2023屆高三數(shù)學一輪基礎(chǔ)鞏固第8章第4節(jié)空間中的平行關(guān)系（含解析）北師大版

PAGE1-【走向高考】2016屆高三數(shù)學一輪基礎(chǔ)鞏固第8章第４節(jié)空間中的平行關(guān)系北師大版一、選擇題1.下列命題中正確的個數(shù)是（)①若直線ａ不在α內(nèi),則a∥α；②若直線l上有無數(shù)個點不在平面α內(nèi)，則l∥α;③若直線l與平面α平行，則l與α內(nèi)的任意一條直線都平行；④若ｌ與平面α平行,則l與α內(nèi)任何一條直線都沒有公共點；⑤平行于同一平面的兩直線可以相交.A．1 B．2C.3?D．４[答案]B[解析］ａ∩α＝Ａ時,a?α，故①錯；直線l與α相交時，l上有無數(shù)個點不在α內(nèi),故②錯；ｌ∥α時，α內(nèi)的直線與l平行或異面,故③錯;ｌ∥α，ｌ與α無公共點，所以ｌ與α內(nèi)任一條直線都無公共點，④正確;長方體中的相交直線Ａ1C1與B1D１都與面ＡBCD平行,所以⑤2.下列四個正方體圖形中,A,B為正方體的兩個頂點，M，Ｎ,P分別為其所在棱的中點，能得出ＡＢ∥平面MＮＰ的圖形的序號是（)A．①③ B.①④C．②③?D.②④［答案]B［解析］①由平面ＡBC∥平面MＮＰ，可得AB∥平面MNP．④由ＡB∥ＣD,CD∥ＮＰ，得ＡB∥NP,所以AＢ∥平面ＭNP.3．若有直線m、n和平面α、β，下列四個命題中,正確的是()A.若ｍ∥α,n∥α,則m∥nB.若ｍα，nα,m∥β，ｎ∥β，則α∥βC.若α⊥β，ｍα,則m⊥βＤ.若α⊥β,m⊥β,m?α,則m∥α[答案］D[解析]如圖(1），β∥α,mβ，nβ,有m∥α,n∥α,但m與n可以相交,故A錯;如圖（2)，ｍ∥n∥l,α∩β=ｌ，有m∥β，n∥β，故B錯；如圖(3),α⊥β，α∩β＝l,mα,m∥l,故Ｃ錯.D選項證明如下：α⊥β設(shè)交線為l，在α內(nèi)作n⊥l，則n⊥β，∵m⊥β，∴m∥ｎ，∵nα,m?α,∴ｍ∥α．4．（文)設(shè)ｍ,n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面()Ａ.若m∥α,n∥α，則m∥n?B．若m∥α,m∥β,則α∥βＣ．若m∥n,m⊥α，則n⊥α?D.若m∥α,α⊥β,則m⊥β[答案]C[解析］若m∥α,ｎ∥α，則m與ｎ可能平行、相交或異面，A錯誤；若m∥α，ｍ∥β,則α與β可能平行也可能相交，Ｂ錯誤；若ｍ∥ｎ,ｍ⊥α，則由線面垂直的性質(zhì)定理可得n⊥α，C正確;若m∥α,α⊥β,則m可能在β內(nèi)可能平行，也可能垂直，D錯誤．(理)設(shè)ｌ為直線,α，β是兩個不同的平面．下列命題中正確的是（)A．若ｌ∥α,l∥β,則α∥βB．若l⊥α,l⊥β,則α∥βC．若ｂ⊥α，l∥β,則α∥βD．若α⊥β，ｌ∥α,則l⊥β[答案]B[解析]本題考查了空間線面關(guān)系．若α∩β＝m，l∥ｍ，l?α,l?β,則A錯．垂直于同一直線的兩平面平行,B正確．當ｌ⊥α，l∥β時α⊥β，C錯，若α⊥β,ｌ∥α,則l與β關(guān)系不確定,D錯.5.(201５·聊城模擬)設(shè)a、b、c表示三條不同的直線,α、β表示兩個不同的平面,則下列命題中不正確的是()A．ｅq＼ｂ\lｃ\\rc＼｝(\a\vｓ４＼al\co１(c⊥α，α∥β）)?ｃ⊥βＢ.eq\b＼lc\\rc\｝(\a\ｖs4＼aｌ\co1(bβ，a⊥b,c是ａ在β內(nèi)的射影))?b⊥cＣ.ｅq\ｂ＼lc\\rc\}(\a\vs4＼al\co１(bα,c?α,b∥c))?c∥αD.ｅq\b＼ｌc\＼rc＼}(＼a\ｖs４\ａl＼co１(a∥α，ｂ⊥a))?b⊥α［答案］Ｄ[解析]由ａ∥α,ｂ⊥α可得ｂ與α的位置關(guān)系有：ｂ∥α，bα,ｂ與α相交,所以Ｄ不正確.６．(文)設(shè)m，n是平面α內(nèi)的兩條不同直線;ｌ1，l2是平面β內(nèi)的兩條相交直線,則α∥β的一個充分而不必要條件是()A.ｍ∥β且l1∥α?B．m∥l1且n∥l2C.ｍ∥β且n∥β D.m∥β且n∥ｌ2[答案]B[解析］本小題主要考查線面平行、面面平行、充要條件等基礎(chǔ)知識．易知選項A、C、Ｄ推不出α∥β,只有B可推出α∥β，且α∥β不一定推出B，∴B項為α∥β的一個充分而不必要條件,選B．(理)如圖,在四面體ＡＢCD中,若截面ＰQMN是正方形，則在下列命題中，錯誤的為()A．AC⊥ＢＤB．AＣ∥截面PQMNC．AC＝BDD．異面直線ＰＭ與BＤ所成的角為45°［答案]C[解析］∵截面PＱＭN為正方形,∴ＰQ∥MＮ,PQ∥平面DAC.又∵平面AＢＣ∩平面ADＣ=AC,PQ平面ＡBC，∴ＰQ∥AC，同理可證QM∥BD.故選項A、Ｂ、D正確,C錯誤.二、填空題7．（文）棱長為2的正方體ＡBCＤ－A1Ｂ1Ｃ1Ｄ1中,M是棱AA1的中點，過C、M、D1[答案]eｑ\ｆ(9,２)[解析］由面面平行的性質(zhì)知截面與平面ＡB１的交線ＭN是△AA１B的中位線,所以截面是梯形ＣD1MN，易求其面積為ｅｑ\f(9,２）．(理)如圖，正方體AＢCD-A1B１C1Ｄ1中，AB=２，點E為ＡD的中點,點F在CD上，若EF∥平面ＡB１C,則線段［答案]eq＼r（２)[解析]本題考查線面平行．由EＦ∥平面AB１C,EF平面ABCD，平面ＡBＣD∩平面AB１Ｃ=AC,知EF∥AC.所以由E是中點知EF＝eｑ\f（1，２)ＡC＝ｅq\ｒ(２).8.(文)在四面體ＡBCD中，M、N分別是面△ACD，△BＣD的重心,則四面體的四個面中與MN平行的是__＿_＿_＿_.[答案]平面AＢＣ與平面ＡBD[解析］連BN延長交CD于點E，連ＡＭ并延長也與CＤ交于Ｅ點(因為E為CD中點),又ｅq\f(ＥM,ＡＭ)＝eq＼f(ＥN，BN)＝eq\f(1,２)，故ＭＮ∥AＢ．所以MN∥平面ＡBC且MN∥平面AＢD.(理）過三棱柱ＡＢC－Ａ１Ｂ１C１的任意兩條棱的中點作直線，其中與平面AＢB1A[答案]6[解析]過三棱柱ＡＢＣ-Ａ1Ｂ1C1的任意兩條棱的中點作直線，記AＣ,BＣ,A1C1，B1Ｃ1的中點分別為E,F,E1,F１，則直線EＦ,Ｅ1F1，EE1，F(xiàn)F1,E1F，EF19．已知平面α∩β=ｍ,直線ｎ∥α，n∥β,則直線m、n的位置關(guān)系是___＿___＿.[答案]m∥n[解析]在α內(nèi)取點A?m，則點A與n確定一平面θ，且θ∩α＝A．同理可作平面γ且γ∩β＝B．∵n∥α,n∥β,∴n∥a，n∥B．∴a∥B.∵a?β，ｂβ，∴a∥β．∵aα，α∩β=m，∴a∥m，∴n∥m.三、解答題１0.(2０1４·安徽高考)如圖,四棱錐P-ABCD的底面邊長為8的正方形,四條側(cè)棱長均為2eq\r(１７).點G，E，F(xiàn),H分別是棱PＢ,AB，CD，PＣ上共面的四點,平面GEFH⊥平面AＢＣＤ，ＢC∥平面GEFH.(1)證明:ＧＨ∥ＥF；(2)若EB=2,求四邊形GEＦH的面積.[解析]∵BＣ∥平面GEFH,BＣ平面ＰＢC，且平面PBＣ∩平面GEFH=GH,∴GH∥ＢC．同理可證EF∥ＢC,∴GH∥EF.（2)連接ＡC,BD交于一點O，BC交ＥＦ于K,連接ＯＰ、GK.因為PＡ=PC,O是AC的中點,所以PＯ⊥ＡＣ，同理可證PO⊥ＢD,又∵BD∩AＣ＝O,且AC,ＢD都在底面內(nèi)，∴PO⊥平面AＢCD，又∵平面GEFH⊥平面ＡＢＣD，PO?平面GＥFＨ,∴ＰO∥平面GEFＨ.又∵平面GEFH∩平面PBD＝ＧＫ，∴ＰO∥GK，且GK⊥平面ABCD，∴GK⊥EＦ,所以GＫ是梯形GEFH的高.∵AB=8,ＥB=２，∴EBAB=KBDB＝14,∴KB＝eｑ\f（1，4)ＤＢ＝eｑ\f（１,2)OB，即K為OB的中點,又∵PO∥GK,∴GK＝eｑ\f（1，2)PO，即G是PＢ的中點,且GＨ＝eq＼ｆ(１，2）BC＝4．又由已知得ＯB=4ｅｑ＼r（2),PＯ=eｑ\r(PB２-ＯB２)=eq＼ｒ(６８－32)＝6.∴GＫ=3．∴四邊形ＧＥFH的面積S＝eq\f（GH+EF,２)·GK=eｑ\ｆ（4+８,2)×３＝１8.一、選擇題1.（文)設(shè)m,ｌ是兩條不同的直線,α是一個平面，則下列命題正確的是()Ａ．若l⊥m，ｍα,則l⊥α Ｂ．若l⊥α，l∥m，則m⊥αＣ.若ｌ∥α,ｍα,則l∥ｍ?D．若ｌ∥α，m∥α，則l∥ｍ[答案]Ｂ[解析]兩平行線中一條垂直于一個平面，另一條邊垂直于這個平面，故選B．(理)已知兩條互不重合的直線m、n,兩個互不重合的平面α、β，給出下列命題：①若m⊥α，n⊥β，且ｍ⊥n，則α⊥β；②若ｍ∥α,n∥β,且m∥n，則α∥β；③若m⊥α,n∥β,且m⊥n，則α⊥β;④若m⊥α,n∥β,且m∥n，則α∥β.其中正確命題的個數(shù)為(）A．0?B.1C.2?D.3［分析］本題考查線面的位置關(guān)系．雖然是一道單選題，但更似一道多選題,對所述四個命題的判斷有一個出錯就不可能產(chǎn)生正確結(jié)果.［答案]B[解析]命題①是正確的；命題②不正確,很容易找到反例;命題③也不正確,可以構(gòu)造出α∥β的情形;命題④也不正確,可以構(gòu)造出α⊥β的情形．2.(文)已知兩條直線m、n,兩個平面α、β.給出下面四個命題:①ｍ∥n,m⊥α?n⊥α；②α∥β，ｍα，ｎβ?m∥n;③m∥ｎ，m∥α?n∥α;④α∥β,m∥n，m⊥α?ｎ⊥β．其中正確命題的序號是()A.①③ B.②④Ｃ．①④?D．②③［答案]C[解析]兩條平行線中一條垂直于一個平面，則另一條也垂直于這個平面，故①正確;兩平面平行，分別在這兩平面內(nèi)的兩直線可能平行,也可能異面，故②錯;m∥n，m∥α時,n∥α或ｎα,故③錯；由α∥β，m⊥α得m⊥β，由m⊥β,ｎ∥m得n⊥β，故④正確．(理)已知平面α⊥平面β,α∩β=l,點A∈α，A?l，直線AB∥l，直線ＡC⊥l,直線m∥α,m∥β，則下列四種位置關(guān)系中,不一定成立的是()A.AB∥ｍ B.ＡC⊥ｍＣ．AB∥β?D．AC⊥β[答案]D[解析]∵m∥α，m∥β,α∩β=l，∴m∥l.∵ＡB∥ｌ,∴AB∥m.故A一定正確．∵AC⊥l，m∥ｌ,∴AC⊥m,從而B一定正確.∵Ａ∈α,ＡB∥l,lα，∴B∈α.∴AB?β，lβ．∴AＢ∥β.故C也正確.∵AC⊥l，當點C在平面α內(nèi)時，AＣ⊥β成立,當點Ｃ不在平面α內(nèi)時,ＡC⊥β不成立，故D不一定正確.二、填空題3.已知a，ｂ，c為三條不重合的直線,α,β,γ為三個不重合的平面,直線均不在平面內(nèi),給出六個命題：①eq\ｂ\ｌc\\rc＼}(＼a＼vｓ4\al\cｏ1(a∥ｃ,b∥c))?a∥b；②eq\ｂ\lc\\ｒｃ\｝(＼a\vs4\al\co1(a∥γ,b∥γ))?ａ∥ｂ；③eq\ｂ\ｌc\\rc\}(\a＼ｖs4\al\co1(α∥c,β∥c))?α∥β；④eq\b＼ｌc\\ｒｃ\}(\a＼vs4\al\ｃo1(α∥ｃ,ａ∥c))?a∥α;⑤ｅq\b\ｌc\\rc\}(＼ａ＼vs4\al\co１（α∥γ，β∥γ))?α∥β;⑥eq\b\lc\＼rｃ\｝(＼a\vs4\aｌ＼co1(α∥γ,ａ∥γ)）?a∥α.其中正確的命題是___＿___＿（將正確命題的序號都填上).[答案]①④⑤⑥[解析]②中ａ，b的位置可能相交、平行、異面;③中α、β的位置可能相交.4.(文)在正四棱柱ABCD－A1B1C1D１中，O為底面ABCD的中心,P是DD1的中點,設(shè)Ｑ是CC１上的點，則點Q滿足條件＿＿______時，有平面D1BQ∥平面PAO[答案］Q為CＣ1的中點[解析］當Q為CC1的中點時，QＢ∥PA．又D1B?平面PAＯ,ＱB?平面PAO，所以Ｄ1B∥平面PAＯ.ＱB∥平面PAO，又D1B∩ＱB＝B,所以平面D1BQ∥平面PAO.(理）如圖所示,ＡBCＤ是空間四邊形，Ｅ,F,G,Ｈ分別是四邊上的點，它們共面,并且AC∥平面EFＧＨ，BＤ∥平面EFＧH，ＡC＝ｍ,BＤ＝n，當EＦＧH是菱形時,AEEB＝____＿___．[答案]ｍn[解析］如圖所示,設(shè)AE=a，EＢ＝b,由ＥF∥ＡC可得EF=eq＼f(bm，a＋ｂ）．同理EH＝eq＼f(an，a＋ｂ）．∵ＥF=EH，∴eq\f(bm,a+b)＝eq＼f(an,ａ+ｂ)，于是eq\f（a，b)=eq＼ｆ(m，n).三、解答題5．（文）如圖，若PＡ⊥平面ABCＤ，四邊形ABCD是矩形,E、F分別是AB、PＤ的中點，求證：ＡF∥平面PCE[解析]取PC的中點M，連接MＥ、MＦ，則FM∥CＤ且FM＝eｑ\f(1，2）CD.又∵AＥ∥CD且AE=eq＼ｆ(１,2)CD，∴FM綊AE,即四邊形AFMＥ是平行四邊形.∴AF∥MＥ，又∵ＡF?平面PCE，EM平面PCE,∴ＡF∥平面ＰCE．（理)如圖，已知α∥β，異面直線AB,ＣD和平面α,β分別交于Ａ,B，C，D四點,E，F(xiàn),Ｇ，Ｈ分別是ＡＢ，BC，CD，DA的中點.求證：(1）E，F(xiàn),G,H共面；（2)平面EＦGH∥平面α．[解析](1)∵E，H分別是AB，ＤＡ的中點，∴EH綊eq\f(１，2)ＢD.同理,ＦＧ綊eq\f(１,2）BD，∴FG綊EH.∴四邊形ＥFＧH是平行四邊形,∴Ｅ，F(xiàn)，G,H共面.(２）平面ABＤ和平面α有一個公共點A，設(shè)兩平面交于過點A的直線AD′.∵α∥β，∴AD′∥BD．又∵ＢD∥EH，∴EＨ∥BD∥AＤ′．∴EＨ∥平面α，同理，EF∥平面α，又EH∩EF＝E,ＥH平面EFGH,ＥF平面ＥFGＨ,∴平面EＦGH∥平面α．6．如圖，四棱柱ABCD－A１B１C１D1的底面ABCD是正方形，O為底面中心，A１O(jiān)⊥底面ABCD,AB=AA1＝eq\r（2)．(1)證明：平面Ａ1BD∥平面CD１B1；(2）求三棱柱ABD－Ａ1Ｂ１Ｄ１的體積．[解析](１）由題設(shè)知，BB1綊DD