2023屆遼寧省協(xié)作校高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題

2023屆遼寧省協(xié)作校高三下學(xué)期第一次模擬考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合A的元素，再按照交集的定義求解.【詳解】對(duì)于，解集為，，；故選：C.2．若，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)，分別求出，再根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算公式計(jì)算結(jié)果即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，所以，，所?故選：C3．6名老師被安排到甲?乙?丙三所學(xué)校支教，每名老師只去1所學(xué)校，甲校安排1名老師，乙校安排2名老師，丙校安排3名老師，則不同的安排方法共有（

）A．30種 B．60種 C．90種 D．120種【答案】B【分析】按照分步計(jì)數(shù)原理求解.【詳解】依題意，第一步，從6名老師中隨機(jī)抽取1名去甲校，有種方法；第二步，從剩下的5名老師中抽取2名取乙校，有種方法；第三部，將剩余的3名老師給丙校，有種方法；總共有種方法；故選：B.4．某同學(xué)在參加《通用技術(shù)》實(shí)踐課時(shí)，制作了一個(gè)工藝品，如圖所示，該工藝品可以看成是一個(gè)球被一個(gè)棱長(zhǎng)為的正方體的六個(gè)面所截后剩余的部分（球心與正方體的中心重合），若其中一個(gè)截面圓的周長(zhǎng)為，則該球的半徑是（

）A．2 B．4 C． D．【答案】B【解析】先求出截面圓的半徑，然后根據(jù)球的半徑，小圓半徑，球心距三者之間的關(guān)系列方程求解即可．【詳解】解：設(shè)截面圓半徑為，球的半徑為，則球心到某一截面的距離為正方體棱長(zhǎng)的一半即，根據(jù)截面圓的周長(zhǎng)可得，得，故由題意知，即，所以，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查球被面所截的問(wèn)題，考查學(xué)生計(jì)算能力以及空間想象能力，是基礎(chǔ)題．5．已知，則大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用換底公式結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，，，又因?yàn)?，且函?shù)在上為增函數(shù)，故.故選：C.6．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．的周期為B．在上單調(diào)遞增C．的對(duì)稱中心為D．在上單調(diào)遞減【答案】D【分析】根據(jù)題意，由三角恒等變換可得函數(shù)的解析式，然后由正切函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)椋瑒t其周期為，故A正確；當(dāng)時(shí)，則，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；令，則，所以的對(duì)稱中心為，故C正確；因?yàn)檎泻瘮?shù)只有單調(diào)遞增區(qū)間，故D錯(cuò)誤；故選:D7．已知P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)記為A，B，則原點(diǎn)到直線距離的最大值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】設(shè)，然后表示出兩條切線方程，從而可表示出直線的方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式表示出原點(diǎn)到直線距離，從而可求出其最大值.【詳解】設(shè)，切點(diǎn)為，由，得，則，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線方程為，即，因?yàn)?，所以因?yàn)閮汕芯€都過(guò)點(diǎn)，所以，，所以直線的方程為，即，所以原點(diǎn)到直線距離為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以原點(diǎn)到直線距離的最大值為，故選：B8．設(shè)，若不等式在時(shí)恒成立，則的最大值為（

）A． B．1 C． D．

【答案】A【分析】根據(jù)原函數(shù)與反函數(shù)關(guān)于對(duì)稱構(gòu)造函數(shù)，再根據(jù)所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性求解.【詳解】對(duì)于，即，因?yàn)槭堑姆春瘮?shù)，所以與關(guān)于對(duì)稱，原問(wèn)題等價(jià)于對(duì)一切恒成立，即；令，則，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，，；故選：A.二、多選題9．給定數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，則這組數(shù)據(jù)的（

）A．中位數(shù)為3 B．方差為C．眾數(shù)為3 D．【答案】AB【分析】先將數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的順序排列，再逐項(xiàng)判斷.【詳解】解：將數(shù)5，4，3，5，3，2，2，3，1，2，按小到大的順序排列為：1，2，2，2，3，3，3，4，5，5，則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為，故A正確；數(shù)據(jù)中2，3，出現(xiàn)的此時(shí)最多，所以眾數(shù)為2和3，故C錯(cuò)誤；平均數(shù)為：，則方差為，故B正確；第分位數(shù)是數(shù)據(jù)中至少有的數(shù)據(jù)小于或等于該數(shù)，因此，從小到大第9個(gè)數(shù)字為5，故D錯(cuò)誤，故選：AB10．設(shè)正實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．有最小值4 B．有最大值C．有最大值 D．有最小值【答案】AD【分析】根據(jù)基本不等式即可結(jié)合選項(xiàng)逐一判斷ABD，根據(jù)向量數(shù)量積的性質(zhì)與柯西不等式，即可判斷C.【詳解】由可得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，對(duì)于A,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故A正確，對(duì)于B,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，設(shè)由于，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D,，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào)，故D正確，故選:AD11．如圖，在棱長(zhǎng)為1正方體中，為的中點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與垂直B．是異面直線與的公垂線段，C．異面直線與所成的角為D．異面直線與間的距離為【答案】ABD【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用空間向量逐項(xiàng)分析.【詳解】以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，為z軸，建立如下圖所示坐標(biāo)系：則：，，設(shè)，則有：，又，解得，，，，同理可得；對(duì)于A，，，，正確；對(duì)于B，，，即，又,故是異面直線與的公垂線段，正確；對(duì)于C，設(shè)與所成的角為，則，，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，由B知是與的公垂線段，，正確；故選：ABD.12．已知數(shù)列滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．?dāng)?shù)列為遞減數(shù)列 B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)數(shù)列的遞推公式和首項(xiàng)即可判斷選項(xiàng)A和B；利用數(shù)列的單調(diào)性和累加法求出，進(jìn)而判斷選項(xiàng)C和D.【詳解】因?yàn)楹涂芍?，?shù)列的各項(xiàng)均為正值，由可得，所以，則數(shù)列為遞減數(shù)列，故選項(xiàng)A正確；由選項(xiàng)A的分析可知：數(shù)列為遞減數(shù)列，又因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)B正確；由兩邊同時(shí)取倒數(shù)可得，則，所以，因?yàn)閿?shù)列為遞減數(shù)列，由可得，當(dāng)時(shí)，，即，當(dāng)時(shí)，，即，，，不等式累加可得：，所以，則，所以，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由可得，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：ABD.三、填空題13．函數(shù)向左或向右平移個(gè)單位后，所得圖像關(guān)于軸對(duì)稱，則的最小值是__________.【答案】##【分析】分別求解函數(shù)向左與向右平移個(gè)單位后函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的對(duì)稱性求解的最小正值，將兩種情況求出的值進(jìn)行比較即可得到結(jié)果.【詳解】將函數(shù)向右平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，其關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，此時(shí)，的最小正值是；將函數(shù)向左平移個(gè)單位，所得圖像對(duì)應(yīng)的解析式為，其關(guān)于軸對(duì)稱，則，即，此時(shí)，的最小正值是.綜上所述，的最小正值是.故答案為：.14．2022年卡塔爾世界杯是第二十二屆世界杯足球賽，是歷史上首次在卡塔爾和中東國(guó)家境內(nèi)舉行.某支深受大家喜愛(ài)的足球隊(duì)在對(duì)球員的使用上總是進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，根據(jù)以往的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)，A運(yùn)動(dòng)員能夠勝任中鋒?邊鋒及前腰三個(gè)位置，且出場(chǎng)率分別為0.2，0.5，0.3，當(dāng)該運(yùn)動(dòng)員擔(dān)當(dāng)中鋒?A球員參加比賽時(shí)，該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為_(kāi)_________.【答案】【分析】根據(jù)事件的獨(dú)立性以及概率乘法公式求解.【詳解】該運(yùn)動(dòng)員擔(dān)當(dāng)中鋒，不輸球的概率為，該運(yùn)動(dòng)員擔(dān)當(dāng)邊鋒，不輸球的概率為，該運(yùn)動(dòng)員擔(dān)當(dāng)前腰，不輸球的概率為，所以該球隊(duì)某場(chǎng)比賽不輸球的概率為，故答案為:.15．設(shè)點(diǎn)在單位圓的內(nèi)接正六邊形的邊上，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】根據(jù)對(duì)稱性不妨取為x軸，求出各點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)，利用平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解.【詳解】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，不妨取，設(shè)，則，故，，，可得，∵，則，∴.故答案為：.16．已知橢圓是橢圓上兩點(diǎn)，線段的垂直平分線與軸交于，則的取值范圍是__________.【答案】【分析】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為，利用點(diǎn)差法可得，從而可得線段AB的垂直平分線的方程，則，再由點(diǎn)在橢圓內(nèi)部可求出結(jié)果【詳解】設(shè)，，線段的中點(diǎn)為.若，即，則，滿足題意；若，即，則不滿足題意，應(yīng)舍去；當(dāng)時(shí)，有，作差得：因?yàn)?，，所以，因?yàn)?，所以，設(shè)線段的垂直平分線為，則，得：，令，得，又因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓內(nèi)部，則，則，故

.故答案為：.四、解答題17．在中，角所對(duì)的邊分別為.(1)求；(2)若，求的中線的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，運(yùn)用正弦定理余弦定理求解；（2）運(yùn)用向量數(shù)量積和基本不等式求解.【詳解】（1）因?yàn)樗?，由正弦定理可得，所以，因?yàn)?，則；（2）由題意，則，則，即的中線的最小值為（當(dāng)且僅當(dāng)取最小值）；綜上，的最小值為.18．如圖，已知四棱錐，底面是平行四邊形，且，是線段的中點(diǎn)，.(1)求證：平面；(2)下列條件任選其一，求二面角的余弦值.①與平面所成的角為；②到平面的距離為.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按一個(gè)解答計(jì)分.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)平行四邊形中的幾何關(guān)系可得再根據(jù)勾股定理可得，利用線面垂直的判定定理即可證明結(jié)果；（2）選①，取中點(diǎn)為，連接，根據(jù)幾何關(guān)系可得，根據(jù)（1）可得，根據(jù)線面垂直的判定定理可得平面，則與平面所成的角為，由此計(jì)算出，進(jìn)而計(jì)算得，可得為等邊三角形；選②，取中點(diǎn)為，連接，計(jì)算長(zhǎng)度及根據(jù)等體積法可求得，即可得為等邊三角形，建立合適的空間直角坐標(biāo)系，求得各個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面的法向量及平面的法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值即為二面角的余弦值絕對(duì)值即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：因?yàn)椋?，故，在中，，由余弦定理可得：，解得，在中，，所以，即，又因?yàn)槠矫?，平面，所以平面；?）選①，取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：因?yàn)?，故，由?）得平面，因?yàn)槠矫妫裕驗(yàn)?，平面，平面，所以平面，所以為與平面所成的角，即，因?yàn)椋?，所以為等邊三角形，且邊長(zhǎng)為1，所以，，由可得，因?yàn)?，，所以，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：所以，，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)二面角所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.選②，取中點(diǎn)為，連接，如圖所示：因?yàn)?，故，由?）得平面，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)?，，所以等邊三角形，所以，，設(shè)，則，因?yàn)?，所以，因?yàn)椋瑸橹悬c(diǎn)，所以，所以，由，，平面，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即，所以，因?yàn)?，即，即，解得，即，所以，所以為等邊三角形，以為原點(diǎn)，為在軸正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：所以，，設(shè)是平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，可得，設(shè)所成的角為，則，所以二面角的余弦值為.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，數(shù)列滿足，且(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(3)對(duì)于，試比較與的大小.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）由數(shù)列的前項(xiàng)和為，利用，能求出；（2）由，兩邊取倒數(shù)得，從而得到是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出；（3）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明成立，利用數(shù)學(xué)歸納法、二項(xiàng)式定理或函數(shù)的知識(shí)證明即可.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，也符合上式，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為；（2）易知，兩邊取倒數(shù)得，整理得，是以首項(xiàng)為，公比為2的等比數(shù)列，；（3）由（1）（2）問(wèn)可知，欲比較與的大小，即比較與的大小.當(dāng)時(shí)，，有；當(dāng)時(shí)，，有；當(dāng)時(shí)，，有，猜想，下面證明:方法一：當(dāng)時(shí)，，所以對(duì)于任意的都成立，所以.方法二：令，則令則，當(dāng)時(shí)，即在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞增，所以，所以，即，所以對(duì)于任意的都成立，所以.方法三：下面用數(shù)學(xué)歸納法證明①當(dāng)時(shí)，顯然成立；當(dāng)時(shí)，顯然成立；②假設(shè)時(shí)（，猜想成立，即成立，那么當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，?duì)任意的且上式都大于0，所以有，綜上所述，對(duì)于任意的都成立，所以.20．秋天的第一杯奶茶是一個(gè)網(wǎng)絡(luò)詞匯，最早出自四川達(dá)州一位當(dāng)?shù)孛窬?，民警用“秋天的第一杯奶茶”順利救下一名女孩，由此而火爆全網(wǎng).后來(lái)很多人開(kāi)始在秋天里買一杯奶茶送給自己在意的人.某奶茶店主記錄了入秋后前7天每天售出的奶茶數(shù)量（單位：杯）如下：日期第一天第二天第三天第四天第五天第六天第七天日期代碼1234567杯數(shù)4152226293132(1)請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，繪制散點(diǎn)圖，并根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)更適宜作為y關(guān)于x的回歸方程模型（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）；(2)建立y關(guān)于x的回歸方程（結(jié)果保留1位小數(shù)），并根據(jù)建立的回歸方程，試預(yù)測(cè)要到哪一天售出的奶茶才能超過(guò)35杯？(3)若每天售出至少25杯即可盈利，則從第一天至第七天中任選三天，記隨機(jī)變量X表示盈利的天數(shù)，求隨機(jī)變量X的分布列.參考公式和數(shù)據(jù)：其中回歸直線方程中，759【答案】(1)圖見(jiàn)解析，更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型；(2)，到第9天才能超過(guò)35杯；(3)分布列見(jiàn)解析.【分析】(1)根據(jù)散點(diǎn)圖趨勢(shì)即可判斷；(2)利用非線性回歸方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程的方法求解；(3)根據(jù)超幾何分布求分布列.【詳解】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖，知更適宜作為關(guān)于的回歸方程模型；（2）令，則，由已知數(shù)據(jù)得，，所以，故關(guān)于的回歸方程為，進(jìn)而由題意知，令，整理得，即，故當(dāng)時(shí)，即到第9天才能超過(guò)35杯；（3）由題意知，這7天中銷售超過(guò)25杯的有4天，則隨機(jī)變量的可能取值為，，，，則隨機(jī)變量的分布列為012321．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，左?右頂點(diǎn)分別為，且為上不與重合的一點(diǎn)，直線的斜率之積為3.(1)求雙曲線的方程；(2)平面一點(diǎn)且不在上，過(guò)的兩條直線分別交的右支于兩點(diǎn)和兩點(diǎn)，若四點(diǎn)在同一圓上，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】(1)(2)0【分析】（1）根據(jù)題意，由直線的斜率之積為3列出方程，然后由以及雙曲線的關(guān)系，即可得到結(jié)果；（2）由四點(diǎn)共圓，可得，然后將直線與雙曲線方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理分別表示出與即可得到結(jié)果.【詳解】（1）由題意，，設(shè)，則，所以①，因?yàn)橹本€的斜率之