極限存在準(zhǔn)則兩個重要公式

08五月20231第六節(jié)極限存在準(zhǔn)則兩個重要極限

第一章（Existencecriterionforlimits&Twoimportantlimits）二、兩個重要極限一、極限存在的兩個準(zhǔn)則三、內(nèi)容小結(jié)08五月202321.單調(diào)有界準(zhǔn)則數(shù)列單調(diào)增加單調(diào)減少準(zhǔn)則I

單調(diào)有界數(shù)列必有極限單調(diào)上升有上界數(shù)列必有極限單調(diào)下降有下界數(shù)列必有極限說明:(1)在收斂數(shù)列的性質(zhì)中曾證明：收斂的數(shù)列一定有界，但有界的數(shù)列不一定收斂．(2)利用準(zhǔn)則Ⅰ來判定數(shù)列收斂必須同時滿足數(shù)列單調(diào)和有界這兩個條件．08五月20233(3)準(zhǔn)則Ⅰ只能判定數(shù)列極限的存在性，而未給出求極限的方法．例如，數(shù)列，雖然有界但不單調(diào)；，雖然是單調(diào)的，但其無界，易知，這兩數(shù)列均發(fā)散．?dāng)?shù)列(4)

對于準(zhǔn)則I，函數(shù)極限根據(jù)自變量的不同變化過程也有類似的準(zhǔn)則，只是準(zhǔn)則形式上略有不同.例如，準(zhǔn)則I′

設(shè)函數(shù)在點的某個左鄰域內(nèi)單調(diào)在的左極限必存在．并且有界，則08五月20234作為準(zhǔn)則Ⅰ的應(yīng)用，我們討論一個重要極限：首先，證是單調(diào)的．＝＝所以，數(shù)列是單調(diào)增加的．08五月20235顯然，單調(diào)性的證明可證得數(shù)列是單調(diào)增加的．設(shè)數(shù)列由于數(shù)列是單調(diào)增加的，所以數(shù)列是單調(diào)減少的.又其次，證有界．類似于，則則.綜上，根據(jù)極限存在準(zhǔn)則Ⅰ可知，數(shù)列是收斂的.08五月20236通常用字母來表示這個極限，即也可以證明，當(dāng)取實數(shù)而趨于或時，函數(shù)的極限都存在且都等于，即利用變量代換，可得更一般的形式08五月20237例1解:例2求解:08五月20238例3.求解:

原式=08五月202392.夾逼準(zhǔn)則準(zhǔn)則II證:由條件(2),當(dāng)時,當(dāng)時,令則當(dāng)時,有由條件(1)即故08五月202310我們可將準(zhǔn)則II推廣到函數(shù)的情形：準(zhǔn)則II′且注意:準(zhǔn)則II和準(zhǔn)則II′統(tǒng)稱為夾逼準(zhǔn)則..,的極限是容易求的與并且與關(guān)鍵是構(gòu)造出利用夾逼準(zhǔn)則求極限08五月202311例3解：由夾逼準(zhǔn)則得08五月202312解:

利用夾逼準(zhǔn)則.且由思考題：？1211lim222=???è?++++++￥?pppnnnnnnL08五月202313夾逼準(zhǔn)則不僅說明了極限存在，而且給出了求極限的方法．下面利用它證明另一個重要的圓扇形AOB的面積證:

當(dāng)即亦即時，顯然有△AOB

的面積＜＜△AOD的面積故有注極限公式：08五月202314當(dāng)時注08五月202315例4求解:例5

求（課本例7）解:

令則因此原式注:利用變量代換，可得更一般的形式08五月202316例6求（課本例5）解:例7

求（補充題）解:08五月202317內(nèi)容小結(jié)1.

極限存在的兩個準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則;單調(diào)有界準(zhǔn)則.2.

兩個重要極限或注:

代表相同的表達式08五月202318預(yù)習(xí)內(nèi)容1、無窮小與無窮小的比較有哪些可能結(jié)果？2、無窮小的比較有何規(guī)則和注意事項？08五月202319思考與練習(xí)1.填空題

(1～4)08五月202320解：原式=2.求08五月2023213.證明

證明：對任一，有，則當(dāng)時，有于是,（1）當(dāng)時，由夾逼準(zhǔn)則得（2）當(dāng)時，同樣有08五月202322故極限存在，4.設(shè),且求解：設(shè)則由遞