邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡

邏輯代數(shù)和邏輯函數(shù)化簡第1頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四

與邏輯4.1基本邏輯運算和復(fù)合邏輯運算或邏輯非邏輯數(shù)碼0,1相反的邏輯狀態(tài)第2頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四1.與邏輯：當決定一事件的所有條件都具備時，這個事件才發(fā)生,這樣的邏輯關(guān)系稱為與邏輯。功能表4.1.1基本邏輯運算滅滅滅亮斷斷斷合合斷合合與邏輯關(guān)系開關(guān)A開關(guān)B燈Y電源ABY第3頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四真值表與邏輯的表示方法：000100011011功能表滅滅滅亮斷斷斷合合斷合合ABYABY開關(guān)斷用0表示,開關(guān)閉合用1表示燈亮用1表示,滅用0表示第4頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號ABY&000100011011ABY見0為0全1為1第5頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四2.或邏輯：決定某一事件的條件只要有一個或一個以上具備時，這個事件就會發(fā)生,這樣的邏輯關(guān)系稱為或邏輯?；蜻壿嬯P(guān)系開關(guān)A開關(guān)B燈Y電源真值表011100011011ABY開關(guān)斷用0表示,開關(guān)閉合用1表示燈亮用1表示,滅用0表示第6頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號011100011011ABYABY≥1

見1為1全0為0第7頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四例：根據(jù)輸入波形畫出輸出波形ABY1見“0”為“0”，全“1”為“1”見“1”為“1”，全“0”為“0”&ABY1>1ABY2Y2第8頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四3.非邏輯：只要條件具備，事件便不會發(fā)生；條件不具備，事件一定發(fā)生的邏輯關(guān)系。真值表邏輯函數(shù)式邏輯符號非邏輯關(guān)系1001AY1開關(guān)A燈Y電源RAY第9頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(1)與非邏輯

AB&4.1.2復(fù)合邏輯運算真值表000100011011ABYY1

1

1

1

0

見0為1全1為0邏輯函數(shù)式邏輯符號第10頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(1)或非邏輯

4.1.2復(fù)合邏輯運算真值表011100011011ABYY2

1

0

0

0

見1為0全0為1邏輯函數(shù)式邏輯符號AB≥1第11頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(3)與或(非)邏輯

(真值表略)AB&CD≥1與或非邏輯與或邏輯第12頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(4)異或邏輯(5)同或邏輯(異或非)AB=1011000011011AB=1=A⊙BABY4100100011011ABY5第13頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四3.邏輯符號對照曾用符號美國符號ABYABYABYAAY國標符號AB&A1ABYAB≥1第14頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四國標符號曾用符號美國符號AB&ABYABYABYAB=1ABABYABYAB≥1第15頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四或：0+0=01+0=11+1=1與：0·0=00·1=01·1=1非：二、變量和常量的關(guān)系(變量：A、B、C…)或：A+0=AA+1=1與:A·0=0A·1=A非：4.4.1邏輯代數(shù)的基本定律一、常量之間的關(guān)系(常量：0和1)

4.2邏輯代數(shù)的基本定律及規(guī)則第16頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四三、與普通代數(shù)相似的定理交換律結(jié)合律分配律證明公式方法一：公式法第17頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四證明公式方法二：真值表法

(將變量的各種取值代入等式兩邊，進行計算并填入表中)

ABC0000010100111001011101110001000100011111000111110011111101011111相等第18頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四四、邏輯代數(shù)的一些特殊定理同一律A+A=AA·A=A還原律證明：德摩根定理AB0001101100011110110010101110011110001000相等相等德摩根定理第19頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四五、若干常用公式推廣推論分配律第20頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(5)即=A⊙B同理可證A⊙B第21頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四六、關(guān)于異或運算的一些公式異或同或A⊙B(1)交換律(2)結(jié)合律(3)分配律=A⊙BA⊙B第22頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(4)常量和變量的異或運算(5)因果互換律如果則有證明第23頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.4.2邏輯代數(shù)的基本規(guī)則1.代入規(guī)則：等式中某一變量都代之以一個邏輯函數(shù)，則等式仍然成立。第24頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四第25頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四例如：已知4.反演規(guī)則：求邏輯函數(shù)的反函數(shù)則

將Y式中“.”換成“+”,“+”換成“.”

“0”換成“1”,“1”換成“0”

原變量換成反變量，反變量換成原變量已知則運算順序：括號與或不屬于單個變量上的反號應(yīng)保留不變第26頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四3.對偶規(guī)則：如果兩個表達式相等，則它們的對偶式也一定相等。將Y中“.”換成“+”,“+”換成“.”“0”換成“1”,“1”換成“0”

例如對偶規(guī)則的應(yīng)用：證明等式成立0·0=01+1=1運算順序：括號與或第27頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四

4.3.1邏輯表達式4.3邏輯函數(shù)的表示方法及其轉(zhuǎn)換4.3.2真值表4.3.3卡諾圖4.3.4邏輯圖4.3.6邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換4.3.5波形圖第28頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四完備函數(shù)的概念我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過三種最基本的邏輯運算：邏輯與；邏輯或；邏輯非，用他們，可以解決所有的邏輯運算問題，因此可以稱之為一個“完備邏輯集”。

4.3.1邏輯表達式第29頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四或與式與或非式一.邏輯表達式的類型與或式與非-與非式或與非式或非-或非式或非-或式核心第30頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四標準與或表達式二.邏輯函數(shù)的標準形式標準與或式標準與或式就是最小項之和的形式最小項第31頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四1.最小項的概念：包括所有變量的乘積項，每個變量均以原變量或反變量的形式出現(xiàn)一次。(

2變量共有

4個最小項)(

4變量共有

16個最小項)(

n變量共有

2n

個最小項)……(

3變量共有

8個最小項)第32頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四對應(yīng)規(guī)律：1

原變量

0

反變量2.最小項的性質(zhì)：0000000100000010000001000000100000010000001000000100000010000000000001010011100101110111ABC(1)任一最小項，只有一組對應(yīng)變量取值使其值為1；ABC

001ABC

101(2)任意兩個最小項的乘積為0；(3)全體最小項之和為1。第33頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四3.最小項的編號：把與最小項對應(yīng)的變量取值當成二進制數(shù)，與之相應(yīng)的十進制數(shù)，就是該最小項的編號，用mi表示。對應(yīng)規(guī)律：原變量1

反變量000000101001110010111011101234567m0m1m2m3m4m5m6m7第34頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.最小項標準表達式任何邏輯函數(shù)都是由其變量的若干個最小項構(gòu)成，都可以表示成為最小項之和的形式。[例]

寫出下列函數(shù)的標準與或式：[解]或m6m7m1m3第35頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.3.2真值表ABCY00000101001110010111011100010111優(yōu)點：直觀明了，便于將實際邏輯問題抽象成數(shù)學(xué)表達式。缺點：難以用公式和定理進行運算和變換；變量較多時，列函數(shù)真值表較繁瑣。4.3.3卡諾圖ABC010001111011110000優(yōu)點：便于求出邏輯函數(shù)的最簡與或表達式。缺點：只適于表示和化簡變量個數(shù)比較少的邏輯函數(shù)，也不便于進行運算和變換。第36頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.3.4邏輯圖ABYC&&優(yōu)點：最接近實際電路。缺點：不能進行運算和變換，所表示的邏輯關(guān)系不直觀。&≥1第37頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.3.5波形圖輸入變量和對應(yīng)的輸出變量隨時間變化的波形ABY優(yōu)點：形象直觀地表示了變量取值與函數(shù)值在時間上的對應(yīng)關(guān)系。缺點：難以用公式和定理進行運算和變換，當變量個數(shù)增多時，畫圖較麻煩。第38頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.3.6邏輯函數(shù)表示方法間的相互轉(zhuǎn)換一、真值表函數(shù)式邏輯圖[例]

設(shè)計一個舉重裁判電路。在一名主裁判(A)和兩名副裁判(B、C)中，必須有兩人以上(必有主裁判)認定運動員的動作合格，試舉才算成功。(1)真值表函數(shù)式將真值表中使邏輯函數(shù)Y=1的輸入變量取值組合所對應(yīng)的最小項相加，即得Y的邏輯函數(shù)式。ABCY00000101001110010111011100010111第39頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四函數(shù)式化簡(2)函數(shù)式邏輯圖ABY&C&≥1第40頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四真值表函數(shù)式二、邏輯圖0110ABY00011011BA&&&&第41頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.4

邏輯函數(shù)的化簡法4.4.1關(guān)于邏輯函數(shù)化簡的幾個問題1.化簡的標準（1）與項個數(shù)最少（2）每個與項中變量個數(shù)最少卡諾圖法代數(shù)法4.化簡的方法化簡的目的是為了獲得最簡邏輯函數(shù)式，從而使邏輯電路簡單、成本低、可靠性高。第42頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.4.2邏輯函數(shù)的代數(shù)化簡法一、并項法:[例][例]（與或式最簡與或式）公式定理第43頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四二、吸收法：[例][例][例]第44頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四三、消去法：[例][例]第45頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.4.3邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法一、邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法卡諾圖：最小項方格圖(按循環(huán)碼排列)G2

G1G0B2B1

B0000000001001010011011010100110101111110101111100第46頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四二變量的卡諾圖(四個最小項)ABAB0101AB01011.變量卡諾圖的畫法第47頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四三變量的卡諾圖：八個最小項ABC01000110111110卡諾圖的實質(zhì)：用幾何相鄰表示函數(shù)各個最小項邏輯上的相鄰性.邏輯相鄰幾何相鄰邏輯不相鄰邏輯相鄰邏輯相鄰緊挨著行或列的兩頭對折起來位置重合邏輯相鄰：兩個最小項只有一個變量不同邏輯相鄰的兩個最小項可以合并成一項，并消去一個因子。如：m0m1m2m3m4m5m6m7第48頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四五變量的卡諾圖：四變量的卡諾圖：十六個最小項ABCD0001111000011110當變量個數(shù)超過六個以上時，無法使用圖形法進行化簡。ABCDE00011110000001011010110111101100以此軸為對稱軸（對折后位置重合）m0m1m2m3m4m5m6m7m12m13m14m15m8m9m10m11m0m1m2m3m8m9m10m11m24m25m26m27m16m17m18m19m6m7m4m5m14m15m12m13m30m31m28m29m22m23m20m21幾何相鄰幾何相鄰幾何相鄰三十二個最小項第49頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.邏輯函數(shù)的卡諾圖表示法1）根據(jù)變量個數(shù)畫出相應(yīng)的卡諾圖；2）將函數(shù)化為最小項之和的形式；3）在卡諾圖上與這些最小項對應(yīng)的位置上填入1，其余位置填0或不填。[例]ABC010001111011110000第50頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四二、利用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)幾何相鄰：相接—緊挨著相對—行或列的兩頭相重—對折起來位置重合邏輯相鄰：例如兩個最小項只有一個變量不同化簡方法：卡諾圖的缺點：函數(shù)的變量個數(shù)不宜超過6個。邏輯相鄰的兩個最小項可以合并成一項，并消去一個因子。第51頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四1.卡諾圖中最小項合并規(guī)律：(1)兩個相鄰最小項合并可以消去一個因子ABC01000111100432ABCD00011110000111101946第52頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(2)四個相鄰最小項合并可以消去兩個因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315BD02810第53頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(3)八個相鄰最小項合并可以消去三個因子ABCD000111100001111004128321011ABCD0001111000011110571315B02810151394612142n個相鄰最小項合并可以消去n個因子總結(jié)：第54頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)化簡步驟:(1)畫函數(shù)的卡諾圖(2)合并最小項：畫包圍圈(3)寫出最簡與或表達式[例]ABCD000111100001111011111111[解]第55頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四ABCD000111100001111011111111畫包圍圈的原則：(1)先圈孤立項，再圈僅有一種合并方式的最小項。(2)圈越大越好，但圈的個數(shù)越少越好。(3)最小項可重復(fù)被圈，但每個圈中至少有一個新的最小項。(4)必需把組成函數(shù)的全部最小項圈完，并做認真比較、檢查才能寫出最簡與或式。不正確的畫圈第56頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四[例][解](1)畫函數(shù)的卡諾圖ABCD000111100001111011111111(2)合并最小項：畫包圍圈(3)寫出最簡與或表達式多余的圈注意：先圈孤立項利用圖形法化簡函數(shù)第57頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四利用圖形法化簡函數(shù)[例][解](1)畫函數(shù)的卡諾圖ABCD00011110000111101111111111(2)合并最小項：畫包圍圈(3)寫出最簡與或表達式第58頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四[例]用圖形法求反函數(shù)的最簡與或表達式[解](1)畫函數(shù)的卡諾圖ABC010001111011110000(2)合并函數(shù)值為0的最小項(3)寫出Y的反函數(shù)的最簡與或表達式第59頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四[練習(xí)]用圖形法將下列函數(shù)化簡為最簡與或式。（1）畫函數(shù)的卡諾圖（2）合并最小項：畫包圍圈（3）寫出最簡與或表達式ABCD000111100001111011111111[解]11第60頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四4.4.4具有約束的邏輯函數(shù)的化簡一、約束的概念和約束條件(1)約束：輸入變量取值所受的限制例如，邏輯變量A、B、C，分別表示電梯的

升、降、停命令。A=1

表示升，B=1

表示降，C=1

表示停。ABC的可能取值(2)約束項：不會出現(xiàn)的變量取值所對應(yīng)的最小項。不可能取值0010101000000111011101111.約束、約束項、約束條件第61頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四(3)約束條件：(2)在邏輯表達式中，用等于0的條件等式表示。000011101110111由約束項相加所構(gòu)成的值為0的邏輯表達式。約束項：約束條件：或4.約束條件的表示方法(1)在真值表和卡諾圖上用叉號(╳)表示。例如，上例中

ABC的不可能取值為第62頁，共68頁，2023年，2月20日，星期四二、具有約束的邏輯函數(shù)的化簡[例]化簡邏輯函數(shù)化簡步驟:(1)畫函數(shù)的卡諾圖，順序為：ABCD0001111000011110先填1

0111000000(2)合并最小項，畫圈時╳

既可以當