統(tǒng)計學之虛擬變量

本資料來源第一頁，共四十七頁。第七章含有定性信息的多元回歸模型---虛擬變量

一、虛擬變量的基本含義二、虛擬變量的引入三、虛擬變量的設(shè)置原則四、虛擬因變量的模型

---二值選擇的線性概率模型第二頁，共四十七頁。一、虛擬變量的基本含義許多經(jīng)濟變量是可以定量度量的，如：商品需求量、價格、收入、產(chǎn)量等。但也有一些影響經(jīng)濟變量的因素無法定量度量，如：職業(yè)、性別對收入的影響，戰(zhàn)爭、自然災(zāi)害對GDP的影響，季節(jié)對某些產(chǎn)品（如冷飲）銷售的影響等等。為了在模型中能夠反映這些因素的影響，并提高模型的精度，需要將它們“量化”。第三頁，共四十七頁。

這種“量化”通常是通過引入“虛擬變量”來完成的。根據(jù)這些因素的屬性類型，構(gòu)造只取“0”或“1”的人工變量，通常稱為虛擬變量（dummyvariables），記為D。例如，反映文化程度的虛擬變量可取為：

1，本科學歷

D=0，非本科學歷第四頁，共四十七頁。

一般地，在虛擬變量的設(shè)置中：基礎(chǔ)類型、肯定類型取值為1；比較類型，否定類型取值為0。第五頁，共四十七頁。概念：

同時含有一般解釋變量與虛擬變量的模型稱為虛擬變量模型或者方差分析（analysis-ofvariance:ANOVA）模型。一個以性別為虛擬變量考察企業(yè)職工薪金的模型：其中：Yi為企業(yè)職工的薪金，Xi為工齡，

Di=1，若是男性，Di=0，若是女性。第六頁，共四十七頁。二、虛擬變量的引入

虛擬變量做為解釋變量引入模型有兩種基本方式：加法方式和乘法方式。

上述企業(yè)職工薪金模型中性別虛擬變量的引入采取了加法方式。在該模型中，如果仍假定E(i)=0，則

企業(yè)女職工的平均薪金為：1.加法方式第七頁，共四十七頁。

企業(yè)男職工的平均薪金為：幾何意義：

假定2>0，則兩個函數(shù)有相同的斜率，但有不同的截距。意即，男女職工平均薪金對工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。第八頁，共四十七頁?？梢酝ㄟ^傳統(tǒng)的回歸檢驗，對2的統(tǒng)計顯著性進行檢驗，以判斷企業(yè)男女職工的平均薪金水平是否有顯著差異。02第九頁，共四十七頁。

又例：在橫截面數(shù)據(jù)基礎(chǔ)上，考慮個人保健支出對個人收入和教育水平的回歸。

教育水平考慮三個層次：高中以下，高中，大學及其以上。

這時需要引入兩個虛擬變量：第十頁，共四十七頁。模型可設(shè)定如下：

在E(i)=0的初始假定下，高中以下、高中、大學及其以上教育水平下個人保健支出的函數(shù)：高中以下：第十一頁，共四十七頁。

高中：

大學及其以上：

假定3>2，其幾何意義：第十二頁，共四十七頁。

還可將多個虛擬變量引入模型中以考察多種“定性”因素的影響。

如在上述職工薪金的例中，再引入代表學歷的虛擬變量D2：本科及以上學歷本科以下學歷職工薪金的回歸模型可設(shè)計為：第十三頁，共四十七頁。女職工本科以下學歷的平均薪金：女職工本科以上學歷的平均薪金：于是，不同性別、不同學歷職工的平均薪金分別為：男職工本科以下學歷的平均薪金：男職工本科以上學歷的平均薪金：第十四頁，共四十七頁。2.乘法方式加法方式引入虛擬變量，考察：截距的不同。許多情況下：往往是斜率就有變化，或斜率、截距同時發(fā)生變化。斜率的變化可通過以乘法的方式引入虛擬變量來測度。第十五頁，共四十七頁。

例：根據(jù)消費理論，消費水平C主要取決于收入水平Y(jié)，但在一個較長的時期，人們的消費傾向會發(fā)生變化，尤其是在自然災(zāi)害、戰(zhàn)爭等反常年份，消費傾向往往出現(xiàn)變化。這種消費傾向的變化可通過在收入的系數(shù)中引入虛擬變量來考察。如，設(shè)消費模型可建立如下：第十六頁，共四十七頁。這里，虛擬變量D以與X相乘的方式引入了模型中，從而可用來考察消費傾向的變化。假定E(i)=0，上述模型所表示的函數(shù)可化為：

正常年份：

反常年份：第十七頁，共四十七頁。

當截距與斜率發(fā)生變化時，則需要同時引入加法與乘法形式的虛擬變量。例，考察1990年前后的中國居民的總儲蓄-收入關(guān)系是否已發(fā)生變化。表中給出了中國1979~2001年以城鄉(xiāng)儲蓄存款余額代表的居民儲蓄以及以GNP代表的居民收入的數(shù)據(jù)。第十八頁，共四十七頁。第十九頁，共四十七頁。

以Y為儲蓄，X為收入，可令：1990年前：Yi=1+2Xi+1ii=1,2…,n1

1990年后：Yi=1+2Xi+2ii=1,2…,n2

則有可能出現(xiàn)下述四種情況中的一種：(1)1=1

，且2=2

，即兩個回歸相同，稱為重合回歸（CoincidentRegressions）；第二十頁，共四十七頁。(2)11,但2=2

，即兩個回歸的差異僅在其截距，稱為平行回歸（ParallelRegressions）;(3)1=1

，但22

，即兩個回歸的差異僅在其斜率，稱為匯合回歸(ConcurrentRegressions)；(4)11，且22

，即兩個回歸完全不同，稱為相異回歸（DissimilarRegressions）。第二十一頁，共四十七頁。平行回歸第二十二頁，共四十七頁。匯合回歸第二十三頁，共四十七頁。相異回歸第二十四頁，共四十七頁。

可以運用鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗。這一問題也可通過引入乘法形式的虛擬變量來解決。

將n1與n2次觀察值合并，并用以估計以下回歸：Di為引入的虛擬變量：第二十五頁，共四十七頁。

于是有：可分別表示1990年后期與前期的儲蓄函數(shù)。

在統(tǒng)計檢驗中，如果3=0的假設(shè)被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的截距不同，如果4=0的假設(shè)被拒絕，則說明兩個時期中儲蓄函數(shù)的斜率不同。第二十六頁，共四十七頁。具體的回歸結(jié)果為：(-6.11)(22.89)(4.33)(-2.55)

由3與4的t檢驗可知：參數(shù)顯著地不等于0，強烈示出兩個時期的回歸是相異的，儲蓄函數(shù)分別為：1990年前：1990年后：=0.9836第二十七頁，共四十七頁。第二十八頁，共四十七頁。第二十九頁，共四十七頁。第三十頁，共四十七頁。第三十一頁，共四十七頁。鄒氏結(jié)構(gòu)變化的檢驗和虛擬變量法的比較鄒檢驗只是告訴我們結(jié)構(gòu)是否已經(jīng)變化，而不能告訴我們當有變化時候是因為只是斜率相異或只是截距相異，或兩者均相異。但是虛擬變量法不僅告訴我們兩個回歸是否有差異，而且落實到差異的起因——由于截距或由于斜率或由于兩者。我們只要做一個回歸，因為其他的回歸可以方便地由它導出。這個單一的回歸可以用來做各種假設(shè)檢驗。由于合并而增加了自由度，參數(shù)估計的相對精度也有所改進。第三十二頁，共四十七頁。3.臨界指標的虛擬變量的引入（分段回歸）

在經(jīng)濟發(fā)生轉(zhuǎn)折時期，可通過建立臨界指標的虛擬變量模型來反映。例如，進口消費品數(shù)量Y主要取決于國民收入X的多少，中國在改革開放前后，Y對X的回歸關(guān)系明顯不同。

第三十三頁，共四十七頁。則進口消費品的回歸模型可建立如下：

這時，可以t*=1979年為轉(zhuǎn)折期，以1979年的國民收入Xt*為臨界值，設(shè)如下虛擬變量：第三十四頁，共四十七頁。OLS法得到該模型的回歸方程為：則兩時期進口消費品函數(shù)分別為：當t<t*=1979年，當tt*=1979年，第三十五頁，共四十七頁。第三十六頁，共四十七頁。第三十七頁，共四十七頁。第三十八頁，共四十七頁。第三十九頁，共四十七頁。三、虛擬變量的設(shè)置原則

虛擬變量的個數(shù)須按以下原則確定：

每一定性變量所需的虛擬變量個數(shù)要比該定性變量的類別數(shù)少1，即如果有m個定性變量，只在模型中引入m-1個虛擬變量。

例已知冷飲的銷售量Y除受k種定量變量Xk的影響外，還受春、夏、秋、冬四季變化的影響，要考察該四季的影響，只需引入三個虛擬變量即可：第四十頁，共四十七頁。則冷飲銷售量的模型為：在上述模型中，若再引入第四個虛擬變量：第四十一頁，共四十七頁。則冷飲銷售模型變量為：其矩陣形式為：

如果只取六個觀測值，其中春季與夏季取了兩次，秋、冬各取到一次觀測值，則式中的：第四十二頁，共四十七頁。

顯然，(X,D)中的第1列可表示成后4列的線性組合，從而(X,D)不滿秩，參數(shù)無法唯一求出。

這就是所謂的“虛擬變量陷阱”，應(yīng)避免。第四十三頁，共四十七頁。四、虛擬因變量模型---二值選擇的線性概率模型第四十四頁，共四十七頁。第四十五頁，共四十七頁。第四十六頁，共四十七頁。內(nèi)容總結(jié)本資料來源。意即，男女職工平均薪金對工齡的變化率是一樣的，但兩者的平均薪金水平相差2。如在上述職工薪金的例中，再引入代表學歷的虛擬變