上海市長寧區(qū)高考二模數(shù)學(xué)試題

2022屆上海市長寧區(qū)高考二模數(shù)學(xué)試題一、單選題1．是方程組有唯一解的（

）．A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件．【答案】C【分析】根據(jù)行列式運(yùn)算法則及直線平行的等價(jià)條件即可判斷答案.【詳解】由題意，直線與直線不平行有唯一解.故選：C.2．如圖，已知分別是正方體所在棱的中點(diǎn)，則下列直線中與直線相交的是（

）．A．直線 B．直線C．直線 D．直線．【答案】A【分析】通過空間想象直接可得.【詳解】如圖，易知，所以，且，所以為梯形，故與EF相交，A正確；因?yàn)椋?，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍯DH平面EFNL，平面CDH，平面EFNL，所以直線CD與直線EF無公共點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；因?yàn)槠矫鍭DF，平面，故AD與EF異面，D錯(cuò)誤.故選：A3．若函數(shù)存在反函數(shù)，則常數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】依題意可得在上單調(diào)，分兩種情況討論，參變分離，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)存在反函數(shù)，所以函數(shù)在上單調(diào)，若單調(diào)遞增，即，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以；若單調(diào)遞減，即，則在上恒成立，即在上恒成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，所以；綜上可得；故選：D4．已知函數(shù)滿足：．若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用輔助角公式化簡，結(jié)合已知可求解析式，然后由可知等于函數(shù)圖象對稱中心橫坐標(biāo)，求出函數(shù)對稱中心可得.【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，取得最大值，即所以，即因?yàn)?，所以的中點(diǎn)是函數(shù)的對稱中心，由，得所以，所以易知，當(dāng)時(shí)取得最小值.故選：C二、填空題5．設(shè)集合，，則_________．【答案】【分析】先求出集合A，再根據(jù)交集的定義即可求得答案.【詳解】由題意，，所以.故答案為：.6．已知四個(gè)數(shù)，，，的平均數(shù)為，則這四個(gè)數(shù)的中位數(shù)是________．【答案】3【分析】根據(jù)平均數(shù)的公式求得，再分析中位數(shù)即可【詳解】由題意，，解得，故中位數(shù)為故答案為：37．已知復(fù)數(shù)滿足：（為虛數(shù)單位），則________．【答案】1【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)除法運(yùn)算可得，結(jié)合共軛復(fù)數(shù)概念得，再由復(fù)數(shù)虛部的概念理解可得結(jié)果．【詳解】∵，則∴故答案為：1．8．已知實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為___________．【答案】【分析】畫出可行域，再根據(jù)直線的截距與負(fù)相關(guān)求解最值即可【詳解】畫出可行域，因?yàn)橹本€的截距與負(fù)相關(guān)，故取得最小值時(shí)，過的交點(diǎn)，此時(shí)故答案為：9．已知隨機(jī)事件A、互相獨(dú)立，且，，則_______．【答案】【分析】根據(jù)對立事件的概率公式和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式可得.【詳解】因?yàn)?，所以，所?10．已知，若，則_________．【答案】2【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)椋?，即，故，故故答案為?11．已知等比數(shù)列的公比為2，前項(xiàng)和為，則__________．【答案】2【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式求解，再求極限即可【詳解】因?yàn)?，，故故答案為?12．將編號(hào)為，，，的個(gè)小球放入個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子不空，若放在同一盒子里的個(gè)小球編號(hào)不相鄰，則共有__________種不同的放法．【答案】18【分析】先把4個(gè)小球分為一組，其中2個(gè)不連號(hào)小球的種類有，，為一組，再全排列即可，【詳解】解：先把4個(gè)小球分為一組，其中2個(gè)不連號(hào)小球的種類有，，為一組，分組后分配到三個(gè)不同的盒子里，故共有種不同的放法；故答案為：18．13．曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為__________．【答案】【分析】根據(jù)消去參數(shù)，將參數(shù)方程化為普通方程，即可求出焦點(diǎn)坐標(biāo)；【詳解】解：因?yàn)?，又曲線，所以，即，所以，即，所以，即曲線表示焦點(diǎn)在軸上的拋物線，且焦點(diǎn)為；故答案為：14．已知函數(shù)滿足：，則不等式的解集為____．【答案】【分析】根據(jù)題意可知為奇函數(shù)，利用分離常數(shù)得在上單調(diào)遞增，結(jié)合奇函數(shù)與單調(diào)性得關(guān)系可得在上單調(diào)遞增，再解得，即可判斷解集．【詳解】根據(jù)題意可得，且為奇函數(shù)當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增∴在上單調(diào)遞增則，即，解得∴即的解集為故答案為：．15．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過且斜率為的直線與雙曲線的左支交于點(diǎn)．若，則雙曲線的漸近線方程為________．【答案】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，再根據(jù)焦點(diǎn)三角形中的關(guān)系可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可列式求得離心率，進(jìn)而求得漸近線的方程.【詳解】因?yàn)?，故，即，故，根?jù)雙曲線的定義有，故，又直線斜率為，故，所以，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)有，即，解得，故.故雙曲線的漸近線方程為故答案為：16．已知數(shù)列滿足：對任意，都有，．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最大值為__________．【答案】【分析】先說明中不可能存在相鄰兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，可得當(dāng)時(shí)，則，，當(dāng)時(shí)，則，，由此可求得答案.【詳解】假設(shè)中存在相鄰兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，則，若，則，與條件矛盾；若，則，與條件矛盾，故中不可能存在相鄰兩項(xiàng)為非負(fù)數(shù)，當(dāng)時(shí)，則，則根據(jù)得,故，當(dāng)時(shí)，則，則根據(jù)得,故，所以總成立，又當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，，所以的奇偶性不同，則，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，，故當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),,此時(shí)考查數(shù)列：符合題意，此時(shí)的最大值為0；故當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),,此時(shí)考查數(shù)列：符合題意，此時(shí)的最大值為，故的最大值為，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的和的最大值問題，解得的關(guān)鍵是根據(jù)題意弄清數(shù)列的特征，明確其相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系.三、解答題17．已知圓錐的頂點(diǎn)為，底面圓心為，母線的長為．(1)若圓錐的側(cè)面積為，求圓錐的體積(2)是底面圓周上的兩個(gè)點(diǎn)，，為線段的中點(diǎn)，若圓錐的底面半徑為2，求直線與平面所成角的大小．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)圓錐的側(cè)面積公式求出底面半徑，即可求出圓錐的高，再根據(jù)圓錐的體積公式計(jì)算可得；（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，即可得到，再由線面垂直的性質(zhì)得到，從而得到平面，即是直線與平面所成角，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得．【詳解】(1)解：設(shè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面母線長為，圓錐的高為，則，

因?yàn)?，所以，所以，所以圓錐的體積．(2)解：設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，則，因?yàn)?，所以?/p>

因?yàn)榈酌妫酌?，所以，由，平面，所以平面，所以即是直線與平面所成角．

．因?yàn)閳A錐的底面半徑為2，母線長為，所以高，所以，．因?yàn)?，所以，所以．即直線與平面所成角為．18．在中，角的對邊分別為．(1)若，求(2)若，的面積，求外接圓半徑的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理與余弦定理化簡即可（2）根據(jù)三角形的面積公式可得，再根據(jù)基本不等式可得，再根據(jù)正弦定理求解即可【詳解】(1)因?yàn)椋烧叶ɡ?，，所以，因?yàn)?，所?2)由已知，，所以，

所以

因?yàn)樗裕ó?dāng)時(shí)取等號(hào)）

所以所以的最小值為（當(dāng)時(shí)取得）19．甲、乙兩人同時(shí)分別入職兩家公司，兩家公司的基礎(chǔ)工資標(biāo)準(zhǔn)分別為：公司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為3700元，以后每年月基礎(chǔ)工資比上一年月基礎(chǔ)工資增加300元；公司第一年月基礎(chǔ)工資數(shù)為4000元，以后每年月基礎(chǔ)工資都是上一年的月基礎(chǔ)工資的1.05倍．(1)分別求甲、乙兩人工作滿10年的基礎(chǔ)工資收入總量（精確到1元）(2)設(shè)甲、乙兩人入職第年的月基礎(chǔ)工資分別為、元，記，討論數(shù)列的單調(diào)性，指出哪年起到哪年止相同年份甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資，并說明理由．【答案】(1)甲的基礎(chǔ)工資收入總量元；乙的基礎(chǔ)工資收入總量元(2)單調(diào)性見解析；從第5年到第14年甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資；理由見解析【分析】（1）易得甲的工資滿足等差數(shù)列，乙的工資滿足等比數(shù)列，再根據(jù)等差等比數(shù)列的求和公式求解即可（2）根據(jù)題意可得，再求解分析的單調(diào)性，并計(jì)算時(shí)的取值范圍即可【詳解】(1)甲的基礎(chǔ)工資收入總量元乙的基礎(chǔ)工資收入總量元(2)，，，設(shè)，即，解得所以當(dāng)時(shí)，遞增，當(dāng)時(shí)，遞減又當(dāng)，即，解得，所以從第5年到第14年甲的月基礎(chǔ)工資高于乙的月基礎(chǔ)工資．

．20．已知分別為橢圓的上、下頂點(diǎn)，是橢圓的右焦點(diǎn)，是橢圓上異于的點(diǎn)．(1)若，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，求證：的值僅與有關(guān)(3)如圖，在四邊形中，，，若四邊形面積S的最大值為，求的值．【答案】(1)(2)證明見解析(3)【分析】（1）根據(jù)已知判斷形狀，然后可得；（2）設(shè)，表示出直線、的方程，然后求Q、R的坐標(biāo)，直接表示出所求可證；（3）設(shè)，，根據(jù)已知列方程求解可得之間關(guān)系，表示出面積，結(jié)合已知可得.【詳解】(1)因?yàn)?，，所以是等邊三角形，因?yàn)?，，所以，得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．(2)設(shè)，，，因?yàn)?，所以直線、的方程分別為，，所以，，又所以，所以的值僅與有關(guān)．(3)設(shè)，，因?yàn)椋?，所以，兩式相減得，帶回原式得，因?yàn)?，所以，因?yàn)榈淖畲笾禐?，所以，得?1．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若存在常?shù)，使得對任意，都有，則稱函數(shù)具有性質(zhì)．(1)若函數(shù)具有性質(zhì)，求的值(2)設(shè)，若，求證：存在常數(shù)，使得具有性質(zhì)(3)若函數(shù)具有性質(zhì)，且的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，求證：函數(shù)在上存在零點(diǎn)．【答案】(1)(2)證明見解析(3)證明見解析【分析】（1）對任意，都有，代入和即可得出答案；（2）設(shè)，利用零點(diǎn)存在性定理即可證得結(jié)論；（3）先轉(zhuǎn)化為，然后令得，，分情況利用零點(diǎn)存在性定理證得結(jié)論.【詳解】(1)函數(shù)具有性質(zhì)，所以對任意，都有，令，得，令，得，所以．(2)證明：函數(shù)具有性質(zhì)的充要條件為存在，使得，