矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問(wèn)題探討本科畢業(yè)論文

PAGEPAGEIV本科畢業(yè)論文（2010屆）題目矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問(wèn)題探討學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)摘要矩陣的特征值和逆特征值問(wèn)題一直是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)研究方向.在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中,對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論是非常必要的.本文記錄了高等代數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生提出的一些有趣問(wèn)題,概括了有關(guān)矩陣特征值的重要結(jié)論,并對(duì)矩陣特征值問(wèn)題進(jìn)行探討,得到和總結(jié)了一些重要結(jié)果.這些結(jié)果可以糾正學(xué)生關(guān)于矩陣特征值問(wèn)題的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),從而提高高等代數(shù)和相關(guān)課程教與學(xué)的質(zhì)量.關(guān)鍵詞特征多項(xiàng)式;特征根;特征值;正交矩陣

AbstractTheproblemofmatrixeigenvalueandmatrixinverseeigenvalueisaprospecttostudyinpuremathematics.Inthestudyofhigheralgebra,itisnecessaryforstudentstomastersomeimportantconclusionsofmatrixeigenvalueskillfully.Thepapershowssomeinterestingproblemsproposedbystudentsinthestudyofhigheralgebra.Furthermore,theproblemofmatrixeigenvalueisstudiedandsomeimportantconclusionsofmatrixeigenvaluearesummarizedinthispaper.Thoseresultscanrectifythemisleadingunderstandingofmatrixeigenvalueandimprovetheteachingandstudyingqualityofthehigheralgebraandsomerelatedcourses.Keywordscharacteristicpolynomial;characteristicroot;eigenvalue;OrthogonalMatrices

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 11.1有關(guān)于矩陣特征值的重要結(jié)果 11.2關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個(gè)重要命題 21.3矩陣特征值的理論及應(yīng)用 32.一種改進(jìn)的求矩陣特征值的方法 43.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法 84.針對(duì)特殊矩陣的特征多項(xiàng)式的求法 104.1秩為1的矩陣的特征多項(xiàng)式 104.2正交矩陣的特征多項(xiàng)式 124.3求三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式的一種簡(jiǎn)便方法 14參考文獻(xiàn) 17謝辭 18PAGE23矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問(wèn)題探討IssuesonEigenvalueandTheCharacteristicPolynomialofMatrix數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)李文學(xué)指導(dǎo)老師:范麗紅1.引言高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系大學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課,與其他一些課程的學(xué)習(xí)密切相關(guān),是報(bào)考數(shù)學(xué)系研究生的必考課程,而矩陣特征值是必考的內(nèi)容之一.矩陣特征值是高等代數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn),也是碩士研究生招生考試中高等代數(shù)課程的考試重點(diǎn),更是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以及混沌同步等研究的基礎(chǔ).對(duì)自然科學(xué)與工程科學(xué)的研究能力都會(huì)有所幫助.而且,矩陣的特征值和逆特征值問(wèn)題一直是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)研究方向.由此可見(jiàn),在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中,使學(xué)生熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論是非常必要的.本文記錄了高等代數(shù)教學(xué)中學(xué)生提出一些有趣問(wèn)題,概括了有關(guān)矩陣特征值的重要結(jié)論,并對(duì)矩陣特征值問(wèn)題進(jìn)行探討,得到和總結(jié)了一些重要結(jié)果.這些結(jié)果可以糾正學(xué)生關(guān)于矩陣特征值問(wèn)題的一些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí),從而提高高等代數(shù)和相關(guān)課程的教與學(xué)質(zhì)量.然后,對(duì)幾種不同類型的矩陣,比如正交矩陣、三角矩陣等的特征多項(xiàng)式做了簡(jiǎn)單的探討.也給出了特征多項(xiàng)式以及特征值的求法.1.1有關(guān)于矩陣特征值的重要結(jié)果本文中,E表示單位矩陣,表示A的轉(zhuǎn)置矩陣,表示A的逆.定理1n階實(shí)對(duì)稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).定理2n階實(shí)矩陣A對(duì)稱正定的充分必要條件是存在n階實(shí)可逆矩陣C,使得A=C.定理3相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值.定理4如果n階對(duì)稱矩陣A與B合同,即存在n階可逆矩陣C,使得B＝AC,則A與B的正特征值、零特征值和負(fù)特征值的個(gè)數(shù)分別相等.1.2關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個(gè)重要命題命題1.1相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.證明:假定A～B,則B=注1:命題1的逆是不成立的.命題1.2若A與B為同階方陣,且其中至少有一個(gè)可,則(i).AB～BA(ii).證明不妨設(shè),則,所以AB～BA,由命題1知,此處命題2的(i)是命題1的結(jié).事實(shí)上我們可以將命題2中的條其中至少有一個(gè)可逆去掉,命題2的()仍成.命題1.3若A與B為同階方陣,則)證明設(shè)A的特征根為,…,,記其中絕對(duì)值不為零的最小者為易知對(duì)任意的{0,}由命題2的(ii)知:又由于多項(xiàng)式函數(shù)連續(xù),所以Lim=Lim即若將命題3的條件“A與B為同階方陣”再行減弱為A與B為可乘的長(zhǎng)方陣,則可得以下結(jié)果.命題1.4若A為n×m階矩陣,B為m×n階矩陣,≠0且n>m時(shí),則證明當(dāng)n>m時(shí),用0元素把A,B分別補(bǔ)成n階方陣,,即,由命題3知從相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式出發(fā),逐步改變和減弱命題中相關(guān)條件,得到了幾個(gè)關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的結(jié)論.1.3矩陣特征值的理論及應(yīng)用引入矩陣特征值及特征向量的概念對(duì)于研究線性變換,乃至于整個(gè)線性空間、歐氏空間都是極為重要的.定理1.1設(shè)n階方陣A的特征值為,是A的屬于特征值的特征向量(i=1,2,…,n),則1)kA(k是常數(shù))的特征值是k,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).2)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).3)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).4)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).5)A可逆時(shí),的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).6)A可逆時(shí),A的伴隨矩陣的特征值是｜A｜,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).7)設(shè),則的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).證明1)因?yàn)?故(kA)=k(A)=(k)2）因?yàn)?=A=A()=(A)=()=3）同理可得.4）從而A與具有相同的特征值.5)因?yàn)?,且A可逆,故A=()=()又｜A｜=λ1λ2…λn≠0(A可逆),故λi≠0(i=1,2,…,n),從而由(1)知=.6)因?yàn)?｜A｜,再由1)即可得結(jié)論.7)因?yàn)?故有（）====f()例設(shè)3階方陣A的行列式｜A｜=6,且A有特征值-2,則必有特征值___,-2有特征值___,有特征值___,=___.解:的特征值為6×(-2)=-3,而-2=｜A｜-2=4A-1又｜｜=1/6,故-2的特征值為4×(-2)=-2.故f(A)=的特征值是f(-2)=因?yàn)閒(A)有特征值0,所以==0.2.一種改進(jìn)的求矩陣特征值的方法在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,我們已經(jīng)知道了初等矩陣以及初等變換,那么,能不能利用矩陣的初等變換來(lái)求其特征值呢？我們首先要做的一個(gè)工作就是初等變換的選擇,即如何選取一個(gè)合適的初等變換將所求矩陣變成一個(gè)上三角（或下三角）矩陣,從而以利于我們對(duì)特征值的求解.當(dāng)時(shí),如何選取初等矩陣把A化為三角形式,即,其實(shí)關(guān)鍵看能否把A的主對(duì)角線元素下(或上)方的元素化為零.在換法變換和倍法變換中初等矩陣的選擇比較容易,主要討論消法變換中初等矩陣Pi（i=1,2,?,s）的選擇.為得到初等矩陣中所用非零常數(shù)k,只需任選矩陣A的第i行和第j行（1≤i≤j≤n）,討論這四個(gè)元素,便可求出k的值.對(duì)矩陣A作成對(duì)同類型的初等行列變換,分兩種情況來(lái)看:1)將元素化成零令,①當(dāng)≠0時(shí),解得②當(dāng)=0時(shí),分兩種情況討論.若≠0,則.若=0則,此時(shí)可將A先進(jìn)行一次成對(duì)的同類型初等變換化成如①的情形,即然后對(duì)用上法求出k的值.2)將元素化成零令=0①當(dāng)≠0時(shí),解得②當(dāng)=0時(shí),分兩種情況討論.若≠0,則若=0,則.此時(shí)可將A先進(jìn)行一次成對(duì)的同類型初等變換化成如①的情形,即現(xiàn)在,介紹這種方法的應(yīng)用.對(duì)三類不同特點(diǎn)的矩陣分別用上文中的方法求其特征值,來(lái)說(shuō)明改進(jìn)后方法對(duì)此類問(wèn)題的求解將更為簡(jiǎn)便.類型1:一般數(shù)字矩陣.例2.1,求矩陣A的特征值.解對(duì)A施行成對(duì)的行初等變換和列初等變換:,所以A的特征值為1(四重).類型2:行元素接近矩陣.例2.2,求A的特征值.解由于A中第1列和第4列元素在取值上比較接近,將A的第4列乘以(-1)加到第1列,同時(shí)將A的第1行乘以(+1)加到第4行,即令k=-1,則有,故A的特征值為2,-2,3,1.類型3:對(duì)稱的行(列)元素接近矩陣.例2.3,求矩陣A的特征值.解一般可直接利用A的特征多項(xiàng)式進(jìn)行求解,但比較麻煩.先用初等變換化簡(jiǎn).,由于矩陣A與B相似,由此可求得故B的特征值為-2和2(三重),從而A的特征值也為-2和2(三重).總的來(lái)說(shuō),第一,在利用矩陣的初等變換求方陣的特征值時(shí),要善于觀察判斷該矩陣.此法對(duì)行或列比較接近的矩陣,以及一些特殊的矩陣求特征值時(shí)會(huì)比較有效,且計(jì)算簡(jiǎn)單便于實(shí)現(xiàn).第二,以上計(jì)算中所施行的初等變換必須是行與列同類型的初等變換,對(duì)方陣的行與列必須配對(duì)施行,所做變換必須是相似變換,以保證方陣的特征值在初等變換過(guò)程中不會(huì)發(fā)生改變.第三,對(duì)更一般的高階矩陣求特征值時(shí),如何選擇有效的初等矩陣,其方法仍是一個(gè)有待研究解決的問(wèn)題.3.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法如下方法,可以同時(shí)求出特征值和特征向量.（1）.由n階矩陣A,做出一個(gè)2n×n的矩陣,經(jīng)初等變換化成.（2）.求出=0的根(0≤i≤n),設(shè)為,則就是A的所有不同的特征值.(3).把,1≤j≤k代入,設(shè)中代入后為零的有=0,=0,?,=0,則Q()中第列構(gòu)成A的對(duì)應(yīng)于特征值的m個(gè)特征向量,且構(gòu)成的一組基.現(xiàn)在給出相關(guān)例題來(lái)說(shuō)明這個(gè)方法.例:設(shè)線性變換A在基下的矩陣是A=,求A的特征值與特征向量解:A=,取矩陣,經(jīng)過(guò)一系列的初等變換,最后可以求出特征值,其中=1對(duì)應(yīng)的特征向量為=,=,=.求解完畢.其實(shí),這種方法與課本上給出的方法有點(diǎn)不一樣,事實(shí)上,在用這種方法的時(shí)候,還需要如下3個(gè)定理.定理3.1對(duì)任意方陣A,矩陣λE-A經(jīng)過(guò)一系列的初等變換可變成形的對(duì)角矩陣,其中是λ的非零多項(xiàng)式.定理3.2對(duì)上述的使=0的就是A的特征值,且總存在一個(gè),使=0.定理3.3若P(λ)(λE-A)Q(λ)=成立,且有,其中是1到n中的m個(gè)數(shù),則Q(λ3)的第列為A的m個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量(對(duì)應(yīng)于),且Q（）的第列構(gòu)成A的對(duì)應(yīng)于特征子空間的一組基.關(guān)于這三個(gè)定理的證明,限于篇幅,而且對(duì)于求解特征向量與特征值的過(guò)程也是不需要用到的,這里就不再給出它們的證明.4.針對(duì)特殊矩陣的特征多項(xiàng)式的求法4.1秩為1的矩陣的特征多項(xiàng)式首先,給出如下結(jié)論:定理4.1設(shè)K為n階方陣A的特征值,x為對(duì)應(yīng)于K的特征向量,如果方陣A滿足方程=0,那么方陣A的特征值滿足方證明因?yàn)锳的特征值,x為對(duì)應(yīng)于的特征向量,所以Ax=x,若A=E,則顯然有Ex=x,即;再由式(1),可依次得到,且有=,即()x=（）x,由于x≠0.于是,若=0,則=0即原結(jié)論成立.另一方面,若一個(gè)n階方陣A=()的秩R(A)=1,則A中至少有一個(gè)非零元,不妨設(shè)≠0,且A的各行(列)都成比例(否則,由行列式的性質(zhì)知A中至少有一個(gè)2階非零子式,這與R(A)=1矛盾),故A總可以表示成如下形式A=,令=,=,由此可知方陣A總可以表示為一個(gè)非零列矩陣與一個(gè)非零行矩陣的乘積的形式.并且按照矩陣乘積的定義,可得.則=根據(jù)以上論述,來(lái)推導(dǎo)秩為1的方陣的特征值的求法:不失一般性,設(shè)A=()為n階方陣,R(A)=1,則A=其中表示一個(gè)非零列矩陣,表示一個(gè)非零行矩陣,從而==(),其中=再依上述定理,可知方陣A的特征值滿足方程,解得=0或=k.這也就是說(shuō),秩為1的方陣A只有零特征值和非零特征值k.進(jìn)一步提出問(wèn)題:這里的k到底有多少個(gè)?有多少個(gè)零特征值?如何求k?根據(jù)方陣的特征值的性質(zhì)故秩為1的方陣A只有一個(gè)非零特征值k=,其余的n-1個(gè)特征值都是零特征值,即=,.下面通過(guò)具體的實(shí)例來(lái)說(shuō)明秩為1的方陣特征值的簡(jiǎn)便求法.例4.1設(shè)n階方陣A=,求A的特征值.解顯然R(A)=1,則可設(shè)A=,其中,,則,而=,從而,A的特征值滿足,故或.以上針對(duì)秩為1的方陣給出的一種求特征值的簡(jiǎn)便方法,說(shuō)明在求某一方陣的特征值,包括解決其他任何實(shí)際問(wèn)題時(shí),不要硬背理論,死套公式,而應(yīng)根據(jù)問(wèn)題的具體特點(diǎn),采取不同的解決方法.4.2正交矩陣的特征多項(xiàng)式正交矩陣作為一種特殊形式的矩陣,在整個(gè)矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用,它具有很好的性質(zhì),因此其特征多項(xiàng)式和特征根有某些獨(dú)特的規(guī)律.首先看下面的定義:定義4.1如果一個(gè)n階實(shí)矩陣A有,即,則稱A為正交矩陣.定義4.2設(shè)A為n階矩陣,任取?行和?列,位于這些行和列的交點(diǎn)上的個(gè)元素組成一個(gè)k階行列式,稱為矩陣A的k階主子式.引理4.1設(shè)n階方陣A=（）（i=1,2,...,n;j=1,2,...,n）的特征多項(xiàng)式為,則其中為A的一切k階主子式的和乘以,即bk=引理4.2矩陣A的k階主子式和等于A的一切可能k個(gè)特征根乘積之和.引理4.3正交矩陣的行列式的值為±1引理4.4若A是正交矩陣,則A′,,都是正交矩陣.引理4.5正交矩陣的特征根模為1.引理4.6若是正交矩陣A的特征根,則也是A的特征根引理4.7設(shè)U是一個(gè)三階正交矩陣,且|U|=1,則(i)U有一個(gè)特征根等于1(ii)U的特征多項(xiàng)式有形式(-1≤t≤3).引理4.8設(shè)A為正交矩陣,(i)若|A|=1,則A的任意k階子式與其代數(shù)余子式相等;(ii)若|A|=-1,則A的任意k階子式與其代數(shù)余子式僅差一符號(hào).推論4.1設(shè)A為n階正交矩陣,（i）若|A|=1,則A的任意k階主子式等于其余子式,且k階主子式的余子式為A的n-k階主子式;(ii)若|A|=-1,則A的任意k階主子式與其余子式僅差一符號(hào),且k階主子式的余子式為A的n-k階主子式.下面,將給出正交矩陣的特征多項(xiàng)式定理4.2設(shè)A為n階正交矩陣,為A的特征多項(xiàng)式,則(1)當(dāng)|A|=1時(shí),(i)n為偶數(shù)時(shí),其中（k=2,?,）,.（ii）n為奇數(shù)時(shí),其中（k=1,2,?,）,=-1.(2)當(dāng)|A|=-1時(shí),(i)n為偶數(shù)時(shí),其中（k=2,?,）,=-1.（ii）n為奇數(shù)時(shí),其中（k=1,2,?,）,=1.證據(jù)引理1知正交矩陣A的特征多項(xiàng)式為其中為A的一切k階主子式的和乘以,令為A的k階主子式,為k階主子式的代數(shù)余子式,=為的余子式.（1）當(dāng)|A|=1時(shí),=因?yàn)锳的k階主子式,所以為A的n-k階主子式,故A的一切k階主子式之和等于A的一切n-k階主子式之和.(i)n為偶數(shù)時(shí),有奇數(shù)項(xiàng),由=,且為所有之和乘以,為所有之和乘以,其中=(n為偶數(shù)).故（k=2,?,）,(ii)n為奇數(shù),有偶數(shù)項(xiàng),由=和,且為所有k階主子式之和乘以,為所有n-k階主子式之和乘以,其中與相差一符號(hào),故（k=1,2,?,）,所以,若|A|=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有奇數(shù)項(xiàng),它以為中間項(xiàng),左右對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)相同,其中包括首項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng);當(dāng)n為奇數(shù),A的特征多項(xiàng)式有偶數(shù)項(xiàng).處在對(duì)稱位置的左右兩項(xiàng)系數(shù)僅差一符號(hào),因首項(xiàng)系數(shù)為1,為-1,故也包括在內(nèi).（2）若|A|=1,==故A的一切k階主子式之和與A的一切n-k階主子式之和僅差一符號(hào).(i)n為偶數(shù)時(shí),有奇數(shù)項(xiàng),=-,且為所有之和乘以,為所有之和乘以,其中=(n為偶數(shù)).故（k=2,?,）,.(ii)n為奇數(shù),有偶數(shù)項(xiàng),=-,,且為所有k階主子式之和乘以,為所有n-k階主子式之和乘以,其中與相差一符號(hào),故（k=2,?,）,所以,若|A|=-1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有奇數(shù)項(xiàng),以為中間項(xiàng),左右兩邊對(duì)稱項(xiàng)的系數(shù)相差一符號(hào),因首項(xiàng)系數(shù)為1,為-1,故也包括在內(nèi);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有偶數(shù)項(xiàng),處在對(duì)稱位置的左右兩項(xiàng)系數(shù)相同,因首項(xiàng)系數(shù)為1,為1,所以也包括在內(nèi).4.3求三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式的一種簡(jiǎn)便方法這里用遞推的方法給出一種求三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式的算法.首先,給出一個(gè)定理:定理4.3若A的特征多項(xiàng)式的伴隨矩陣()=++?++,則()與的系數(shù),(j=n-1,n-2,?,1,0)有如下關(guān)系:其中為矩陣的跡,余類推但當(dāng)矩陣A是實(shí)三對(duì)角矩陣時(shí),上述結(jié)果計(jì)算量偏大.那么,在這里,給出一種針對(duì)三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式給為簡(jiǎn)便的方法.首先,看下面的引理:引理4.9記,,,為實(shí)數(shù).表示A的k階順序主子式,其中,An=A,設(shè)的特征多項(xiàng)式為,有遞推關(guān)系:由于該遞推公式?jīng)]有直接給出中的各次冪的系數(shù),使用不太方便.下面給出一種求三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式系數(shù)的簡(jiǎn)便方法,通過(guò)遞推,直接確定(i=n-1,?,1,0).定理4.4設(shè)A的特征多項(xiàng)式,的特征多項(xiàng)式,其中為,則這就是實(shí)三對(duì)角矩陣特征多項(xiàng)式的求法公式,下面將結(jié)合一道例題對(duì)本定理進(jìn)行一定說(shuō)明.例4.2若A=,求.解由上述方法,可得所以=.本篇論文是在掌握對(duì)高等代數(shù)課本知識(shí)了解的基礎(chǔ)上,著重對(duì)以上幾種特殊的矩陣進(jìn)行研究,參考借鑒了前輩學(xué)者對(duì)這一方面的研究,不再是單一的求出某一類矩陣的特征多項(xiàng)式,而是綜合性地給出以上幾種矩陣的求法.不過(guò),依然還存在著許多問(wèn)題,希望能在以后的學(xué)習(xí)和研究中得到更深的解決.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]劉劍平,曹宵臨.線性代數(shù)復(fù)習(xí)與解題指導(dǎo)[M].上海:華東理工大學(xué)出版社,2001.[3]許甫華.高等代數(shù)解題方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001.[4]張繼昌.大學(xué)數(shù)學(xué)考研專題復(fù)習(xí)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.[5]錢志強(qiáng).線性代數(shù)教與學(xué)參考[M].北京:中國(guó)致公出版社,2001.[6]張德菊,張曉敏.正交矩陣的特征值及特征根[J].大學(xué)數(shù)學(xué),23(1):152-154.[7]周雪娟,關(guān)于矩陣特征根與特征向量的一個(gè)簡(jiǎn)潔求法[J].浙江海洋學(xué)報(bào),1999,18(4):350-353.[8]黃映雪,關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個(gè)命題[J].阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,23(2):27-28.[9]李巍,胡方景.關(guān)于矩陣的特征多項(xiàng)式的展開式[J].青海師專學(xué)報(bào),2001,6:8-9.[10]劉亞亞,程國(guó).一種改進(jìn)的求方陣特征值的方法[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2008,22(2):15-16.[11]陳攀峰,矩陣特征問(wèn)題的計(jì)算方法[J].宿州師專學(xué)報(bào),2003,18(1):75-77.[12]何翼,求矩陣的特征值與特征向量的新方法[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(3):139.[13]孫長(zhǎng)春,孫淑鴻.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法[J].長(zhǎng)春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,24(2):59-60.[14]研究生入學(xué)考試試題研究組.研究生入學(xué)考試考點(diǎn)解析與真題詳解[M].電子工業(yè)出版社,2008.[15]張文瑾.矩陣特征多項(xiàng)式的一種方法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1988,9:28[16]蔣爾雄,高坤敏,吳景琨.線性代數(shù)[M].成都:四川大學(xué)出版社,1985.[17]趙立新,曾文才.利用矩陣的初等變換求方陣的特征值[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004，20(3):62-64.[18]陳紅，李信巧.矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣的初等變換求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003，13(2)：23-26.[19]JENOSZIGETI.ONTHECHARACTERISTICPOLYNOMIALOFSUPERMATRICES[J].IsraelJournalofMathematics.1998,107:229-235[20]N.RAJRAO·ALANEDELMAN.THEPOLYNOMIAALMETHODFORRANDOMMATRICES[J].FoundComputMath.2008,8:649–702謝辭隨著本篇論文的最后敲定,大學(xué)時(shí)光也即將在四年的蹉跎中走完.本篇論文的完成,得益于臺(tái)州學(xué)院特別是數(shù)信學(xué)院老師傳授的知識(shí),使本人有了完成論文所要求的知識(shí)積累.更加特別感謝我的論文指導(dǎo)老師范麗紅老師,從選題的確定、論文資料的收集、論文框架的確定、開題報(bào)告準(zhǔn)備及論文初稿與定稿中對(duì)字句的斟酌傾注的大量心血,在此對(duì)導(dǎo)師范麗紅老師表示感謝！在論文寫作過(guò)程中,我還參考了有關(guān)的書籍和論文,在這里一并向有關(guān)的作者表示謝意.另起一頁(yè)題目：黑體，小另起一頁(yè)題目：黑體，小三號(hào)行距1.5行段前1.5行，段后1.5行內(nèi)容：首行縮進(jìn)2字符，宋體，小4號(hào)內(nèi)容：首行縮進(jìn)2字符，宋體，小4號(hào)，1.5倍行距段前0行，段后0行基于C8051F單片機(jī)直流電動(dòng)機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動(dòng)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營(yíng)養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測(cè)試儀的研制基于單片機(jī)的自動(dòng)找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機(jī)的液壓動(dòng)力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測(cè)儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺(tái)控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動(dòng)器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測(cè)儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動(dòng)檢測(cè)儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測(cè)量?jī)x的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號(hào)檢測(cè)儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動(dòng)控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測(cè)性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測(cè)微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測(cè)基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測(cè)量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動(dòng)低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測(cè)量?jī)x的研制基于單片機(jī)的紅外測(cè)油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測(cè)漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測(cè)技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(jī)的低壓無(wú)功補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)船舶電力推進(jìn)電機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)基于單片機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振動(dòng)信號(hào)的采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的大容量數(shù)據(jù)存儲(chǔ)技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機(jī)的疊圖機(jī)研究與教學(xué)方法實(shí)踐基于單片機(jī)嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實(shí)現(xiàn)基于AT89S52單片機(jī)的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的多道脈沖幅度分析儀研究機(jī)器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究基于單片機(jī)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機(jī)的莫爾斯碼自動(dòng)譯碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機(jī)的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機(jī)的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機(jī)與Internet互聯(lián)的研究與實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機(jī)控制器的研究基于單片機(jī)γ-免疫計(jì)數(shù)器自動(dòng)換樣功能的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)嵌入式以太網(wǎng)防盜報(bào)警系統(tǒng)基于51單片機(jī)的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)監(jiān)測(cè)系統(tǒng)在擠壓機(jī)上的應(yīng)用MSP430單片機(jī)在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用HYPERLI