高等數(shù)學(xué)概率 大數(shù)定律

高等數(shù)學(xué)概率大數(shù)定律第1頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)是研究隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律性的學(xué)科.隨機(jī)現(xiàn)象的規(guī)律性只有在相同的條件下進(jìn)行大量重復(fù)試驗(yàn)時(shí)才會(huì)呈現(xiàn)出來(lái).也就是說(shuō)，要從隨機(jī)現(xiàn)象中去尋求必然的法則，應(yīng)該研究大量隨機(jī)現(xiàn)象.第2頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

與大數(shù)定律中心極限定理下面我們先介紹大數(shù)定律

研究大量的隨機(jī)現(xiàn)象時(shí)，隨機(jī)試驗(yàn)的次數(shù)n要足夠大，因此常常采用極限形式，由此導(dǎo)致對(duì)極限定理進(jìn)行研究.極限定理的內(nèi)容很廣泛，其中最重要的有兩種:第3頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第五章第二節(jié)大數(shù)定律第4頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、切貝謝夫不等式設(shè)隨機(jī)變量有期望值和方差，則任給，有或證明：如果是連續(xù)型r.v.，其概率密度為，則第5頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四切貝謝夫不等式的意義：給出了r.v.的分布未知時(shí)，事件“”的概率的一個(gè)估計(jì)。

切貝謝夫不等式的適用范圍：（1）期望和方差已知（或易求得）；（2）估計(jì)落入內(nèi)的概率。第6頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1、已知正常男性成人的血液中，每毫升的白細(xì)胞數(shù)平均為7300，均方差為700，試估計(jì)每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)在5200~9400之間的概率。解：設(shè)正常男性成人每毫升血液中白細(xì)胞數(shù)為，則第7頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性

大數(shù)定律的客觀背景大量拋擲硬幣正面出現(xiàn)頻率

字母使用頻率

生產(chǎn)過(guò)程中的廢品率

……

第8頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、大數(shù)定律1、依概率收斂：若存在常數(shù)a，使對(duì)于任何，有則稱(chēng)隨機(jī)變量序列依概率收斂于a。第9頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四切貝謝夫

2、切貝謝夫定律：設(shè)…是相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，各有數(shù)學(xué)期望…及方差…并且對(duì)于所有i=1,2,…都有，其中l(wèi)是與i無(wú)關(guān)的常數(shù)，則任給，有證明：因?yàn)椤嗷オ?dú)立，所以第10頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四由夾逼定理即得根據(jù)切貝謝夫不等式，對(duì)于任意，有即第11頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四切比雪夫大數(shù)定律給出了平均值穩(wěn)定性的科學(xué)描述

切比雪夫大數(shù)定律表明，獨(dú)立隨機(jī)變量序列{}，如果方差有共同的上界，則與其數(shù)學(xué)期望

偏差很小的

概率接近于1.

隨機(jī)的了，取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.即當(dāng)n充分大時(shí)，差不多不再是第12頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四貝努里

引入i=1,2,…,n

作為切比雪夫大數(shù)定律的特殊情況，有下面的定理.

設(shè)是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則

是事件A發(fā)生的頻率第13頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

于是有下面的定理：3、貝努里大數(shù)定律或貝努里

設(shè)是n重貝努里試驗(yàn)中事件A發(fā)生的

次數(shù)，p是事件A發(fā)生的概率，則對(duì)任給的ε>0，第14頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

貝努里大數(shù)定律提供了通過(guò)試驗(yàn)來(lái)確定事件概率的方法.任給ε>0，

貝努里大數(shù)定律表明，當(dāng)重復(fù)試驗(yàn)次數(shù)n充分大時(shí)，事件A發(fā)生的頻率與事件A的概率p有較大偏差的概率很小.第15頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四下面給出的獨(dú)立同分布下的大數(shù)定律，不要求隨機(jī)變量的方差存在.4、辛欽大數(shù)定律辛欽

設(shè)隨機(jī)變量序列…獨(dú)立同分布，具有有限的數(shù)學(xué)期望,

i=1,2,…，

則對(duì)任給ε>0，

辛欽大數(shù)定律使算術(shù)平均值的法則有了理論根據(jù).第16頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

例如要估計(jì)某地區(qū)的平均畝產(chǎn)量，要收割某些有代表性的地塊，例如n塊.計(jì)算其平均畝產(chǎn)量，則當(dāng)n

較大時(shí)，可用它作為整個(gè)地區(qū)平均畝產(chǎn)量的一個(gè)估計(jì).第17頁(yè)，共18頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這一講我們介紹