2023屆陜西省渭南市高三下學期教學質量檢測（Ⅱ）數學（理）試題

2023屆陜西省渭南市高三下學期教學質量檢測（Ⅱ）數學（理）試題一、單選題1．已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求集合A中函數的定義域，解集合B中的不等式，得到這兩個集合再求交集.【詳解】函數有意義，則有，即，可得，由不等式，解得，可得，則.故選：B.2．已知平面向量，滿足，，，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由數量積運算求得，再根據數量積定義求和夾角余弦，從而得夾角．【詳解】，所以，，而，所以．故選：C．3．已知為等差數列，其前項和為，若，，，則（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】根據，，求得公差，再代入等差數列的前項和公式,計算即可.【詳解】∵，，∴，∵，解得：.故選：.4．在測量某物理量的過程中，因儀器和觀察的誤差，使得次測量分別得到，，…，共個數據.我們規(guī)定所測量物理量的“最佳近似值”應該滿足與所有測量數據的差的平方和最小.由此規(guī)定，從這些數據得出的“最佳近似值”應是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】看成關于的二次函數，即可求解.【詳解】根據題意得：由于所以是關于的二次函數，因此當即時，取得最小值.故選：A.5．棣莫弗公式（滿足，復數對應的點在復平面內的（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根據復數運算求得，進而確定對應點所在象限.【詳解】依題意，，，，，由于，所以對應點在第四象限.故選：D6．將拋物線繞其頂點順時針旋轉之后，正好與拋物線重合，則（

）A． B． C．-2 D．2【答案】A【分析】根據拋物線旋轉規(guī)律可得，其焦點坐標從軸負半軸旋轉到軸正半軸，即可得.【詳解】根據題意可得拋物線的焦點坐標為，拋物線的標準方程為，可得其焦點坐標為，易知繞原點順時針旋轉之后得到，即可得，解得.故選：A7．函數的大致圖像為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求出定義域，由解析式得到，判斷出圖像關于對稱.排除C、D；再利用特殊點，的正負排除B，即可得到正確答案.【詳解】要使函數有意義，只需，解得：，即函數的定義域為.因為，所以的圖像關于對稱.排除C、D；令，解得：.所以.又，，.對照選項A、B的圖像，選A.故選：A8．2022年2月28日，國家統(tǒng)計局發(fā)布了我國2021年國民經濟和社會發(fā)展統(tǒng)計公報，在以習近平同志為核心的黨中央堅強領導下，各地區(qū)各部門沉著應對百年變局和世紀疫情，構建新發(fā)展格局，實現(xiàn)了“十四五”良好開局.2021年，全國居民人均可支配收入和消費支出均較上一年有所增長，結合如下統(tǒng)計圖表，下列說法中正確的是（

）A．2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞減B．2021年全國居民人均消費支出24100元C．2020年全國居民人均可支配收入較前一年下降D．2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比超過60%【答案】B【分析】根據條形圖、折線圖、扇形圖等知識對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】A選項，根據條形圖可知，2017-2021年全國居民人均可支配收入逐年遞增，A選項錯誤.B選項，根據扇形圖可知，年全國居民人均消費支出為：元，B選項正確.C選項，根據條形圖可知，2020年全國居民人均可支配收入較前一年上升，C選項錯誤.D選項，2021年全國居民人均消費支出構成中食品煙酒和居住占比：，D選項錯誤.故選：B9．如圖，一個棱長1分米的正方體形封閉容器中盛有V升的水，若將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則V的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】找到水最多和水最少的臨界情況，如圖分別為多面體和三棱錐，從而可得出答案.【詳解】將該容器任意放置均不能使水平面呈三角形，則如圖，水最少的臨界情況為，水面為面，水最多的臨界情況為多面體，水面為，因為，，所以，即.故選：A.10．已知直線過雙曲線的左焦點且與的左、右兩支分別交于兩點，設為坐標原點，為的中點，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設出直線的方程并與雙曲線方程聯(lián)立，化簡寫出根與系數關系，由列方程來求得直線的斜率.【詳解】對于雙曲線，，所以，雙曲線的漸近線方程為，設直線的斜率為，要使直線與雙曲線的左右兩支都相交，則，直線的方程為，由消去并化簡得，設，則，由于是的中點，所以.由于是以為底邊的等腰三角形，所以，即，整理得，解得.故選：D11．在正方體中，，為的中點，點在線段（不含端點）上運動，點在棱上運動，為空間中任意一點，則下列結論不正確的是（

）A．異面直線與所成角的取值范圍是B．若，則三棱錐體積的最大值為C．的最小值為D．平面【答案】B【分析】對于A，將異面直線平移可知直線與所成的角即為直線與所成的角，即可得A正確；對于B，易知點的軌跡是橢球表面，根據等體積法可得當點在中點的正上方時，三棱錐的體積最大值為，即B錯誤；對于C，將平面展開可得當三點共線，的最小值為，即C正確；對于D，利用面面平行的性質可得平面平面，又平面，所以平面，即D正確.【詳解】對于A，如下圖所示：易知為平行四邊形，則，所以異面直線與所成的角即為直線與所成的角，又點在線段（不含端點）上運動，可知是等邊三角形，當點趨近于兩端時，直線與所成的角大于且趨近于，當點為的中點時，直線與所成的角為，所以異面直線與所成角的取值范圍是，即A正確；對于B，若，又，所以在同一平面內，點的軌跡是以為焦點的橢圓，又因為為空間中任意一點，所以點的軌跡是長軸為，短軸為，焦距的橢球表面，當點在中點的正上方時，點到平面的距離最大為，由等體積法可知，所以三棱錐的體積最大值為，即B錯誤；對于C，如下圖所示：展開平面，使平面與平面共面，過作，交于點，交于點，此時三點共線，滿足取最小值，由題可得，所以，即的最小值為，即C正確；對于D，如下圖所示：易知，平面，平面，所以平面；同理可得平面，又，且平面，所以平面平面，又平面，所以平面，即D正確.故選：B12．已知函數，將的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數列，對于，則下列說法中正確的是（

）A． B．C．數列是遞增數列 D．【答案】D【分析】的極值點為的變號零點，即為函數與函數圖像在交點的橫坐標.將兩函數圖像畫在同一坐標系下.A選項，利用零點存在性定理及圖像可判斷選項；BC選項，由圖像可判斷選項；D選項，注意到，由圖像可得單調性，后可判斷選項.【詳解】解：的極值點為在上的變號零點.即為函數與函數圖像在交點的橫坐標.又注意到時，，時，，，時，.據此可將兩函數圖像畫在同一坐標系中，如下圖所示.A選項，注意到時，，，.結合圖像可知當，.當，.故A錯誤；B選項，由圖像可知，則，故B錯誤；C選項，表示兩點與間距離，由圖像可知，隨著n的增大，兩點間距離越來越近，即為遞減數列，故C錯誤；D選項，由A選項分析可知，，又結合圖像可知，當時，，即此時，得在上單調遞增，則，故D正確.故選：D【點睛】關鍵點點睛：本題涉及函數的極值點，因函數本身通過求導難以求得單調性，故將兩相關函數畫在同一坐標系下，利用圖像解決問題.二、填空題13．設，且，則的最小值是____________.【答案】【分析】利用定積分求得的關系式，結合基本不等式求得的最小值.【詳解】，則，，當且僅當時等號成立.故答案為：14．寫出與圓和圓都相切的一條直線的方程___________.【答案】或或（三條中任寫一條即可）【分析】根據兩圓公切線的知識求得正確答案.【詳解】圓的圓心為，半徑為；圓的圓心為，半徑為；與的距離為，所以兩圓外切.過與的直線方程為.由圖可知，直線是兩圓的公切線，由解得，設，設兩圓的一條公切線方程為，到直線的距離為，即，解得，所以兩圓的一條公切線方程為，即.由兩式相減并化簡得，所以兩圓的公切線方程為或或.故答案為：或或（三條中任寫一條即可）15．甲、乙、丙3人去食堂用餐，每個人從這5種菜中任意選用2種，則菜恰有2人選用的情形共有______________種.（用數字作答）【答案】288【分析】根據組合的知識求得正確答案.【詳解】菜恰有2人選用的情形共有種.故答案為：16．若函數的關系式由方程確定.則下述命題中所有真命題的序號為_____________.①函數是減函數；

②函數是奇函數；③函數的值域為

④方程無實數根：⑤函數的圖像是軸對稱圖形.【答案】①④⑤【分析】首先通過分類討論得到函數各部分的軌跡，作出圖象，一一代入分析即可.【詳解】當時，方程為，此時軌跡為四分之一圓，當時，方程為，即，此時軌跡為雙曲線的部分，當時，方程為，方程無實數解，當時，方程為，即，此時軌跡為雙曲線的部分，作出圖象如下圖所示：對①，觀察圖象得函數是減函數，故①正確，對②，根據圖象易知第一象限的圖象在第三象限無對稱部分，故函數不是奇函數，故②錯誤，對③，顯然根據圖象易知值域不是，故③錯誤，對④，，即，方程的根即為的圖象與直線交點橫坐標，顯然兩雙曲線部分的漸近線均為，故與在二、四象限的圖象無交點，且與第一象限的圓弧顯然也無交點，故④正確；對于⑤，根據兩雙曲線的解析式特點及圓的對稱性，易得函數關于直線對稱，取圖象上任意一點，于是得，當時，，因此點在的圖象上，所以函數的圖像關于直線對稱，它是軸對稱圖形，故⑤正確；故答案為：①④⑤.【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是通過合理的分類討論，得到函數各部分圖象的軌跡，且分析出其與雙曲線和圓的關系，然后作出圖象，利用圖象進行分析.三、解答題17．隨著生活水平的不斷提高，人們更加關注健康，重視鍛煉.通過“小步道”，走出“大健康”，健康步道成為引領健康生活的一道亮麗風景線.如圖，為某區(qū)的一條健康步道，為線段，是以為直徑的半圓，km，km.(1)求的長度；(2)為滿足市民健康生活需要，提升城市品位，改善人居環(huán)境，現(xiàn)計劃新建健康步道（在兩側），其中，求新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加多少長度？【答案】(1)km(2)km【分析】（1）利用余弦定理求得，從而求得的長度（2）利用余弦定理和基本不等式求得新建健康步道的最長路程，由此求得增加的長度.【詳解】（1）聯(lián)結，在中，由余弦定理可得，，所以，即的長度為；（2）記，則在中，由余弦定理可得：，即，從而所以，則，當且僅當時，等號成立；新建健康步道的最長路程為，故新建的健康步道的路程最多可比原有健康步道的路程增加次，每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數為.(1)當時，求；(2)已知切比雪夫不等式：對于任一隨機變量，若其數學期望和方差均存在，則對任意正實數，有.根據該不等式可以對事件“的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在與之間，試估計信號發(fā)射次數的最小值.【答案】(1)(2)1250【分析】(1)根據二項分布公式計算；(2)運用二項分布公式算出和，再根據題意求出中a的表達式，最后利用切比雪夫不等式求解.【詳解】（1）由已知，所以；（2）由已知，所以，若，則，即，即.由切比雪夫不等式，要使得至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在與之間，則，解得，所以估計信號發(fā)射次數的最小值為1250；綜上，，估計信號發(fā)射次數的最小值為1250.19．在斜三棱柱（側棱不垂直于底面）中，側面底面，底面是邊長為2的正三角形，，.（1）求證：；（2）求二面角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）取的中點，連接，，通過證明，，證得平面，由此證得.（2）解法一：利用幾何法作出二面角的平面角，解三角形求得二面角的正切值，再求得其正弦值.解法二：建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再求得其正弦值.【詳解】（1）證明：如圖，取的中點，連接，，∵，∴，∵底面是邊長為2的正三角形，∴，，∴，又，∴平面，且平面，∴.（2）解法一：如上圖，過點作于點，連接.∵側面底面，∴側面平面，又，側面平面，∴側面，又平面，∴，又且，∴平面，∴，∴為所求二面角的平面角，∵，∴，又，∴，∴二面角的正弦值為.法二：如圖，取的中點，以為坐標原點，射線，，分別為，，軸的正方向建立空間直角坐標系，則，，，，，∴，，設為平面的法向量，∴，令，得，又為平面的一個法向量，設二面角的大小為，顯然為銳角，，則，∴二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查二面角的求法，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20．在直角坐標系中，已知橢圓的右頂點?下頂點?右焦點分別為A，B，F(xiàn).(1)若直線與橢圓E的另一個交點為C，求四邊形的面積；(2)設M，N是橢圓E上的兩個動點，直線與的斜率之積為，若點P滿足：.問：是否存在兩個定點G，H，使得為定值？若存在，求出G，H的坐標；若不存在，請說明理由.【答案】(1)；(2)存在，G，H的坐標分別為，．【分析】（1）寫出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立求得點坐標后，可求得四邊形面積；（2）設，，，由向量的坐標運算得出，，利用點是已知橢圓上的點，計算出，得是一個橢圓上的點，從而兩定點為該橢圓的焦點即滿足題意．【詳解】（1）由題意，，，，直線方程為，由得或，所以，；（2）設，，，由得，即，，點在橢圓上，所以，，所以，直線斜率之積為，，所以，所以點在橢圓上，該橢圓的左右焦點為，則為定值，又，因此這兩個定點坐標為，．【點睛】方法點睛：動點到兩個定點的距離之和為定值問題，可聯(lián)想橢圓定義，即證明點在一個橢圓上，兩定點為該橢圓的焦點．問題轉化為求動點的軌跡方程．21．已知函數.(1)證明：；(2)若，求實數的取值范圍；(3)證明：.【答案】(1)證明見解析(2)(3)證明見解析【分析】（1）構造函數，利用導數證得，從而證得.（2）由分離，利用（1）的結論求得的取值范圍.（3）結合（1），列不等式，根據等比數列的前項和公式證得不等式成立.【詳解】（1）令，，由，解得，當時，；當時，；所以在遞減，遞增，即，即；（2）由可得：由（1）知（當且僅當取等