矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問題探討本科畢業(yè)論文

PAGEPAGEIV本科畢業(yè)論文（2010屆）題目矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問題探討學(xué)院數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院專業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)摘要矩陣的特征值和逆特征值問題一直是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個研究方向.在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中,對學(xué)生來說熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論是非常必要的.本文記錄了高等代數(shù)學(xué)習(xí)中學(xué)生提出的一些有趣問題,概括了有關(guān)矩陣特征值的重要結(jié)論,并對矩陣特征值問題進(jìn)行探討,得到和總結(jié)了一些重要結(jié)果.這些結(jié)果可以糾正學(xué)生關(guān)于矩陣特征值問題的一些錯誤認(rèn)識,從而提高高等代數(shù)和相關(guān)課程教與學(xué)的質(zhì)量.關(guān)鍵詞特征多項(xiàng)式;特征根;特征值;正交矩陣

AbstractTheproblemofmatrixeigenvalueandmatrixinverseeigenvalueisaprospecttostudyinpuremathematics.Inthestudyofhigheralgebra,itisnecessaryforstudentstomastersomeimportantconclusionsofmatrixeigenvalueskillfully.Thepapershowssomeinterestingproblemsproposedbystudentsinthestudyofhigheralgebra.Furthermore,theproblemofmatrixeigenvalueisstudiedandsomeimportantconclusionsofmatrixeigenvaluearesummarizedinthispaper.Thoseresultscanrectifythemisleadingunderstandingofmatrixeigenvalueandimprovetheteachingandstudyingqualityofthehigheralgebraandsomerelatedcourses.Keywordscharacteristicpolynomial;characteristicroot;eigenvalue;OrthogonalMatrices

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1.引言 11.1有關(guān)于矩陣特征值的重要結(jié)果 11.2關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個重要命題 21.3矩陣特征值的理論及應(yīng)用 32.一種改進(jìn)的求矩陣特征值的方法 43.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法 84.針對特殊矩陣的特征多項(xiàng)式的求法 104.1秩為1的矩陣的特征多項(xiàng)式 104.2正交矩陣的特征多項(xiàng)式 124.3求三對角矩陣特征多項(xiàng)式的一種簡便方法 14參考文獻(xiàn) 17謝辭 18PAGE23矩陣特征值及特征多項(xiàng)式問題探討IssuesonEigenvalueandTheCharacteristicPolynomialofMatrix數(shù)學(xué)與信息工程學(xué)院數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)李文學(xué)指導(dǎo)老師:范麗紅1.引言高等代數(shù)是數(shù)學(xué)系大學(xué)生必修的一門重要基礎(chǔ)課,與其他一些課程的學(xué)習(xí)密切相關(guān),是報(bào)考數(shù)學(xué)系研究生的必考課程,而矩陣特征值是必考的內(nèi)容之一.矩陣特征值是高等代數(shù)教學(xué)中的重點(diǎn),也是碩士研究生招生考試中高等代數(shù)課程的考試重點(diǎn),更是復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)以及混沌同步等研究的基礎(chǔ).對自然科學(xué)與工程科學(xué)的研究能力都會有所幫助.而且,矩陣的特征值和逆特征值問題一直是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個研究方向.由此可見,在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)當(dāng)中,使學(xué)生熟練掌握矩陣特征值的一些重要結(jié)論是非常必要的.本文記錄了高等代數(shù)教學(xué)中學(xué)生提出一些有趣問題,概括了有關(guān)矩陣特征值的重要結(jié)論,并對矩陣特征值問題進(jìn)行探討,得到和總結(jié)了一些重要結(jié)果.這些結(jié)果可以糾正學(xué)生關(guān)于矩陣特征值問題的一些錯誤認(rèn)識,從而提高高等代數(shù)和相關(guān)課程的教與學(xué)質(zhì)量.然后,對幾種不同類型的矩陣,比如正交矩陣、三角矩陣等的特征多項(xiàng)式做了簡單的探討.也給出了特征多項(xiàng)式以及特征值的求法.1.1有關(guān)于矩陣特征值的重要結(jié)果本文中,E表示單位矩陣,表示A的轉(zhuǎn)置矩陣,表示A的逆.定理1n階實(shí)對稱矩陣的特征值都是實(shí)數(shù).定理2n階實(shí)矩陣A對稱正定的充分必要條件是存在n階實(shí)可逆矩陣C,使得A=C.定理3相似的矩陣有相同的特征多項(xiàng)式,從而有相同的特征值.定理4如果n階對稱矩陣A與B合同,即存在n階可逆矩陣C,使得B＝AC,則A與B的正特征值、零特征值和負(fù)特征值的個數(shù)分別相等.1.2關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個重要命題命題1.1相似的矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.證明:假定A～B,則B=注1:命題1的逆是不成立的.命題1.2若A與B為同階方陣,且其中至少有一個可,則(i).AB～BA(ii).證明不妨設(shè),則,所以AB～BA,由命題1知,此處命題2的(i)是命題1的結(jié).事實(shí)上我們可以將命題2中的條其中至少有一個可逆去掉,命題2的()仍成.命題1.3若A與B為同階方陣,則)證明設(shè)A的特征根為,…,,記其中絕對值不為零的最小者為易知對任意的{0,}由命題2的(ii)知:又由于多項(xiàng)式函數(shù)連續(xù),所以Lim=Lim即若將命題3的條件“A與B為同階方陣”再行減弱為A與B為可乘的長方陣,則可得以下結(jié)果.命題1.4若A為n×m階矩陣,B為m×n階矩陣,≠0且n>m時(shí),則證明當(dāng)n>m時(shí),用0元素把A,B分別補(bǔ)成n階方陣,,即,由命題3知從相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式出發(fā),逐步改變和減弱命題中相關(guān)條件,得到了幾個關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的結(jié)論.1.3矩陣特征值的理論及應(yīng)用引入矩陣特征值及特征向量的概念對于研究線性變換,乃至于整個線性空間、歐氏空間都是極為重要的.定理1.1設(shè)n階方陣A的特征值為,是A的屬于特征值的特征向量(i=1,2,…,n),則1)kA(k是常數(shù))的特征值是k,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).2)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).3)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).4)的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).5)A可逆時(shí),的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).6)A可逆時(shí),A的伴隨矩陣的特征值是｜A｜,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).7)設(shè),則的特征值是,且是屬于其的特征向量(i=1,2,…,n).證明1)因?yàn)?故(kA)=k(A)=(k)2）因?yàn)?=A=A()=(A)=()=3）同理可得.4）從而A與具有相同的特征值.5)因?yàn)?,且A可逆,故A=()=()又｜A｜=λ1λ2…λn≠0(A可逆),故λi≠0(i=1,2,…,n),從而由(1)知=.6)因?yàn)?｜A｜,再由1)即可得結(jié)論.7)因?yàn)?故有（）====f()例設(shè)3階方陣A的行列式｜A｜=6,且A有特征值-2,則必有特征值___,-2有特征值___,有特征值___,=___.解:的特征值為6×(-2)=-3,而-2=｜A｜-2=4A-1又｜｜=1/6,故-2的特征值為4×(-2)=-2.故f(A)=的特征值是f(-2)=因?yàn)閒(A)有特征值0,所以==0.2.一種改進(jìn)的求矩陣特征值的方法在高等代數(shù)的學(xué)習(xí)過程中,我們已經(jīng)知道了初等矩陣以及初等變換,那么,能不能利用矩陣的初等變換來求其特征值呢？我們首先要做的一個工作就是初等變換的選擇,即如何選取一個合適的初等變換將所求矩陣變成一個上三角（或下三角）矩陣,從而以利于我們對特征值的求解.當(dāng)時(shí),如何選取初等矩陣把A化為三角形式,即,其實(shí)關(guān)鍵看能否把A的主對角線元素下(或上)方的元素化為零.在換法變換和倍法變換中初等矩陣的選擇比較容易,主要討論消法變換中初等矩陣Pi（i=1,2,?,s）的選擇.為得到初等矩陣中所用非零常數(shù)k,只需任選矩陣A的第i行和第j行（1≤i≤j≤n）,討論這四個元素,便可求出k的值.對矩陣A作成對同類型的初等行列變換,分兩種情況來看:1)將元素化成零令,①當(dāng)≠0時(shí),解得②當(dāng)=0時(shí),分兩種情況討論.若≠0,則.若=0則,此時(shí)可將A先進(jìn)行一次成對的同類型初等變換化成如①的情形,即然后對用上法求出k的值.2)將元素化成零令=0①當(dāng)≠0時(shí),解得②當(dāng)=0時(shí),分兩種情況討論.若≠0,則若=0,則.此時(shí)可將A先進(jìn)行一次成對的同類型初等變換化成如①的情形,即現(xiàn)在,介紹這種方法的應(yīng)用.對三類不同特點(diǎn)的矩陣分別用上文中的方法求其特征值,來說明改進(jìn)后方法對此類問題的求解將更為簡便.類型1:一般數(shù)字矩陣.例2.1,求矩陣A的特征值.解對A施行成對的行初等變換和列初等變換:,所以A的特征值為1(四重).類型2:行元素接近矩陣.例2.2,求A的特征值.解由于A中第1列和第4列元素在取值上比較接近,將A的第4列乘以(-1)加到第1列,同時(shí)將A的第1行乘以(+1)加到第4行,即令k=-1,則有,故A的特征值為2,-2,3,1.類型3:對稱的行(列)元素接近矩陣.例2.3,求矩陣A的特征值.解一般可直接利用A的特征多項(xiàng)式進(jìn)行求解,但比較麻煩.先用初等變換化簡.,由于矩陣A與B相似,由此可求得故B的特征值為-2和2(三重),從而A的特征值也為-2和2(三重).總的來說,第一,在利用矩陣的初等變換求方陣的特征值時(shí),要善于觀察判斷該矩陣.此法對行或列比較接近的矩陣,以及一些特殊的矩陣求特征值時(shí)會比較有效,且計(jì)算簡單便于實(shí)現(xiàn).第二,以上計(jì)算中所施行的初等變換必須是行與列同類型的初等變換,對方陣的行與列必須配對施行,所做變換必須是相似變換,以保證方陣的特征值在初等變換過程中不會發(fā)生改變.第三,對更一般的高階矩陣求特征值時(shí),如何選擇有效的初等矩陣,其方法仍是一個有待研究解決的問題.3.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法如下方法,可以同時(shí)求出特征值和特征向量.（1）.由n階矩陣A,做出一個2n×n的矩陣,經(jīng)初等變換化成.（2）.求出=0的根(0≤i≤n),設(shè)為,則就是A的所有不同的特征值.(3).把,1≤j≤k代入,設(shè)中代入后為零的有=0,=0,?,=0,則Q()中第列構(gòu)成A的對應(yīng)于特征值的m個特征向量,且構(gòu)成的一組基.現(xiàn)在給出相關(guān)例題來說明這個方法.例:設(shè)線性變換A在基下的矩陣是A=,求A的特征值與特征向量解:A=,取矩陣,經(jīng)過一系列的初等變換,最后可以求出特征值,其中=1對應(yīng)的特征向量為=,=,=.求解完畢.其實(shí),這種方法與課本上給出的方法有點(diǎn)不一樣,事實(shí)上,在用這種方法的時(shí)候,還需要如下3個定理.定理3.1對任意方陣A,矩陣λE-A經(jīng)過一系列的初等變換可變成形的對角矩陣,其中是λ的非零多項(xiàng)式.定理3.2對上述的使=0的就是A的特征值,且總存在一個,使=0.定理3.3若P(λ)(λE-A)Q(λ)=成立,且有,其中是1到n中的m個數(shù),則Q(λ3)的第列為A的m個線性無關(guān)的特征向量(對應(yīng)于),且Q（）的第列構(gòu)成A的對應(yīng)于特征子空間的一組基.關(guān)于這三個定理的證明,限于篇幅,而且對于求解特征向量與特征值的過程也是不需要用到的,這里就不再給出它們的證明.4.針對特殊矩陣的特征多項(xiàng)式的求法4.1秩為1的矩陣的特征多項(xiàng)式首先,給出如下結(jié)論:定理4.1設(shè)K為n階方陣A的特征值,x為對應(yīng)于K的特征向量,如果方陣A滿足方程=0,那么方陣A的特征值滿足方證明因?yàn)锳的特征值,x為對應(yīng)于的特征向量,所以Ax=x,若A=E,則顯然有Ex=x,即;再由式(1),可依次得到,且有=,即()x=（）x,由于x≠0.于是,若=0,則=0即原結(jié)論成立.另一方面,若一個n階方陣A=()的秩R(A)=1,則A中至少有一個非零元,不妨設(shè)≠0,且A的各行(列)都成比例(否則,由行列式的性質(zhì)知A中至少有一個2階非零子式,這與R(A)=1矛盾),故A總可以表示成如下形式A=,令=,=,由此可知方陣A總可以表示為一個非零列矩陣與一個非零行矩陣的乘積的形式.并且按照矩陣乘積的定義,可得.則=根據(jù)以上論述,來推導(dǎo)秩為1的方陣的特征值的求法:不失一般性,設(shè)A=()為n階方陣,R(A)=1,則A=其中表示一個非零列矩陣,表示一個非零行矩陣,從而==(),其中=再依上述定理,可知方陣A的特征值滿足方程,解得=0或=k.這也就是說,秩為1的方陣A只有零特征值和非零特征值k.進(jìn)一步提出問題:這里的k到底有多少個?有多少個零特征值?如何求k?根據(jù)方陣的特征值的性質(zhì)故秩為1的方陣A只有一個非零特征值k=,其余的n-1個特征值都是零特征值,即=,.下面通過具體的實(shí)例來說明秩為1的方陣特征值的簡便求法.例4.1設(shè)n階方陣A=,求A的特征值.解顯然R(A)=1,則可設(shè)A=,其中,,則,而=,從而,A的特征值滿足,故或.以上針對秩為1的方陣給出的一種求特征值的簡便方法,說明在求某一方陣的特征值,包括解決其他任何實(shí)際問題時(shí),不要硬背理論,死套公式,而應(yīng)根據(jù)問題的具體特點(diǎn),采取不同的解決方法.4.2正交矩陣的特征多項(xiàng)式正交矩陣作為一種特殊形式的矩陣,在整個矩陣?yán)碚擉w系中具有舉足輕重的作用,它具有很好的性質(zhì),因此其特征多項(xiàng)式和特征根有某些獨(dú)特的規(guī)律.首先看下面的定義:定義4.1如果一個n階實(shí)矩陣A有,即,則稱A為正交矩陣.定義4.2設(shè)A為n階矩陣,任取?行和?列,位于這些行和列的交點(diǎn)上的個元素組成一個k階行列式,稱為矩陣A的k階主子式.引理4.1設(shè)n階方陣A=（）（i=1,2,...,n;j=1,2,...,n）的特征多項(xiàng)式為,則其中為A的一切k階主子式的和乘以,即bk=引理4.2矩陣A的k階主子式和等于A的一切可能k個特征根乘積之和.引理4.3正交矩陣的行列式的值為±1引理4.4若A是正交矩陣,則A′,,都是正交矩陣.引理4.5正交矩陣的特征根模為1.引理4.6若是正交矩陣A的特征根,則也是A的特征根引理4.7設(shè)U是一個三階正交矩陣,且|U|=1,則(i)U有一個特征根等于1(ii)U的特征多項(xiàng)式有形式(-1≤t≤3).引理4.8設(shè)A為正交矩陣,(i)若|A|=1,則A的任意k階子式與其代數(shù)余子式相等;(ii)若|A|=-1,則A的任意k階子式與其代數(shù)余子式僅差一符號.推論4.1設(shè)A為n階正交矩陣,（i）若|A|=1,則A的任意k階主子式等于其余子式,且k階主子式的余子式為A的n-k階主子式;(ii)若|A|=-1,則A的任意k階主子式與其余子式僅差一符號,且k階主子式的余子式為A的n-k階主子式.下面,將給出正交矩陣的特征多項(xiàng)式定理4.2設(shè)A為n階正交矩陣,為A的特征多項(xiàng)式,則(1)當(dāng)|A|=1時(shí),(i)n為偶數(shù)時(shí),其中（k=2,?,）,.（ii）n為奇數(shù)時(shí),其中（k=1,2,?,）,=-1.(2)當(dāng)|A|=-1時(shí),(i)n為偶數(shù)時(shí),其中（k=2,?,）,=-1.（ii）n為奇數(shù)時(shí),其中（k=1,2,?,）,=1.證據(jù)引理1知正交矩陣A的特征多項(xiàng)式為其中為A的一切k階主子式的和乘以,令為A的k階主子式,為k階主子式的代數(shù)余子式,=為的余子式.（1）當(dāng)|A|=1時(shí),=因?yàn)锳的k階主子式,所以為A的n-k階主子式,故A的一切k階主子式之和等于A的一切n-k階主子式之和.(i)n為偶數(shù)時(shí),有奇數(shù)項(xiàng),由=,且為所有之和乘以,為所有之和乘以,其中=(n為偶數(shù)).故（k=2,?,）,(ii)n為奇數(shù),有偶數(shù)項(xiàng),由=和,且為所有k階主子式之和乘以,為所有n-k階主子式之和乘以,其中與相差一符號,故（k=1,2,?,）,所以,若|A|=1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有奇數(shù)項(xiàng),它以為中間項(xiàng),左右對稱項(xiàng)的系數(shù)相同,其中包括首項(xiàng)系數(shù)與常數(shù)項(xiàng);當(dāng)n為奇數(shù),A的特征多項(xiàng)式有偶數(shù)項(xiàng).處在對稱位置的左右兩項(xiàng)系數(shù)僅差一符號,因首項(xiàng)系數(shù)為1,為-1,故也包括在內(nèi).（2）若|A|=1,==故A的一切k階主子式之和與A的一切n-k階主子式之和僅差一符號.(i)n為偶數(shù)時(shí),有奇數(shù)項(xiàng),=-,且為所有之和乘以,為所有之和乘以,其中=(n為偶數(shù)).故（k=2,?,）,.(ii)n為奇數(shù),有偶數(shù)項(xiàng),=-,,且為所有k階主子式之和乘以,為所有n-k階主子式之和乘以,其中與相差一符號,故（k=2,?,）,所以,若|A|=-1,當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有奇數(shù)項(xiàng),以為中間項(xiàng),左右兩邊對稱項(xiàng)的系數(shù)相差一符號,因首項(xiàng)系數(shù)為1,為-1,故也包括在內(nèi);當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),A的特征多項(xiàng)式有偶數(shù)項(xiàng),處在對稱位置的左右兩項(xiàng)系數(shù)相同,因首項(xiàng)系數(shù)為1,為1,所以也包括在內(nèi).4.3求三對角矩陣特征多項(xiàng)式的一種簡便方法這里用遞推的方法給出一種求三對角矩陣特征多項(xiàng)式的算法.首先,給出一個定理:定理4.3若A的特征多項(xiàng)式的伴隨矩陣()=++?++,則()與的系數(shù),(j=n-1,n-2,?,1,0)有如下關(guān)系:其中為矩陣的跡,余類推但當(dāng)矩陣A是實(shí)三對角矩陣時(shí),上述結(jié)果計(jì)算量偏大.那么,在這里,給出一種針對三對角矩陣特征多項(xiàng)式給為簡便的方法.首先,看下面的引理:引理4.9記,,,為實(shí)數(shù).表示A的k階順序主子式,其中,An=A,設(shè)的特征多項(xiàng)式為,有遞推關(guān)系:由于該遞推公式?jīng)]有直接給出中的各次冪的系數(shù),使用不太方便.下面給出一種求三對角矩陣特征多項(xiàng)式系數(shù)的簡便方法,通過遞推,直接確定(i=n-1,?,1,0).定理4.4設(shè)A的特征多項(xiàng)式,的特征多項(xiàng)式,其中為,則這就是實(shí)三對角矩陣特征多項(xiàng)式的求法公式,下面將結(jié)合一道例題對本定理進(jìn)行一定說明.例4.2若A=,求.解由上述方法,可得所以=.本篇論文是在掌握對高等代數(shù)課本知識了解的基礎(chǔ)上,著重對以上幾種特殊的矩陣進(jìn)行研究,參考借鑒了前輩學(xué)者對這一方面的研究,不再是單一的求出某一類矩陣的特征多項(xiàng)式,而是綜合性地給出以上幾種矩陣的求法.不過,依然還存在著許多問題,希望能在以后的學(xué)習(xí)和研究中得到更深的解決.參考文獻(xiàn)[1]北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組.高等代數(shù)[M].北京:高等教育出版社,2005.[2]劉劍平,曹宵臨.線性代數(shù)復(fù)習(xí)與解題指導(dǎo)[M].上海:華東理工大學(xué)出版社,2001.[3]許甫華.高等代數(shù)解題方法[M].北京:清華大學(xué)出版社,2001.[4]張繼昌.大學(xué)數(shù)學(xué)考研專題復(fù)習(xí)[M].北京:科學(xué)出版社,2004.[5]錢志強(qiáng).線性代數(shù)教與學(xué)參考[M].北京:中國致公出版社,2001.[6]張德菊,張曉敏.正交矩陣的特征值及特征根[J].大學(xué)數(shù)學(xué),23(1):152-154.[7]周雪娟,關(guān)于矩陣特征根與特征向量的一個簡潔求法[J].浙江海洋學(xué)報(bào),1999,18(4):350-353.[8]黃映雪,關(guān)于矩陣特征多項(xiàng)式的幾個命題[J].阜陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2006,23(2):27-28.[9]李巍,胡方景.關(guān)于矩陣的特征多項(xiàng)式的展開式[J].青海師專學(xué)報(bào),2001,6:8-9.[10]劉亞亞,程國.一種改進(jìn)的求方陣特征值的方法[J].商洛學(xué)院學(xué)報(bào),2008,22(2):15-16.[11]陳攀峰,矩陣特征問題的計(jì)算方法[J].宿州師專學(xué)報(bào),2003,18(1):75-77.[12]何翼,求矩陣的特征值與特征向量的新方法[J].銅仁學(xué)院學(xué)報(bào),2009,11(3):139.[13]孫長春,孫淑鴻.同時(shí)求出特征值和特征向量的一種方法[J].長春工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào),2003,24(2):59-60.[14]研究生入學(xué)考試試題研究組.研究生入學(xué)考試考點(diǎn)解析與真題詳解[M].電子工業(yè)出版社,2008.[15]張文瑾.矩陣特征多項(xiàng)式的一種方法[J].數(shù)學(xué)通報(bào),1988,9:28[16]蔣爾雄,高坤敏,吳景琨.線性代數(shù)[M].成都:四川大學(xué)出版社,1985.[17]趙立新,曾文才.利用矩陣的初等變換求方陣的特征值[J].大學(xué)數(shù)學(xué),2004，20(3):62-64.[18]陳紅，李信巧.矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形及相似變換矩陣的初等變換求法[J].高等數(shù)學(xué)研究,2003，13(2)：23-26.[19]JENOSZIGETI.ONTHECHARACTERISTICPOLYNOMIALOFSUPERMATRICES[J].IsraelJournalofMathematics.1998,107:229-235[20]N.RAJRAO·ALANEDELMAN.THEPOLYNOMIAALMETHODFORRANDOMMATRICES[J].FoundComputMath.2008,8:649–702謝辭隨著本篇論文的最后敲定,大學(xué)時(shí)光也即將在四年的蹉跎中走完.本篇論文的完成,得益于臺州學(xué)院特別是數(shù)信學(xué)院老師傳授的知識,使本人有了完成論文所要求的知識積累.更加特別感謝我的論文指導(dǎo)老師范麗紅老師,從選題的確定、論文資料的收集、論文框架的確定、開題報(bào)告準(zhǔn)備及論文初稿與定稿中對字句的斟酌傾注的大量心血,在此對導(dǎo)師范麗紅老師表示感謝！在論文寫作過程中,我還參考了有關(guān)的書籍和論文,在這里一并向有關(guān)的作者表示謝意.另起一頁題目：黑體，小另起一頁題目：黑體，小三號行距1.5行段前1.5行，段后1.5行內(nèi)容：首行縮進(jìn)2字符，宋體，小4號內(nèi)容：首行縮進(jìn)2字符，宋體，小4號，1.5倍行距段前0行，段后0行基于C8051F單片機(jī)直流電動機(jī)反饋控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的嵌入式Web服務(wù)器的研究MOTOROLA單片機(jī)MC68HC（8）05PV8/A內(nèi)嵌EEPROM的工藝和制程方法及對良率的影響研究基于模糊控制的電阻釬焊單片機(jī)溫度控制系統(tǒng)的研制基于MCS-51系列單片機(jī)的通用控制模塊的研究基于單片機(jī)實(shí)現(xiàn)的供暖系統(tǒng)最佳啟停自校正（STR）調(diào)節(jié)器單片機(jī)控制的二級倒立擺系統(tǒng)的研究基于增強(qiáng)型51系列單片機(jī)的TCP/IP協(xié)議棧的實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的蓄電池自動監(jiān)測系統(tǒng)基于32位嵌入式單片機(jī)系統(tǒng)的圖像采集與處理技術(shù)的研究基于單片機(jī)的作物營養(yǎng)診斷專家系統(tǒng)的研究基于單片機(jī)的交流伺服電機(jī)運(yùn)動控制系統(tǒng)研究與開發(fā)基于單片機(jī)的泵管內(nèi)壁硬度測試儀的研制基于單片機(jī)的自動找平控制系統(tǒng)研究基于C8051F040單片機(jī)的嵌入式系統(tǒng)開發(fā)基于單片機(jī)的液壓動力系統(tǒng)狀態(tài)監(jiān)測儀開發(fā)模糊Smith智能控制方法的研究及其單片機(jī)實(shí)現(xiàn)一種基于單片機(jī)的軸快流CO〈,2〉激光器的手持控制面板的研制基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究基于CYGNAL單片機(jī)的在線間歇式濁度儀的研制基于單片機(jī)的噴油泵試驗(yàn)臺控制器的研制基于單片機(jī)的軟起動器的研究和設(shè)計(jì)基于單片機(jī)控制的高速快走絲電火花線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究基于單片機(jī)的機(jī)電產(chǎn)品控制系統(tǒng)開發(fā)基于PIC單片機(jī)的智能手機(jī)充電器基于單片機(jī)的實(shí)時(shí)內(nèi)核設(shè)計(jì)及其應(yīng)用研究基于單片機(jī)的遠(yuǎn)程抄表系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的煙氣二氧化硫濃度檢測儀的研制基于微型光譜儀的單片機(jī)系統(tǒng)單片機(jī)系統(tǒng)軟件構(gòu)件開發(fā)的技術(shù)研究基于單片機(jī)的液體點(diǎn)滴速度自動檢測儀的研制基于單片機(jī)系統(tǒng)的多功能溫度測量儀的研制基于PIC單片機(jī)的電能采集終端的設(shè)計(jì)和應(yīng)用基于單片機(jī)的光纖光柵解調(diào)儀的研制氣壓式線性摩擦焊機(jī)單片機(jī)控制系統(tǒng)的研制基于單片機(jī)的數(shù)字磁通門傳感器基于單片機(jī)的旋轉(zhuǎn)變壓器-數(shù)字轉(zhuǎn)換器的研究基于單片機(jī)的光纖Bragg光柵解調(diào)系統(tǒng)的研究單片機(jī)控制的便攜式多功能乳腺治療儀的研制基于C8051F020單片機(jī)的多生理信號檢測儀基于單片機(jī)的電機(jī)運(yùn)動控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)Pico專用單片機(jī)核的可測性設(shè)計(jì)研究基于MCS-51單片機(jī)的熱量計(jì)基于雙單片機(jī)的智能遙測微型氣象站MCS-51單片機(jī)構(gòu)建機(jī)器人的實(shí)踐研究基于單片機(jī)的輪軌力檢測基于單片機(jī)的GPS定位儀的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的電液伺服控制系統(tǒng)用于單片機(jī)系統(tǒng)的MMC卡文件系統(tǒng)研制基于單片機(jī)的時(shí)控和計(jì)數(shù)系統(tǒng)性能優(yōu)化的研究基于單片機(jī)和CPLD的粗光柵位移測量系統(tǒng)研究單片機(jī)控制的后備式方波UPS提升高職學(xué)生單片機(jī)應(yīng)用能力的探究基于單片機(jī)控制的自動低頻減載裝置研究基于單片機(jī)控制的水下焊接電源的研究基于單片機(jī)的多通道數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于uPSD3234單片機(jī)的氚表面污染測量儀的研制基于單片機(jī)的紅外測油儀的研究96系列單片機(jī)仿真器研究與設(shè)計(jì)基于單片機(jī)的單晶金剛石刀具刃磨設(shè)備的數(shù)控改造基于單片機(jī)的溫度智能控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)基于MSP430單片機(jī)的電梯門機(jī)控制器的研制基于單片機(jī)的氣體測漏儀的研究基于三菱M16C/6N系列單片機(jī)的CAN/USB協(xié)議轉(zhuǎn)換器基于單片機(jī)和DSP的變壓器油色譜在線監(jiān)測技術(shù)研究基于單片機(jī)的膛壁溫度報(bào)警系統(tǒng)設(shè)計(jì)基于AVR單片機(jī)的低壓無功補(bǔ)償控制器的設(shè)計(jì)基于單片機(jī)船舶電力推進(jìn)電機(jī)監(jiān)測系統(tǒng)基于單片機(jī)網(wǎng)絡(luò)的振動信號的采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的大容量數(shù)據(jù)存儲技術(shù)的應(yīng)用研究基于單片機(jī)的疊圖機(jī)研究與教學(xué)方法實(shí)踐基于單片機(jī)嵌入式Web服務(wù)器技術(shù)的研究及實(shí)現(xiàn)基于AT89S52單片機(jī)的通用數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)基于單片機(jī)的多道脈沖幅度分析儀研究機(jī)器人旋轉(zhuǎn)電弧傳感角焊縫跟蹤單片機(jī)控制系統(tǒng)基于單片機(jī)的控制系統(tǒng)在PLC虛擬教學(xué)實(shí)驗(yàn)中的應(yīng)用研究基于單片機(jī)系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)通信研究與應(yīng)用基于PIC16F877單片機(jī)的莫爾斯碼自動譯碼系統(tǒng)設(shè)計(jì)與研究基于單片機(jī)的模糊控制器在工業(yè)電阻爐上的應(yīng)用研究基于雙單片機(jī)沖床數(shù)控系統(tǒng)的研究與開發(fā)基于Cygnal單片機(jī)的μC/OS-Ⅱ的研究基于單片機(jī)的一體化智能差示掃描量熱儀系統(tǒng)研究基于TCP/IP協(xié)議的單片機(jī)與Internet互聯(lián)的研究與實(shí)現(xiàn)變頻調(diào)速液壓電梯單片機(jī)控制器的研究基于單片機(jī)γ-免疫計(jì)數(shù)器自動換樣功能的研究與實(shí)現(xiàn)基于單片機(jī)的倒立擺控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)嵌入式以太網(wǎng)防盜報(bào)警系統(tǒng)基于51單片機(jī)的嵌入式Internet系統(tǒng)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn)單片機(jī)監(jiān)測系統(tǒng)在擠壓機(jī)上的應(yīng)用MSP430單片機(jī)在智能水表系統(tǒng)上的研究與應(yīng)用HYPERLI