隨機過程課件 附錄：母函數(shù)和特征函數(shù)簡介簡介_第1頁
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中國科學院大學2013～2014第一學期隨機過程講稿孫應飛§1母函數(shù)（生成函數(shù)）簡介對于取值非負整數(shù)的隨機變量，其母函數(shù)有極其良好的性質(zhì)且又便于計算和分析，因此引入母函數(shù)是非常必要的。母函數(shù)又稱生成函數(shù)(Generatingfunction)。母函數(shù)的定義定義：對于數(shù)列，稱冪級數(shù)為的母函數(shù)。定義：設為取值于非負整數(shù)隨機變量，分布率為，則稱 為隨機變量的概率母函數(shù)，簡稱母函數(shù)。一些常用分布的母函數(shù)若，則若，則若，則母函數(shù)的基本性質(zhì)（1）的母函數(shù)與其分布率是一一對應的，且有（2）設非負整值隨機變量相互獨立，而分別是它們的母函數(shù)，則的母函數(shù)為：（3）設隨機變量的母函數(shù)為，則有：（a）（b）母函數(shù)的應用設獨立同分布，且，求的分布。設獨立，且，證明。設獨立，且，證明。§2特征函數(shù)特征函數(shù)的定義定義：如果均為概率空間上的實值隨機變量，則稱為一復隨機變量，且定義復隨機變量的數(shù)學期望為。由以上定義，有。定義：若隨機變量的分布函數(shù)為，則稱：為隨機變量的特征函數(shù)（c.f.）特征函數(shù)其實就是隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望。特征函數(shù)的簡單性質(zhì)（1）由于，所以對任意隨機變量，特征函數(shù)都有意義（2）特征函數(shù)是一實變量的復值函數(shù)（3）特征函數(shù)只與分布函數(shù)有關(guān)，因此又稱為某一分布的特征函數(shù)（4）若的特征函數(shù)為，則的特征函數(shù)為函數(shù)（5）（6）對離散型的隨機變量，其分布率為，則其特征函數(shù)為，若是連續(xù)型隨機變量，概率密度為，則其特征函數(shù)為。2．幾種常見分布的特征函數(shù)若，則若，則若，則特征函數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)1，且。性質(zhì)2在上一致連續(xù)性質(zhì)3若存在，則對于，階可導，且特別有性質(zhì)4具有非負定性，即對于任意的正整數(shù)及任意的實數(shù)與復數(shù)，總有：性質(zhì)5設相互獨立，分別為它們的特征函數(shù)，則的特征函數(shù)為特征函數(shù)與分布函數(shù)的關(guān)系定理1：分布函數(shù)到特征函數(shù)的變換是一一對應的。定理2：分布函數(shù)序列與分布

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