山東省煙臺(tái)市高三三模數(shù)學(xué)試題-1

山東省煙臺(tái)市2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若集合，，則（

）A． B． C． D．2．復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為A． B． C． D．3．若和分別為空間中的直線和平面，則“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．屈原是中國(guó)歷史上第一位偉大的愛(ài)國(guó)詩(shī)人，中國(guó)浪漫主義文學(xué)的奠基人，“楚辭”的創(chuàng)立者和代表作者，其主要作品有《離騷》、《九歌》、《九章》、《天問(wèn)》等.某校于2022年6月第一周舉辦“國(guó)學(xué)經(jīng)典誦讀”活動(dòng)，計(jì)劃周一至周四誦讀屈原的上述四部作品，要求每天只誦讀一部作品，則周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離騷》的概率為（

）A． B． C． D．5．過(guò)雙曲線：（，）的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線交于A，兩點(diǎn)，為中點(diǎn)，若，則的離心率為（

）A． B．2 C． D．6．若，則的值為（

）A． B． C． D．7．如圖，邊長(zhǎng)為2的等邊三角形的外接圓為圓，為圓上任一點(diǎn)，若，則的最大值為（

）A． B．2 C． D．18．已知函數(shù)，若方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．若某地區(qū)規(guī)定在一段時(shí)間內(nèi)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體病毒感染的標(biāo)準(zhǔn)為“連續(xù)10天，每天新增疑似病例不超過(guò)7人”，根據(jù)該地區(qū)下列過(guò)去10天新增疑似病例的相關(guān)數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為該地區(qū)沒(méi)有發(fā)生大規(guī)模群體感染的是（

）C．平均數(shù)為2，眾數(shù)為2 D．平均數(shù)為2，方差為310．已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．滿足的的取值范圍為（）C．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的圖象的一條對(duì)稱軸D．函數(shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱11．二進(jìn)制是計(jì)算中廣泛采用的一種數(shù)制，由18世紀(jì)德國(guó)數(shù)理哲學(xué)家萊布尼茲發(fā)現(xiàn)，二進(jìn)制數(shù)據(jù)是用0和1兩個(gè)數(shù)碼來(lái)表示的數(shù).現(xiàn)采用類似于二進(jìn)制數(shù)的方法構(gòu)造數(shù)列：正整數(shù)，其中（），記.如，，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．12．某公司通過(guò)統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，工人工作效率與工作年限（），勞累程度（），勞動(dòng)動(dòng)機(jī)（）相關(guān)，并建立了數(shù)學(xué)模型.已知甲?乙為該公司的員工，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．甲與乙工作年限相同，且甲比乙工作效率高，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)低，則甲比乙勞累程度強(qiáng)B．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作效率高，工作年限短，則甲比乙勞累程度弱C．甲與乙勞累程度相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)高，則甲比乙工作效率高D．甲與乙勞動(dòng)動(dòng)機(jī)相同，且甲比乙工作年限長(zhǎng)，勞累程度弱，則甲比乙工作效率高三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若為奇函數(shù)，則的表達(dá)式可以為_(kāi)__________.14．若展開(kāi)式中第6項(xiàng)的系數(shù)為1792，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.15．已知?jiǎng)狱c(diǎn)到點(diǎn)的距離是到點(diǎn)的距離的2倍，記點(diǎn)的軌跡為，直線交于，兩點(diǎn)，，若的面積為2，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)__________.16．某學(xué)校開(kāi)展手工藝品展示活動(dòng)，小明同學(xué)用塑料制作了如圖所示的手工藝品，其外部為一個(gè)底面邊長(zhǎng)為6的正三棱柱，內(nèi)部為一個(gè)球，球的表面與三棱柱的各面均相切，則該內(nèi)切球的表面積為_(kāi)__________，三棱柱的頂點(diǎn)到球的表面的最短距離為_(kāi)__________.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．在中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且.(1)求角；(2)若，求的取值范圍.18．當(dāng)下，大量的青少年沉迷于各種網(wǎng)絡(luò)游戲，極大地毒害了青少年的身心健康.為了引導(dǎo)青少年抵制不良游戲，適度參與益腦游戲，某游戲公司開(kāi)發(fā)了一款益腦游戲，在內(nèi)測(cè)時(shí)收集了玩家對(duì)每一關(guān)的平均過(guò)關(guān)時(shí)間，如下表：關(guān)卡123456平均過(guò)關(guān)時(shí)間（單位：秒）5078124121137352計(jì)算得到一些統(tǒng)計(jì)量的值為：，其中，.(1)若用模型擬合與的關(guān)系，根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，求出與的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)制定游戲規(guī)則如下：玩家在每關(guān)的平均過(guò)關(guān)時(shí)間內(nèi)通過(guò)可獲得積分2分并進(jìn)入下一關(guān)，否則獲得分且該輪游戲結(jié)束.甲通過(guò)練習(xí)，前3關(guān)都能在平均時(shí)間內(nèi)過(guò)關(guān)，后面3關(guān)能在平均時(shí)間內(nèi)通過(guò)的概率均為，若甲玩一輪此款益腦游戲，求“甲獲得的積分”的分布列和數(shù)學(xué)期望.參考公式：對(duì)于一組數(shù)據(jù)（），其經(jīng)驗(yàn)回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，.19．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，當(dāng)時(shí)，.(1)求；(2)設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若恒成立，求的取值范圍.20．如圖，在平面五邊形中，為正三角形，，且.將沿翻折成如圖所示的四棱錐，使得.，分別為，的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)若，求平面與平面夾角的余弦值.21．已知橢圓：（）的離心率為，其左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上任意一點(diǎn)，面積的最大值為1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知，過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn)，，直線，與軸的交點(diǎn)分別為，，證明：以為直徑的圓過(guò)定點(diǎn).22．已知函數(shù)（）.(1)證明：當(dāng)時(shí)，函數(shù)存在唯一的極值點(diǎn)；(2)若不等式恒成立，求的取值范圍.參考答案：1．B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再根據(jù)補(bǔ)集、交集的定義計(jì)算可得；【詳解】解：由，即，解得，所以，又，所以，所以；故選：B2．B【解析】【詳解】試題分析：，故共軛復(fù)數(shù)為考點(diǎn)：復(fù)數(shù)運(yùn)算3．A【解析】【分析】利用充分條件、必要條件的定義結(jié)合線面垂直的意義判斷作答.【詳解】若，則垂直內(nèi)所有直線，因此，命題“若，則垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”正確，垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線，若這無(wú)數(shù)條直線中無(wú)任何兩條直線相交，此時(shí)直線可以在平面內(nèi)，即不能推出，所以“”是“垂直內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”的充分不必要條件.故選：A4．C【解析】【分析】利用古典概型去求周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離騷》的概率【詳解】該校周一至周四誦讀屈原的四部作品方法總數(shù)為周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離騷》的方法總數(shù)為則周一不讀《天問(wèn)》，周三不讀《離騷》的概率為故選：C5．D【解析】【分析】先設(shè)出直線AB的方程，并與雙曲線的方程聯(lián)立，利用設(shè)而不求的方法及條件得到關(guān)于的關(guān)系，進(jìn)而求得雙曲線的離心率【詳解】不妨設(shè)過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且斜率不為0的直線為，令由，整理得則，則，由，可得則有，即，則雙曲線的離心率故選：D6．D【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式和二倍角的正弦公式化簡(jiǎn)題給條件，得到三角函數(shù)齊次式，進(jìn)而求得的值【詳解】由，可得又，則故選：D7．A【解析】【分析】等和線的問(wèn)題可以用共線定理，或直接用建系的方法解決.【詳解】作BC的平行線與圓相交于點(diǎn)P，與直線AB相交于點(diǎn)E，與直線AC相交于點(diǎn)F，設(shè)，則，∵BC//EF，∴設(shè)，則∴，∴∴故選：A.8．B【解析】【分析】作出函數(shù)的圖象，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出對(duì)應(yīng)的切線方程以及斜率，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行求解即可．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖：依題意方程有且僅有三個(gè)實(shí)數(shù)解，即與有且僅有三個(gè)交點(diǎn)，因?yàn)楸剡^(guò)，且，若時(shí)，方程不可能有三個(gè)實(shí)數(shù)解，則必有，當(dāng)直線與在時(shí)相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則，即，則切線方程為，即，切線方程為，且，則，所以，即當(dāng)時(shí)與在上有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，要使方程有且僅有三個(gè)的實(shí)數(shù)解，則當(dāng)時(shí)與有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)直線與切于點(diǎn)，此時(shí)，則，即，所以，故選：B9．AD【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、中位數(shù)、方差的意義計(jì)算推理判斷A，D；舉例說(shuō)明判斷B，C作答.【詳解】對(duì)于A，因10個(gè)數(shù)的平均數(shù)為2，中位數(shù)為3，將10個(gè)數(shù)從小到大排列，設(shè)后面4個(gè)數(shù)從小到大依次為a，b，c，d，顯然有，而，則d的最大值為5，A符合條件；對(duì)于B，平均數(shù)為1，方差大于0.5，可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：0，0，0，0，0，0，0，0，0，10，其平均數(shù)為1，方差大于0.5，B不符合；對(duì)于C，平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，可能存在大于7的數(shù)，如連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為：0，0，0，2，2，2，2，2，2，8，其平均數(shù)為2，眾數(shù)為2，C不符合；對(duì)于D，設(shè)連續(xù)10天的數(shù)據(jù)為，因平均數(shù)為2，方差為3，則有，于是得，而，因此，D符合條件.故選：AD10．ABD【解析】【分析】根據(jù)圖象求出的解析式，然后運(yùn)用三角函數(shù)的知識(shí)逐一判斷即可.【詳解】由圖可得，，所以，因?yàn)椋裕?，因?yàn)?，所以，故A正確；由可得，所以，解得，，故B正確；將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的是函數(shù)的圖象，直線不是其對(duì)稱軸，故C錯(cuò)誤；因?yàn)椋院瘮?shù)與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故D正確；故選：ABD11．BD【解析】【分析】求得否定選項(xiàng)A；求得并與比較判斷選項(xiàng)B；求得并與比較判斷選項(xiàng)C；分別求得、并進(jìn)行比較判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：，則.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：，則，則.判斷正確；選項(xiàng)C：，則，.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：，則則，則.判斷正確.故選：BD12．BCD【解析】【分析】利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，冪函數(shù)的性質(zhì)逐項(xiàng)分析即得.【詳解】設(shè)甲與乙的工人工作效率，工作年限，勞累程度，勞動(dòng)動(dòng)機(jī)，對(duì)于A，，，，，∴，，，所以，即甲比乙勞累程度弱，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，，，∴，，∴，所以，即甲比乙勞累程度弱，故B正確.對(duì)于C，，，，∴，，則，∴，即甲比乙工作效率高，故C正確；對(duì)于D，，，，，∴，，則，∴，即甲比乙工作效率高，故D正確；故選：BCD.13．，，，，等（答案不唯一）【解析】【分析】利用為奇函數(shù)，可以得到為奇函數(shù)，進(jìn)而求得的表達(dá)式.【詳解】由為奇函數(shù)，則有即恒成立則，則為奇函數(shù)則的表達(dá)式可以為或或等故答案為：，，，，等14．【解析】【分析】由二項(xiàng)式展開(kāi)公式直接計(jì)算即可.【詳解】解：因?yàn)椋剑剑?，所以有：?56=1792,所以=-32,解得a=-2,故答案為：-2.15．或1##1或【解析】【分析】先求得點(diǎn)的軌跡的方程，再利用的面積為2列出關(guān)于實(shí)數(shù)的方程，進(jìn)而求得實(shí)數(shù)的值【詳解】設(shè)，則有整理得，即點(diǎn)的軌跡為以為圓心以2為半徑的圓點(diǎn)到直線的距離直線交于，兩點(diǎn)，則則的面積解之得或故答案為：或116．

【解析】【分析】過(guò)側(cè)棱的中點(diǎn)作正三棱柱的截面，即可得到球心為的中心，在正中求出內(nèi)切圓的半徑即內(nèi)切球的半徑，從而求出球的表面積，再求出三棱柱的頂點(diǎn)到球心的距離，即可求出球面上的點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離的最小值；【詳解】解：依題意如圖過(guò)側(cè)棱的中點(diǎn)作正三棱柱的截面，則球心為的中心，因?yàn)椋詢?nèi)切圓的半徑，即內(nèi)切球的半徑，所以內(nèi)切球的表面積，又正三棱柱的高，所以，所以，所以到球面上的點(diǎn)的距離最小值為；故答案為：；17．(1)(2)【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再利用兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；（2）利用正弦定理將邊化角，再利用三角恒等變換公式及余弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；(1)解：因?yàn)?，由正弦定理得，即，即，因?yàn)?，所以，所?因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所?(2)解：由正弦定理得，所以，所以.因?yàn)?，所以，所以，所?18．(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：【解析】【分析】（1）對(duì)兩邊取對(duì)數(shù)可得，即，再根據(jù)最小二乘法求出，，即可得解；（2）依題意的所有可能取值為5，7，9，12，求出所對(duì)應(yīng)的概率，即可得到分布列，從而求出數(shù)學(xué)期望；(1)解：因?yàn)閮蛇吶?duì)數(shù)可得，即，令，所以，由，，.所以，又，即，所以，所以.所以關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.(2)解：由題知，甲獲得的積分的所有可能取值為5，7，9，12，所以，，，，所以的分布列為56912所以19．(1)(2)【解析】【分析】（1）將代入化簡(jiǎn)可得為等差數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用錯(cuò)位相減法求出，再利用分離參數(shù)的思想即可得結(jié)果.(1)當(dāng)時(shí)，，所以，，整理得：，即.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.所以，即.(2)由（1）知，，所以，①所以，②①-②得，，所以，，所以，，所以，即，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以.20．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】(1)取的中點(diǎn)，連接，.可得面面，從而可證平面；(2)取的中點(diǎn)，連接，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,用向量法求解即可.(1)解：（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，.則，.因?yàn)槊?，面，所以，面，面，因?yàn)?，所以，面面，因?yàn)槊妫悦?(2)（2）取的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)闉檎切?，，所以且，在直角梯形中，，，，所以，且，又因?yàn)椋栽谥?，，即，所以，以為坐?biāo)原點(diǎn)，分別以，，的方向?yàn)?，，軸的正向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.因?yàn)?，即，，所以，，所以?設(shè)為平面的一個(gè)法向量，則，即，取.又平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面與平面夾角為，.21．(1)(2)證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）依題意可得，即可求出、、，即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，消元、列出韋達(dá)定理，由直線、的方程，得到、的坐標(biāo)，即可得到以為直徑的圓的方程，再令，得到，即可得解；(1)解：因?yàn)闄E圓的離心率為，所以.又當(dāng)位于上頂點(diǎn)或者下頂點(diǎn)時(shí)，面積最大，即.又，所以，.所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.(2)解：由題知，直線的斜率存在，所以設(shè)直線的方程為，設(shè)，，將直線代入橢圓的方程得：，由