2023屆陜西省商洛市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題

2023屆陜西省商洛市高三二模數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】解不等式可得集合，由交集定義可得結(jié)果.【詳解】由得：，即，.故選：A.2．復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算法則化簡求解即可.【詳解】．故選：C.3．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】B【分析】逐次執(zhí)行程序計算，，直到滿足，輸出即可．【詳解】第一次循環(huán)：，；第二次循環(huán)：，；第三次循環(huán)：，；第四次循環(huán)：，；第五次循環(huán)：，．退出循環(huán)，輸出．故選：B．4．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由約束條件可作出可行域，將問題轉(zhuǎn)化為直線在軸截距最小值的求解問題，采用數(shù)形結(jié)合的方式可求得結(jié)果.【詳解】由約束條件可得可行域如下圖陰影部分所示，當(dāng)取得最小值時，直線在軸截距最小，平移直線可知，當(dāng)過圖中點時，其在軸的截距最小，由得：，即，.故選：D.5．函數(shù)的部分圖象大致是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】奇偶性定義判斷函數(shù)奇偶性，結(jié)合上函數(shù)符號，應(yīng)用排除法即可得答案.【詳解】因為，所以且定義域為R，所以是奇函數(shù)，則的圖象關(guān)于原點對稱，排除A、B.當(dāng)時，，排除D.故選：C6．十項全能是田徑運(yùn)動中全能項目的一種，是由跑、跳、投等10個田徑項目組成的綜合性男子比賽項目，比賽成績是按照國際田徑聯(lián)合會制定的專門田徑運(yùn)動會全能評分表將各個單項成績所得的評分加起來計算的，總分多者為優(yōu)勝者．如圖，這是某次十項全能比賽中甲、乙兩名運(yùn)動員的各個單項得分的雷達(dá)圖，則下列說法正確的是（

）A．在400米跑項目中，甲的得分比乙的得分低B．甲的各項得分比乙的各項得分更均衡C．在跳高和鐵餅項目中，甲、乙水平相當(dāng)D．甲的各項得分的極差比乙的各項得分的極差大【答案】D【分析】根據(jù)雷達(dá)圖對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】由雷達(dá)圖可知，400米跑項目中，甲的得分比乙的得分高，A錯誤；甲各項得分的波動較大，乙的各項得分均在內(nèi)，波動較小，B錯誤；在鐵餅項目中，乙比甲水平高，C錯誤；甲的各項得分的極差約為，乙的各項得分的極差小于200，D正確．故選：D7．設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)正弦定理轉(zhuǎn)角為邊，進(jìn)而即可求解．【詳解】由，所以根據(jù)正弦定理得，即，解得．故選：C．8．先把函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模v坐標(biāo)不變），再把新得到的圖象向右平移個單位長度，得到的圖象，當(dāng)時，函數(shù)的值域為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移和伸縮變換原則可得解析式，根據(jù)正弦型函數(shù)值域的求法可求得結(jié)果.【詳解】由題意得：，當(dāng)時，，，即的值域為.故選：B.9．已知函數(shù)，若函數(shù)有個零點，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求得單調(diào)性和最值，由此可得圖象，根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)可直接構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】定義域為，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，可得圖象如下圖所示，有個零點，，解得：，即實數(shù)的取值范圍為.故選：D.10．已知拋物線的焦點為，點，在上，且的面積為，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)拋物線方程可求得的坐標(biāo)，利用三角形面積構(gòu)造方程求得的值，利用拋物線焦半徑公式可求得結(jié)果.【詳解】由拋物線方程知：，又，，，，，解得：，.故選：A.11．已知某圓錐的高為，體積為，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為r，l，再根據(jù)題意求得的值，結(jié)合勾股定理求得的值，進(jìn)而即可求得圓錐的側(cè)面積．【詳解】設(shè)該圓錐的底面半徑與母線長分別為r，l，由，得，所以，所以該圓錐的側(cè)面積．故選：B．12．古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯指出：“哪里有數(shù)，哪里就有美．”“對稱美”是數(shù)學(xué)美的重要組成部分，在數(shù)學(xué)史上，人類一直在思考和探索數(shù)學(xué)的對稱問題，圖形中的對稱性本質(zhì)就是點的對稱、線的對稱．如正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，對稱性也是函數(shù)一個非常重要的性質(zhì)．如果一個函數(shù)的圖象經(jīng)過某個正方形的中心并且能夠?qū)⑺闹荛L和面積同時平分，那么稱這個函數(shù)為這個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”．下列關(guān)于“優(yōu)美函數(shù)”的說法中正確的有（

）①函數(shù)可以是某個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；②函數(shù)只能是邊長不超過的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；③函數(shù)可以是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”；④若函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，則的圖象一定是中心對稱圖形．A．①② B．①③ C．②③ D．②④【答案】B【分析】根據(jù)“優(yōu)美函數(shù)”的定義，可判斷①③中的函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象為中心對稱圖形，可判斷其正誤，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷②，作圖分析，舉出反例，判斷④.【詳解】對于①，滿足，故為奇函數(shù)，則圖象原點對稱，且連續(xù)，所以可以是中心為原點且邊長為2的正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故①正確．對于②，令，得，所以圖象的對稱中心為，故以為中心的正方形都能被函數(shù)的圖象平分，即可以同時是無數(shù)個正方形的“優(yōu)美函數(shù)”，故②錯誤．對于③，令，,則，故為奇函數(shù)．又因為的圖象是由的圖象向下平移一個單位長度得到的，所以圖象的對稱中心為，故以為中心的正方形都能被的圖象平分，故③正確．對于④，如圖所示，圖中兩三角形面積相等，函數(shù)是“優(yōu)美函數(shù)”，但其圖象不是中心對稱圖形，可知④錯誤，故選：B二、填空題13．已知向量，滿足，，，則與的夾角為______．【答案】##【分析】先設(shè)與的夾角為，再根據(jù)由向量夾角公式即可求解．【詳解】設(shè)與的夾角為，則，又，所以與的夾角為．故答案為：．14．設(shè)E，F(xiàn)分別在正方體的棱，上，且，，則直線與所成角的余弦值為__________.【答案】【分析】利用構(gòu)造平行線，再解三角形即可處理異面直線夾角問題.【詳解】如圖所示，在棱，上分別取點N，M，使得，，連接，，可知，則為直線與所成的角.設(shè)，在中，易得，，，設(shè)，則，從而.故答案為：15．甲、乙，丙3人每人制作了一張寫有勵志銘的卡片，將這些卡片裝人3個外觀完全一樣的信封內(nèi)（一個信封裝一張卡片），放在一起后，甲、乙，丙3人每人隨機(jī)抽取一個信封，則每個人都沒有抽到裝有自己制作的卡片的信封的概率為________．【答案】【分析】先求得甲、乙，丙3人每人從中隨機(jī)抽取一張共有6種抽法，再求得每個人都沒有抽到裝有自己制作的卡片的信封有2種抽法，進(jìn)而即可求得概率．【詳解】由甲、乙，丙3人每人從中隨機(jī)抽取一張共有種抽法，又每個人都沒有抽到裝有自己制作的卡片的信封有種抽法，所以所求的概率為．故答案為：．16．已知橢圓，，，斜率為的直線與C交于P，Q兩點，若直線與的斜率之積為，且為鈍角，則k的取值范圍為_______．【答案】【分析】先設(shè)，，，再聯(lián)立直線的方程和橢圓的方程，整理得到關(guān)于的一元二次方程，從而得到，，，，結(jié)合直線與的斜率之積為可得，再結(jié)合為鈍角即可求得k的取值范圍．【詳解】設(shè)，，，聯(lián)立方程組，消去y得，由，即，所以，，，，所以，解得（舍去）或．由為鈍角，得，即，所以，解得，因為，所以．故答案為：．【點睛】方法點睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：①設(shè)直線方程，設(shè)交點坐標(biāo)為，；②聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于x(或y)的一元二次方程，必要時計算；③列出韋達(dá)定理；④將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為，(或，)的形式；⑤代入韋達(dá)定理求解．三、解答題17．已知等差數(shù)列滿足，．(1)求的通項公式；(2)設(shè)的前n項和為，求數(shù)列的前n項和．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得的值，進(jìn)而即可求得的通項公式；（2）先根據(jù)等差數(shù)列前n項和的公式求得，從而可得的通項公式，再根據(jù)裂項相消即可求得．【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，，得，解得．所以．（2）由（1）得，所以，所以．18．某地要舉辦一年一度為期一個月（30天）的大型商業(yè)峰會，一商店每天要訂購相同數(shù)量的一種食品，每個該食品的進(jìn)價為元，售價為1元，當(dāng)天賣不完的食品按進(jìn)價的半價退回，食品按每箱100個包裝．根據(jù)往年的銷售經(jīng)驗，每天對該食品的需求量和當(dāng)天到會的人數(shù)有關(guān)，為了確定訂購計劃，統(tǒng)計了往年的到會人數(shù)與需求量和到會人數(shù)與天數(shù)的有關(guān)數(shù)據(jù)如下：到會人數(shù)/人需求量/箱400450500550600到會人數(shù)/人天數(shù)56874以到會人數(shù)位于各區(qū)間的頻率估計到會人數(shù)位于各區(qū)間的概率．(1)估計商業(yè)峰會期間，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率；(2)設(shè)商業(yè)峰會期間一天這種食品的銷售利潤為Y（單位：元），當(dāng)商業(yè)峰會期間這種食品一天的進(jìn)貨量為550箱時，寫出Y的所有可能值，并估計Y不超過15000元的概率．【答案】(1)(2)Y的所有可能值為11500，15000，18500，22000；【分析】（1）根據(jù)表格求出商店一天這種食品的需求量不超過500箱的天數(shù)，從而求出相應(yīng)的概率；（2）根據(jù)到會人數(shù)位于的區(qū)間，求出Y的所有可能取值，并求出Y不超過15000元的概率.【詳解】（1）由表中數(shù)據(jù)可知商業(yè)峰會期間30天內(nèi)，該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的天數(shù)為，所以商業(yè)峰會期間該商店一天這種食品的需求量不超過500箱的概率為．（2）當(dāng)峰會期間這種食品一天的進(jìn)貨量為550箱時，若到會人數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，則元，若到會人數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，則元，若到會人數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，則元，若到會人數(shù)超過11000，則元，即Y的所有可能值為11500，15000，18500，22000Y不超過15000元，意味著到會人數(shù)不超過10000，到會人數(shù)不超過10000的頻率為，所以Y不超過15000元的概率的估計值為．19．如圖，在直三棱柱中，D是AC的中點．(1)證明：∥平面．(2)若，求點A到平面的距離．【答案】(1)證明見詳解(2)【分析】（1）連接交于點E，得到E是的中點，連接DE，得到，進(jìn)而結(jié)論得證；（2）先根據(jù)題意求得，再利用等體積法計算即可得到點A到平面的距離．【詳解】（1）連接交于點E，則E是的中點，連接DE，又D是AC的中點，所以．又平面，且平面，所以平面．（2）因為D為等腰直角斜邊AC的中點，所以，，所以，又，，，所以，所以，易證平面，所以，因為，所以，設(shè)點A到平面的距離為d，所以三棱錐的體積，又，得，解得．20．已知雙曲線的離心率為2，且雙曲線C經(jīng)過點．(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)M是直線上任意一點，過點M作雙曲線C的兩條切線，，切點分別為A，B，試判斷直線AB是否過定點．若經(jīng)過定點，求出該定點的坐標(biāo)；若不經(jīng)過定點，請說明理由．【答案】(1)(2)直線AB過定點；理由見詳解【分析】（1）根據(jù)雙曲線的離心率為2，可得，再將點的坐標(biāo)代入即可解得，從而得到，進(jìn)而即可雙曲線C的方程；（2）設(shè)，，，的方程為，再聯(lián)立雙曲線C的方程和的方程即可得到關(guān)于的一元二次方程，再令，結(jié)合題意可得，從而得到的方程，同理可得到的方程，再將點代入整理即可得解．【詳解】（1）因為雙曲線的離心率為2，所以，即，所以雙曲線C的方程為．把點的坐標(biāo)代入雙曲線C的方程，得，解得，所以，雙曲線C的方程為．（2）設(shè)，，，的方程為，聯(lián)立，消整理得．，令，得，即．又，所以，進(jìn)一步可化為，所以，所以的方程可化為，化簡得．同理可得的方程為．又點在直線和上，所以，所以過點，的直線為上，令，得，故直線AB過定點．21．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)，若恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）求導(dǎo)后，根據(jù)正負(fù)可得的單調(diào)區(qū)間；（2）將不等式轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性和最值，由此可得圖象，將問題轉(zhuǎn)化為圖象恒在直線上方，采用數(shù)形結(jié)合的方式可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）當(dāng)時，，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，；的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由得：，即，令，則定義域為，；令，恒成立，在上單調(diào)遞增，又，，，使得，即，；則當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由此可得圖象如下圖所示，恒過定點，斜率為，若恒成立，結(jié)合圖象可知：必有，解得：，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)單調(diào)性、恒成立問題的求解；本題求解恒成立問題的關(guān)鍵是能夠通過構(gòu)造函數(shù)的方式，將問題轉(zhuǎn)化為圖象恒在直線上方的問題，進(jìn)而通過數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為．(1)求曲線的普通方程和直線的直角坐標(biāo)方程；(2)已知點P的極坐標(biāo)為，設(shè)曲線和直線交于M，N兩點，求的值．【答案】(1)，(2)【分析】（1）用消參數(shù)法化參數(shù)方程為普通方程，由公式，化極坐標(biāo)方程為直角坐標(biāo)方程；（2）將點P的極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)，并判斷點P在直線上，再利用直線參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義，將直線代入曲線的直角坐標(biāo)方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可求解．【詳解】（1）將消去參數(shù)，得，所以曲線的普通方程為．由，得，將，代入上式，得所以直線的直角坐標(biāo)方程為．（2）因為點P的極坐標(biāo)為，所以P的直角坐標(biāo)為，則點P在直線上，易得直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），將其代入圓的方