(實驗班用)數(shù)學習題詳解-11

第十一章復數(shù)11.1復數(shù)的概念1．取何實數(shù)時，復數(shù)．（1）是實數(shù)．（2）是虛數(shù)．（3）是純虛數(shù)．解：（1）．故時，是實數(shù)．（2）且．故當且時，是虛數(shù)．（3）或．故當或時，是純虛數(shù)．2．設是純虛數(shù)，且，求．解：設，則．故．3．已知復數(shù)，若，求實數(shù)的值．解：，將其代入．4．滿足的有序?qū)崝?shù)對有__________組．解：．共4組．5．若復數(shù)是純虛數(shù)，則求實數(shù)的值．解：．6．已知，則“”是“復數(shù)是純虛數(shù)”的什么條件？解：取，則復數(shù)為實數(shù)，而非純虛數(shù)，又若復數(shù)是純虛數(shù)，則必有，故其為必要不充分條件．7．已知，則命題“是純虛數(shù)”是命題“”的__________條件．解：當是純虛數(shù)，則，又取，則但非純虛數(shù)，所以其為充分非必要條件．8．使“復數(shù)為實數(shù)”的充分而不必要條件的是（）．A．為實數(shù) B．為實數(shù) C． D．解：對為純虛數(shù)的，有、成立，又為實數(shù)，故A、B、C選項錯誤．又，當時，不成立，所以為復數(shù)為實數(shù)的充分而不必要條件．9．已知關于的方程有實根，求這個實根以及實數(shù)的值．解：，得實根為或，值為或．10．已知復數(shù)當，求的取值范圍．解：．解得的取值范圍是．11．若，試求．解：由于，故，故．12．已知復數(shù)，若，求證：．證：，．13．設，若對所有，都有，求的取值范圍．解：若存在，使得，則，所以要使對所有，都有，則．14．已知方程，有實根，求實根的取值范圍．解：設為方程的一個實根，則，又有，則．11.2復數(shù)的代數(shù)運算1．計算：．解：利用的周期為4來解題．．2．（1）計算．（2）計算．解：（1）．（2）．3．已知兩個復數(shù)和，它們之和是，它們之差是，求、．解：，解得：．4．若復數(shù)滿足，求證：．證：設，．5．若，則的值為__________．解：，然后降次可得：．6．若，求的值．解：．．7．求同時滿足下列兩個條件的復數(shù)：（1）．（2）的實部、虛部都是整數(shù)．解：設，則，則或，或．8．設，求滿足且的復數(shù)．解：設，則．，或．9．已知復數(shù)（、），集合．（1）若，求的最小值．（2）若，求的最小值的表達式．解：，得到．（1），，的最小值為．（2）設，，得到10．已知、為復數(shù)，為純虛數(shù)，，且，求．解：設，則得出．則，則．11．求所有整數(shù)，使成立．解：分類討論，分別代入檢驗可得：．12．已知分別為1的立方根，求的值．（）解：無妨設．對分類討論即可．被3整除時，原式為3；反之，為0．13．已知復數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，，若，求的取值范圍．解：，．11.3復數(shù)的模和共軛復數(shù)的運算性質(zhì)1．已知復數(shù)滿足，且為實數(shù)，求復數(shù)．解：設，則．．則或，得出：．2．已知，問為何值時，與為共軛復數(shù)．解：或．3．已知復數(shù)滿足，求．解：．設，則，解得：．4．已知復數(shù)滿足，求的最值．解：由復數(shù)幾何意義可知，為復數(shù)在坐標系中所表示的點與點的距離，因此，最小為0，最大為4．5．求復數(shù)的模．解：．6．設復數(shù)滿足，求的最大值與最小值，并求出相應的復數(shù)的值．解：設，．當，即時，；，即時，．7．（1）已知，求的值．（2）若復數(shù)的模均為，求的值．解：（1）．（2）．8．已知復數(shù)，且，求的取值范圍．解：，，．9．已知復數(shù)，求的最大值和最小值．解：．10．設復數(shù)滿足．（1）若滿足，求．（2）若，是否存在常數(shù)，使得等式恒成立，若存在，試求出；若不存在說明理由．解：（1）由，兩邊同時取共軛復數(shù)可得：．代入已知方程得：．即．令，即可得到．即．解得或．則，或．（2）由已知得．又由于，則．則，則．整理得：．即．則，即．則存在常數(shù)，使得等式恒成立．11.4復數(shù)與復數(shù)的加法、減法和幾何意義1．是否存在實數(shù)，使得復數(shù)在復平面上對應的點在虛軸上，若存在，求出所有的實數(shù)，若不存在，請說明理由．解：，這樣的不存在．2．（1）若且，求的最小值．（2）若且，求的最大值．解：利用復數(shù)和幾何意義解題，看成點與點之間的距離問題，（1）3；（2）7．3．已知復數(shù)滿足的虛部為2．（1）求；（2）設在復平面上的對應點分別為，求的面積．解：（1）或．（2）．4．已知復數(shù)滿足，且，求與的值．解：，所以復數(shù)構(gòu)成一個矩形．．5．已知，且，求復數(shù)．解：，，得出：．經(jīng)檢驗，滿足題意．6．已知為復數(shù)，和均為實數(shù)，其中是虛數(shù)單位．（1）求復數(shù)．（2）若復數(shù)在復平面上對應的點在第一象限，求實數(shù)的取值范圍．解：（1）．（2）．7．若，求的最大值和最小值．解：由幾何意義可得：表示以（）為圓心的單位圓，則．8．設復數(shù)滿足，求的最大值及此時的復數(shù)．解：由幾何意義可得：表示以原點為圓心半徑為2的圓，表示圓上的點與（0，1）的距離，顯然則當時，取最大值3．9．已知是實數(shù)，求復數(shù)在復平面上所對應的點集的圖形．解：設，則．則或．設，．則或，得出：或或（不同時為0）．10．設復數(shù)在復平面上所對應的點是，畫出滿足下列條件的點的集合所表示的區(qū)域：（1）．（2）．（3）．解：（1）由于，則點位于虛軸（軸）的右側(cè)，點的集合表示由虛軸右側(cè)所有點構(gòu)成的半平面，見下圖．（2）則．則點的集合表示由直線圍成的矩形，如下圖，包括邊界，但不包括邊界，以及矩形內(nèi)的實軸部分．（3）由于，則點在該以原點為圓心2為半徑的圓上以及該圓內(nèi)部．而，即，它表示一條直線，過點．則點的集合表示過點的直線被圓面所截得的線段（包括端點）．11．已知兩個復數(shù)集：及的交集為非空集合，求的取值范圍．解：．12．復數(shù)且對應的點在第一象限，若復數(shù)對應的點是正三角形的三個頂點，求實數(shù)的值．解：．復數(shù)對應的點是三角形的三個頂點，得．聯(lián)立，求得．13．已知復數(shù)在的條件下變動，而，則復數(shù)對應點的形成的區(qū)域圖形的面積是__________．解：對應的形成的區(qū)域圖形是一個以點為圓心，4為半徑的圓面，其面積為．14．關于的二次方程中，、、均是復數(shù)，且．設這個方程的兩個根為，求的最大值和最小值．解：由韋達定理可知：．．設，帶入可得：．的幾何意義為圓上的點到原點的距離問題．因此，的最大值是的最小值是．15．設復數(shù)滿足，且在復平面上對應的點在第二、四象限的角平分線上，，求和的值．解：設，則聯(lián)立．當時，有，即，得．當時，同理可得．16．設為實數(shù)，且存在復數(shù)滿足和，求的取值范圍．解：．17．設是復數(shù)，則的最小值等于__________．解：提示：在復平面上，設，則當為的費馬點時，取最小值．18．在復平面上有兩個動點和，它們分別對應于復數(shù)與，且滿足，當沿曲線運動時，求的最值．解：當沿曲線運動時，的軌跡方程為．設的坐標為，即，則．，則的最小值是1，最大值是3．19．已知為直線上的動點，以為邊作正（按順時針方向排列），則點的軌跡方程為__________．解：設的直角坐標為（），對應復平面的復數(shù)為．則．對應的的直角坐標為，帶入到方程中，可得．11.5復數(shù)的三角形式與運算1．下列復數(shù)是不是復數(shù)的三角形式？①．②．③．④．解：由復數(shù)的三角形式定義可知，④是．2．（1）計算：．（2）已知、、是的三個內(nèi)角，三個復數(shù)，，試求的值．解：（1）原式．（2）轉(zhuǎn)化為三角形式．同理：．．則．．原式．3．若復數(shù)和在復平面上的對應點的距離為1，求復數(shù)的模與輻角主值．解：．，．4．已知復數(shù)滿足，，求．解：設，．或（舍），．5．有一個人在草原上散步，開始時從點出發(fā)，向東行走，每走1千米后，便向左轉(zhuǎn)角度，他走過千米后，首次回到原出發(fā)點，則__________．解：方法一：由正十二邊形可知：方法二：由幾何意義可知，記，則．．6．設復平面上單位圓內(nèi)接正20邊形的20個頂點所對應的復數(shù)依次為，則復數(shù)所對應的不同點的個數(shù)是__________．解：可設：，，…，，，，…，由此可知，所以表示四個不同的點．7．已知，（1）設，求的三角形式．（2）如果，求實數(shù)的值．解：（1）．（2）．8．在復平面上，一個正方形的四個頂點按照逆時針方向依次為（為原點），已知對應復數(shù)，求點和點所對應的復數(shù)．解：．．9．方程的7個根在復平面上對應的7個點，這些點在四個象限中只有1個點的象限是__________．解：．由復數(shù)的平方，得7個復數(shù)方根為，其中容易得只有是第三象限的角．10．若復數(shù)滿足，且，則的值為__________．解：設，則．．由萬能置換公式可知：，得到：．11．設復數(shù)，復數(shù)滿足，已知的對應點在虛軸的負半軸上，且，求的代數(shù)形式．解：設，．則，則．12．已知，，若在復平面上分別對應點，且，求的立方根．解：．設．則．，，．的立方根為．13．已知是實數(shù)，是非零復數(shù)，且滿足．（1）求的值．（2）設，若，求的值．解：（1）設．，則．（2），．14．已知，求復數(shù)．解：．15．已知復數(shù)滿足，且，則求的值．解：．16．設為的三內(nèi)角，復數(shù)，求的最大值．解：．．的最大值為．17．求證：．解：構(gòu)造法解題．設1是的次單位根為：，則都是其根．由．則．取，則．．．18．設復數(shù)的模相等，且，求實數(shù)的值．解：．19．若，求證：．證明：由已知解得，則由于，則，則．20．設復數(shù)，求函數(shù)的最大值以及對應的值．解：．．當時，取最大值．21．已知復數(shù)，（1）求及．（2）當復數(shù)滿足，求的最大值．解：（1）．；（2）由幾何意義可知：的最大值為．11.6復數(shù)乘除法的幾何意義1．復平面內(nèi)，已知等邊三角形的兩個頂點所表示的復數(shù)分別為，求第三個頂點所表示的復數(shù)．解：設第三個頂點所表示的復數(shù)為，則或，解得第三個頂點所表示的復數(shù)為或．2．已知向量所表示的復數(shù)滿足，將繞原點按順時針方向旋轉(zhuǎn)得，設所表示的復數(shù)為，求復數(shù)的輻角主值．解：，，．3．設，其中，是虛數(shù)單位，，且，求的輻角主值的取值范圍．解：，，．4．已知復數(shù)在復平面上分別對應點為復平面的原點．（1）若，向量逆時針旋轉(zhuǎn)，模變?yōu)樵瓉淼?倍后與向量重合，求．（2）若，試判斷四邊形的形狀．解：（1）．（2），顯然為菱形．5．已知復數(shù)、分別對應復平面上的點，且滿足條件：．（1）當為何值時，的面積取得最大值？并求出這個最大值．（2）當面積取得最大值時，求動點的軌跡．解：（1）．，則．．當時，的面積取得最大值為．（2），軌跡是以原點為圓心，為半徑的圓．6．設對應復平面上的點，點為原點，，則面積是__________．解：，，則，則面積是1．7．復平面上，非零復數(shù)對應的點在以（0，1）為圓心，1為半徑的圓上，的實部為零，的輻角主值為，則__________．解：．．，．8．復數(shù)列的通項公式為．（1）將數(shù)列的各項與復平面上的點對應，問從第幾項開始，以后所有各項對應的點都落在圓內(nèi)部．（2）將數(shù)列中的實數(shù)項按原來的順序排成一個新數(shù)列，求數(shù)列的通項以及所有項的和．解：（1）設數(shù)列在復平面上對應點的坐標為，則，要使得點落在圓的內(nèi)部，則，則；則．即從第六項起，以后所有各項對應的點都落在圓的內(nèi)部．（2）要使數(shù)列中的項為實數(shù)，則，則．則數(shù)列的通項為：．則．則數(shù)列為首項為1，公比為的無窮遞縮等比數(shù)列．則數(shù)列的所有項的和為：．11.7復數(shù)集內(nèi)的方程1．在復數(shù)范圍內(nèi)分解因式．解：，．2．已知方程有兩個根是1，，求方程的其他根．解：實系數(shù)方程的虛根成對出現(xiàn)，則也是根．．利用待定系數(shù)法或長除法得：．方程的其他的根為．3．求實數(shù)的值，使方程至少有一個實根．解：設實根為，則．則．4．設，若二次方程有兩個虛根，求需滿足的充要的條件．解：若方程有實根，則方程組有實數(shù)解，由方程組得：．若，則無實根，矛盾．則，此時．方程有兩個虛根的充要條件為．5．在復數(shù)范圍內(nèi)解方程（為虛數(shù)單位）．解：原方程的解是．6．已知復數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），，求一個以為根的實系數(shù)一元二次方程．解：，則，則方程另外一個根為．所求的一個一元二次方程可以是．7．已知關于的方程的一個根為，（1）求方程的另一個根及實數(shù)的值．（2）是否存在實數(shù)，使對時，不等式對恒成立？若存在，試求出實數(shù)的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：（1）另一根為．（2）設存在實數(shù)，對時，不等式對恒成立，由于的最小值為1，則不等式對恒成立．即：對，設，則．存在滿足條件．8．設復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，為實數(shù)，．若是方程的一個根，且在復平面內(nèi)所對應的點在第一象限，求與的值．解：，得到：，則．9．已知是關于的方程的兩個根，求的值．解：分實根與虛根討論，．10．已知關于的實系數(shù)方程的兩根分別為，且，求的值．解：分實根與虛根討論，或．解得：．11．設復數(shù)列滿足，且．若對任意都有，求的值．解：由，恒成立，即．因為或0，故，所以．12．已知、為方程的根，求：（1）．（2）．（3）．解：由韋達定理可知：．（1）．（2）．（3）．13．已知關于的二次方程．（1）如果此方程有一個實根，求銳角和這個實根．（2）試證無論取任何實數(shù)，此方程不可能有純虛數(shù)根．解：（1）設方程有一個實根為，則，．（2）設方程有一個純虛數(shù)根為，則，則因為無實數(shù)解，則無論取任何實數(shù)，此方程不可能有純虛數(shù)根．14．設虛數(shù)滿足．（1）若是一個實系數(shù)一元二次方程的兩個根，求．（2）若（為虛數(shù)單位），，復數(shù)，求的取值范圍．解：（1），則，，得出，或．（2），，．15．對任意一個非零復數(shù)，定義集合．（1）設是方程的一個根，試用列舉法表示集合．（2）設復數(shù)，求證：．解：（1）．（2）略．16．定義數(shù)列：是方程的兩根，且當時，有，求證：對一切自然數(shù)，有．證明：由方程，解得或．不妨設，由遞推關系得，即．若存在某個，使，則可由上式經(jīng)過有限次倒退，得，這與矛盾，所以，對一切自然數(shù)，．則．由此可得．因為，則，即數(shù)列是以3為周期得純周期數(shù)列，注意到，恰好是一個周期長．而．故對一切自然數(shù)，有．而．所以對一切自然數(shù)，有．11.8復數(shù)的綜合應用1．實數(shù)取什么值時，復數(shù)，（1）是實數(shù)，（2）是純虛數(shù)，（3）對應的點位于第二象限．（4）對應的點在直線上．解：（1）．（2）．（3）．（4），得出：或．2．分解成一次式的乘積為____________________．解：．3．，則的最大值為__________．解：的軌跡為（）為圓心，半徑為2的圓面，則最大值為