(1x)xex

e1

ex02x0 limx ex02x(1x)e

x0 16（9分）zf(xyyg(xfg(xx22

x1,y 【答案f'(1,1f

【解析z

f'(xy,yg(x))yf'(xy,yg(x))yg' 2

f'(xy,yg(x))xyf'(xy,yg(x))yg(x)f'(xy,f'(xy,yg(x))xyg'(x)f'(xy,yg(x))yg(x)g'(x)f'(xy,yg(x))g'(x) g(xx1g(11g(10故

2 x2

f'(1,1)f

17（10分）求方程karctanxx0不同實根的個數(shù)，其中k【答案】k1時，方程karctanxx0k1時，方程karctanxx0 k1【解析f(xkarctanxxf(00

1x21

1k1f(x0f(x在(f(xx軸與只有一個交點，也即方程karctanxx0只有一個實根

k1時，在(0和(0f(x0f(x在(0和(0f(00f(x的圖像在(0和(0x

k1

x

f(x0f(x在

k

k1kkf(00f(x在kk

k

k1f(x)(

k1或

k1f(x0f(x在(

k1或

k1f

k1)0,

f(x)f(k1)0,

f(x)f(x在(

k1x軸無交點，在

k1xk1時，方程karctanxx0k1時，方程karctanxx01（1）n

ln(11) 設(shè)

11 1lnn(n1 ，證明數(shù)列{a} （2）（1）n先證明ln(1xxx0

xx

ln(1xxx0f(xxln(1x)。由于fx

1

0x0，可知f(x)在0上單調(diào)遞增。又由于f(00x0f(xf(00。也即ln(1xxx0

x

ln(1x),x0g(x)ln(1x

x

gx)

1

(1

0x0g(x在0g(0)0x0g(x)g(0)0

x

ln(1xx0

x

ln(1xxx0

a ln(11，由不等式

ln(11可知：數(shù)列a

n1

n1 又由不等式ln(111 a11 1lnnln(11ln(11ln(11lnnln(n1lnn0 19（本題滿分11分）已知函數(shù)

f(x,y)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且

f(xy)dxdyaD{(x,y|0x10y1}Ixyfxy(x, 【答案【解析xyfxy(xy)dxdyD xyfxy(x,y)dxdy

xyf(x, D 011 011

xyfxy(x,y)dxy xyfxy(x,y)dx

xdfy(x,y)xyfy(x,y)

yfy(x,y)dxyfy(1,y)

yf(x,y 0 y 0 故xyfxy(x,y)dx

yf(x,y)dxy yyxyfxy(x,y)dxdydyxyfxy(x,y)dxy

yf(x, D y y

dyyfy(x,y)dx

yf(x,01再考慮積分01

yfy(x,y)dyx yfy(x,y)dy

ydfxyfxy(x,y)dxdyD20（11分

0,1,1T,

1,a,1T,1,2,3T,

1,3,5T線性表出。①求a；②將由,,

5【答案：①a5；②

3

10【解析1,2,3123可知1

3

4a50，解得aa②本題等價于求三階矩陣C使得1231,2,3可知

1,2

1,, 計算可得C 10 5因此

3

10 11 21（本題滿分11分）A為三階實矩陣，R(A)2，且A 0 11

- （1） 1 A

- - 1 1 （1） 01 1 1 1 1

- 可知：1，-1的特征值，10與201 1 rA20的特征值0的特征向量與12正交設(shè)

xx

203x1x3有

得xx

k1

- 對應(yīng)的特征向量分別為001 1 其中

，

1 1 0

故A 1

1 21

1 2

0 0

0（11分X01PY01PPX2Y2（1）ZXYXY【答案（1）XY0100010Z-01PXY（1）PX0,Y10PX1,Y1PX1,Y1PX0,Y1PY11/PX1,Y00PX0,Y0PX1,Y0PX0,Y0PY01/PX0,Y10PX0,Y1PX1,Y1PX0,Y1PY11/YX01001/011/01/ZXY可能的取值有10P(Z1P(X1,Y113P(Z1PX1,Y113，P(Z0)13ZXYZ-01PEX2/3，EY0，EXY0,cov(X,Y)EXYEXEY XY

cov(X,Y),23（本題滿分11分）設(shè)x,x 為來自正態(tài)總體N(,2)的簡單隨機樣本，其中已知，2, ^求參數(shù)2的最大似然估計 n(

nn nn ^最重要的是要將2看作一個整體。在求2質(zhì) 【解析

exp exp

(x)2

)2i0i0 i0i0

2（1）似然函數(shù)Lx,2（1）似然函數(shù)Lx,x ,x,2

n(x

n(x則lnL

ln2nln ln2

ln2

2 2 2

ln n(x 2 22 22ln

2

n(x

n(

0可得2的最大似然估計值2