高中人教A第二冊課時作業(yè)8.3.2　圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精【新教材】2020-2021學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版必修第二冊課時作業(yè)8.3.2圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積含解析課時作業(yè)25圓柱、圓錐、圓臺、球的表面積和體積時間：45分鐘-—基礎(chǔ)鞏固類——一、選擇題1．圓錐的軸截面是正三角形，那么，它的側(cè)面積是底面積的（D）A．4倍B．3倍C。eq\r(2)倍D．2倍解析:設(shè)底面半徑為R，由條件知母線長為2R，S側(cè)＝πR·2R＝2πR2＝2S底．2．圓臺的體積為7π,上、下底面的半徑分別為1和2，則圓臺的高為（A）A．3B．4C．5D．6解析：設(shè)圓臺的高為h,由題意得V＝eq\f(1,3)（π＋2π＋4π）h＝7π，∴h＝3。3．設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a、a、aA．3πa2 B．6πa2C．12πa2 D．24πa2解析：根據(jù)題意球的直徑等于長方體的體對角線長度，半徑R滿足(2R)2＝6a2，所以S球＝4πR2＝6πa24．（多選）在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，若以其中一邊所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周形成一個圓柱體，則該圓柱的體積可能為(AD)A．48π B．12πC．9π D．36π解析:由題可知，圓柱的底面半徑為4，高為3，或底面半徑為3，高為4。5．設(shè)一正方體的表面積為24cm2，一個球內(nèi)切于該正方體,那么這個球的體積是(D)A。eq\r（6)πcm3 B。eq\f(32π，3)cm3C.eq\f（8π，3)cm3 D.eq\f(4π，3）cm3解析：球的直徑等于正方體的棱長．6．一個球與一個上、下底面為正三角形，側(cè)面為矩形的棱柱的三個側(cè)面和兩個底面都相切，已知這個球的體積為eq\f(32π,3），那么這個正三棱柱的體積是(D）A．96eq\r(3） B．16eq\r（3）C．24eq\r(3） D．48eq\r（3）解析：由題意可知正三棱柱的高等于球的直徑,從棱柱中間截得球的大圓內(nèi)切于正三角形,正三角形與棱柱底的三角形全等，設(shè)三角形邊長為a，球半徑為r,由V球＝eq\f（4，3)×πr3＝eq\f（32π,3),得r＝2，S底＝eq\f(1，2)×a×eq\r(a2－\f（a2，4）)＝eq\f(1,2)a·r×3，得a＝2eq\r（3)r＝4eq\r（3)，所以V正三棱柱＝S底·2r＝48eq\r（3）.二、填空題7．湖面上漂著一個小球，湖水結(jié)冰后將球取出，冰面上留下了一個直徑為6cm，深為1cm的空穴，則該球半徑是5cm，表面積是100πcm2解析：如圖,設(shè)球心為O，OC是與冰面垂直的一條球半徑,冰面截球得到的小圓圓心為D，AB為小圓D的一條直徑，設(shè)球的半徑為R，則OD＝R－1，則(R－1）2＋32＝R2，解得R＝5cm，所以該球表面積為S＝4πR2＝4π×52＝100π（cm2)．8．如圖，一個圓錐形的空杯子上面放著一個半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了不會(填“會"或“不會”)溢出杯子．解析:因為V半球＝eq\f（1，2)×eq\f(4,3）πR3＝eq\f（1,2）×eq\f(4，3)π×43≈134(cm3）,V圓錐＝eq\f（1，3)Sh＝eq\f（1,3)πr2h＝eq\f（1，3)π×42×12≈201（cm3),所以冰淇淋融化了不會溢出杯子．9．一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形,則它們的表面積之比為21。解析：S圓柱＝2·πeq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（a，2）)）2＋2π·eq\f（a,2)·a＝eq\f（3，2)πa2,S圓錐＝πeq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2）))2＋π·eq\f（a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2,∴S圓柱S圓錐＝21.三、解答題10．盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5cm，兩個直徑為5cm的玻璃小球都浸沒于水中，若取出這兩個小球，則水面將下降多少？解:設(shè)取出小球后,容器中水面下降hcm,兩個小球的體積為V球＝2eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1(\f（4π,3)×\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(5，2）））3)）＝eq\f（125π,3）(cm3）．此體積即等于它們在容器中排開水的體積V＝π×52×h，所以eq\f（125π,3）＝π×52×h，所以h＝eq\f（5,3），即若取出這兩個小球,則水面將下降eq\f（5，3)cm.11．如圖所示(單位：cm)四邊形ABCD是直角梯形，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積．解：由題圖可知，所成幾何體為一圓臺頂部挖去半徑與上底面半徑相等的半球所剩幾何體．eq\f(1，2）S球＝eq\f（1，2）×4π×22＝8π（cm2）,S圓臺側(cè)＝π（2＋5)eq\r（5－22＋42）＝35π（cm2）．S圓臺下底＝π×52＝25π（cm2），即該幾何體的表面積為8π＋35π＋25π＝68π(cm2）．又V圓臺＝eq\f（π,3）×（22＋2×5＋52)×4＝52π(cm3），V半球＝eq\f（1,2）×eq\f(4π,3)×23＝eq\f(16π，3）（cm3）．所以該幾何體的體積為V圓臺－V半球＝52π－eq\f(16π，3）＝eq\f(140π,3)（cm3)．——能力提升類——12．《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書中有如下問題:“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺．問:積及為米幾何?”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個圓錐的四分之一），米堆底部的弧長為8尺,米堆的高為5尺，問米堆的體積和堆放的米各為多少？"已知1斛米的體積約為1。62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米約有(B）A．14斛 B．22斛C．36斛 D．66斛解析：由l＝eq\f(1,4)×2πr＝8得圓錐底面的半徑r＝eq\f(16，π）≈eq\f（16，3）(尺），所以米堆的體積V＝eq\f（1，4）×eq\f(1,3）πr2h＝eq\f（1,4）×eq\f（256,9）×5＝eq\f(320,9)(立方尺),所以堆放的米有eq\f(320，9）÷1。62≈22（斛)，故選B.13．已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱的高為2，這個球的表面積為6π，則這個正四棱柱的體積為(B)A．1B．2C．3D．4解析:S表＝4πR2＝6π，所以R＝eq\f（\r(6),2)。設(shè)正四棱柱底面邊長為x，則eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f(\r(2)，2)x）)2＋1＝R2，所以x＝1.所以V正四棱柱＝2.故選B。14．現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱各一個．若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為eq\r(7）.解析：底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2、高為8的圓柱的總體積為eq\f（1,3）π×52×4＋π×22×8＝eq\f（196π，3).設(shè)新的圓錐和圓柱的底面半徑為r，則eq\f(1，3)π×r2×4＋π×r2×8＝eq\f（28π，3)r2＝eq\f(196π，3)，解得r＝eq\r(7）.15．已知過球面上A、B、C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30,求球的表面積和體積．解：∵ABBCAC＝182430＝345，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，∴斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示),設(shè)O′C＝r，OC＝R,則球半徑為R，截面圓半徑為r,在Rt△O′CO中,由題設(shè)知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC）＝eq\f(1，2），∴∠O′CO＝30°，∴eq\f（r,R）＝cos30°＝eq\f(\r（3），2)，即R＝eq\f(2，\r（3）)r，(＊）又2r＝AC＝30，∴r＝15,代入（＊）得R＝10eq\r(3).∴