《余弦定理》第1課時示范課教學設計【高中數(shù)學教案】

《余弦定理》教學設計第1課時教學目標教學目標了解余弦定理的證明過程、掌握余弦定理在解三角形中的簡單應用．教學重難點教學重難點教學重點：余弦定理的證明、余弦定理在解三角形中的簡單應用．教學難點：余弦定理在解三角形中的應用．

課前準備課前準備PPT課件．教學過程教學過程一、問題導入問題1：利用如圖所示的現(xiàn)代測量工具，可以方便地測出3點之間的一些距離和角，從而可得到未知的距離和角．例如，如圖所示，A，B分別是兩個山峰的頂點，在山腳下任意選擇一點C，然后使用測量儀得出AC，BC以及的大小，你能根據(jù)這三個量求出AB嗎？師生活動：能用正弦定理進行求解嗎？預設的答案：情境中的問題可以轉化為：已知和角，如何求設計意圖：要解決這個問題，就需要進一步學習余弦定理.（板書：余弦定理及其運用）【新知探究】1．多種方法探求余弦定理問題2：已知和角，如何求師生活動：類比正弦定理的推導，多種方法探求余弦定理．預設的答案：方法1：（向量法）如圖所示，注意到：所以：，而且，因此又因為，因此：類似地，可得：這是余弦定理，三角形任何一邊的平方，等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角余弦的積的2倍.方法2：（坐標法）如圖以A為原點，AC為x軸建立平面直角坐標系，則．所以，同理可證，方法3：（幾何法）當A為銳角時，在三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A，作CD⊥AB，則CD=bsinA,BD=c-bcosA當A為直角時：由勾股定理，又成立當A為鈍角同理可證.追問：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？預設的答案：若中，C=，則，這時，由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例．設計意圖：類比進行余弦定理的推導．提高學生類比推理，邏輯推理的核心素養(yǎng)．問題3：余弦定理及其變式有哪些？師生活動：結合余弦定理，探求其變式．預設的答案：追問：使用余弦定理可以解決哪些解三角形問題？預設的答案：①已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；②已知三邊，求三個角設計意圖：培養(yǎng)學生分析和歸納的能力.【鞏固練習】例1.在中，已知，求．師生活動：學生分析解題思路，給出答案．預設的答案：由余弦定理可知，因此．設計意圖：初步理解運用余弦定理解斜三角形．例2.在中，已知，求．師生活動：學生分析解題思路，給出答案．預設的答案：由可得：，可解得：，又因為．設計意圖：初步理解運用余弦定理解斜三角形．例3.邊長為的三角形中，求最大角與最小角的和．師生活動：求最大角與最小角的和，只要利用余弦定理求出中間角的大小即可．預設的答案：不妨設5，7，8所對的角分別為A，B，C．由于5<7<8,，故C為最大角，A為最小角．，又因為,所以．設計意圖：進一步深化對余弦定理的認識．【課堂小結】問題：（1）余弦定理如何表示？（2）余弦定理的變式有哪些？（3）余弦定理的應用有哪些？師生活動：學生嘗試總結，老師適當補充.預設的答案：1.余弦定理：，，2.變形：3.余弦定理的應用：①已知三邊，求三個角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角設計意圖：通過梳理本節(jié)課的內容，能讓學生更加明確余弦定理的有關知識．布置作業(yè)：【目標檢測】1.在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝（）A．4eq\r(2)B.eq\r(30)C.eq\r(29)D．2eq\r(5)設計意圖：鞏固運用余弦定理2.在△ABC中，a＝7，b＝4eq\r(3)，c＝eq\r(13)，則△ABC的最小角為()A.eq\f(π,3)B.eq\f(π,6)C.eq\f(π,4)D.eq\f(π,12)設計意圖：鞏固運用余弦定理的變式3.在△ABC中，已知a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，則A＝________.設計意圖：鞏固運用余弦定理的變式4.在△ABC中，已知a＝eq\r(3)，b＝eq\r(2)，B＝45°，解此三角形．設計意圖：鞏固運用余弦定理及其變式參考答案：1.C∵coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，∴cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))2－1＝－eq\f(3,5).在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，∴AB＝4eq\r(2).故選A．2.B由三角形邊角關系可知，角C為△ABC的最小角，則cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(72＋4\r(3)2－\r(13)2,2×7×4\r(3))＝eq\f(\r(3),2)，所以C＝eq\f(π,6)，故選B.3.∵a∶b∶c＝2∶eq\r(6)∶(eq\r(3)＋1)，令a＝2k，b＝eq\r(6)k，c＝(eq\r(3)＋1)k(k>0)．由余弦定理的變形得，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(6k2＋\r(3)＋12k2－4k2,2×\r(6)k×\r(3)＋1k)＝eq\f(\r(2),2).∴A＝45°.4.由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB.∴2＝3＋c2－2eq\r(3)·eq\f(\r(2),2)c.即c2－eq\r(6)c＋1＝0.解得c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)或c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)，當c＝eq\f(\r(6)＋\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)＋\r(2),2)))2－3,2×\r(2)×\f(\r(6)＋\r(2),2))＝eq\f(1,2).∵0°<A<180°，∴A＝60°，∴C＝75°.當c＝eq\f(\r(6)－\r(2),2)時，由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(6)－\r(2)