高能物理過程的精確計算

高能物理過程的精確計算2023/5/101第1頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四1.引言標(biāo)準(zhǔn)模型的檢驗

W，Z，top等粒子的物理特性的精確測量…Higgs粒子的尋找與測量

Higgs粒子是否存在

Higgs粒子的物理特性是否是標(biāo)準(zhǔn)模型的Higgs粒子新物理的發(fā)現(xiàn)與精確測量

超對稱，額外維，小Higgs模型…等新模型的發(fā)現(xiàn)；模型參數(shù)測量2023/5/102第2頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四高能對撞機Tevatron(running)

com:

1.96

TeV

PPbarlumi:

2E32

cm-2s-1

CDF,D0LHC(2007)

com:

14

TeV

PPlumi:

2E33

cm-2s-1@lowluminisity,then2E34

cm-2s-1

ATLAS，CMS，LHCb，AliceLC(inthefuture)e+e-collisionandgamma-gammacollision,ore-gammacollision

NLC,JLC,TESLA,CLIC2023/5/103第3頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四大量費曼圖的計算；標(biāo)量積分函數(shù)的計算；張量積分函數(shù)推導(dǎo)為標(biāo)量積分函數(shù)的計算；控制數(shù)值計算的精度。多體末態(tài)!高精度！理論上高精度計算存在的四個主要問題:2023/5/104第4頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2.量子場論計算的基礎(chǔ)知識可觀測量O的期望值:其中為過程的矩陣元（動力學(xué)部分）為相空間體積元2023/5/105第5頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四a)費曼規(guī)則:費曼圖數(shù)學(xué)表達式

圖形與幅度的轉(zhuǎn)換過程是按照費曼圖圖形技術(shù)中所對應(yīng)的規(guī)則進行的;外線對應(yīng)自由波函數(shù)，內(nèi)線對應(yīng)著傳播函數(shù)，頂點對應(yīng)相互作用頂點。例:費米子傳播函數(shù)的規(guī)則和三膠子作用頂點的規(guī)則：

2023/5/106第6頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四例：矩陣元其中2023/5/107第7頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四二階張量圈圖積分函數(shù)部分：矩陣元中剩余部分：標(biāo)量積分函數(shù)：2023/5/108第8頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四b)IR和UV發(fā)散的正規(guī)化

k0,IR發(fā)散!kinf,UV發(fā)散!維數(shù)正規(guī)化方案（n=4-2）

UV發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則出現(xiàn)最高達階極點項。

IR發(fā)散的l圈圖積分函數(shù)則可以出現(xiàn)直到階的極點項。2023/5/109第9頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四c)

N條外線過程的NLO計算含膠子、光子或輕夸克輻射的N+1條外線樹圖的對應(yīng)幅度產(chǎn)生；實(膠子、光子、輕夸克)輻射過程軟、共線發(fā)散的分離；PDF抵消項貢獻中紅外發(fā)散(共線發(fā)散)的分離；N條外線單圈圖(包括抵消項圖)的對應(yīng)幅度的產(chǎn)生；計算單圈圖，分離出軟、共線發(fā)散；將上述貢獻相加，消除紫外及紅外發(fā)散；有限貢獻的幅度數(shù)值計算。2023/5/1010第10頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3.單圈標(biāo)量積分函數(shù)計算

n（=4-2）維下費曼圖對應(yīng)的幅度可以表示為對張量積分函數(shù)與外部張量S的乘積求和，即其中S只與外線運動學(xué)相關(guān)．2023/5/1011第11頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

I的一般形式為：

對應(yīng)于對稱張量組合．例如：標(biāo)量系數(shù)可以通過Passarino-Veltman方法求出．它們由標(biāo)量積分函數(shù)表示出．上述即為張量積分的約化過程。

2023/5/1012第12頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四（1）標(biāo)量A,B,C,D圈積分函數(shù)定義;

其中:2023/5/1013第13頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四（2)基本標(biāo)量積分函數(shù)計算:

以為例來說明標(biāo)量函數(shù)的計算。1）Feynman或Schwiger參數(shù)化.Feynman參數(shù)化

Schwiger參數(shù)化2）積分變量平移.

定義:

2023/5/1014第14頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3）Wick旋轉(zhuǎn).4）D維歐氏空間的球坐標(biāo)變換.2023/5/1015第15頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四5）角向及徑向積分.

作變換：

并對徑向作積分：有：角向積分：2023/5/1016第16頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四（3）A,B標(biāo)量積分函數(shù)的解析結(jié)果：G.'tHooftandM.Veltman,NLB153,365(1979)

2023/5/1017第17頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四對標(biāo)量五點積分函數(shù)：

(A.DennerandS.Dittmaier,hep-ph/0212259)

(4)五點標(biāo)量函數(shù)計算:2023/5/1018第18頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四(5)六點標(biāo)量積分函數(shù)計算:Guo方法：定義5點和6點標(biāo)量積分函數(shù)：并用表示消去傳播子后得到的5點函數(shù)。2023/5/1019第19頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四定選擇系數(shù)，使得：?。?023/5/1020第20頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四得到：其中，為Gram行列式。Binoth的方法：其中：2023/5/1021第21頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/1022第22頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四4.張量積分函數(shù)計算(1)Passarino-Veltman方法：

例如，對于3點2階張量積分：N點p階張量積分：利用下面的性質(zhì)降階：2023/5/1023第23頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四其中：三、四、五點張量積分函數(shù)推導(dǎo)中出現(xiàn)的Gram矩陣分別為：

將p階的N點張量積分函數(shù)系數(shù)表示為低階張量的N點和N-1,N-2,…的積分函數(shù)系數(shù)。降階過程中會出現(xiàn)Gram矩陣求逆。遞歸地采用PV方法，解線性方程組，最終將張量積分函數(shù)系數(shù)表示為標(biāo)量積分函數(shù)。2023/5/1024第24頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四小結(jié)：該方法原則上適用于所有1，2，3，4，5點張量多點積分函數(shù)的計算。這種方法會出現(xiàn)Gram矩陣求逆，當(dāng)Gram行列式值很小時會產(chǎn)生積分函數(shù)數(shù)值計算的不穩(wěn)定性。四點以下（含四點）積分函數(shù)數(shù)值計算中Gram行列式值很小的區(qū)域僅僅出現(xiàn)在相空間的邊緣附近（如前后向區(qū)，閾值附近）。5點積分函數(shù)數(shù)值計算中Gram行列式值很小的區(qū)域可能出現(xiàn)在相空間中間。2023/5/1025第25頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四(2)Denner-Dittmaier方法:（hep-ph/0212259）2023/5/1026第26頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四矢量積分：2階張量積分：2023/5/1027第27頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四3階張量積分：2023/5/1028第28頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四該方法避免出現(xiàn)Gram矩陣求逆的計算。2023/5/1029第29頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四5.

六點張量積分的計算（1）Guo方法：利用上式將6點張量積分化為5點同階及低階張量積分。得到的5點張量積由Denner-Dittmaier方法化為5點及更低點標(biāo)量積分的計算。2023/5/1030第30頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四2023/5/1031第31頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四(2)Denner-Dittmaier方法：

(hep-ph/0509141)6點張量積分:2023/5/1032第32頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四張量積分的系數(shù)為:2023/5/1033第33頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四6.IR發(fā)散的分離（Nucl.Phys.B675(2003)447）

定義變量：一條無質(zhì)量外線粒子連接兩條無質(zhì)量的內(nèi)線傳播子，設(shè)外線動量為類光四矢量：發(fā)散發(fā)生在此時傳播子n的動量與外線的動量在共線位形上，因此這種發(fā)散稱為共線發(fā)散。2023/5/1034第34頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四兩個在殼的粒子間交換一個無質(zhì)量的粒子，此時發(fā)散發(fā)生在，傳播子n的動量，因此這種發(fā)散稱為軟發(fā)散。2023/5/1035第35頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四圈積分中的紅外發(fā)散的分離:為了得到維數(shù)正規(guī)化方案下的標(biāo)量圈積分的表達式，將一個圈積分劃分為有限部分和發(fā)散部分。其中有限部分的計算是與正規(guī)化方案無關(guān)，我們可以用標(biāo)準(zhǔn)的程序包FF在質(zhì)量正規(guī)化方案下計算。而發(fā)散部分可以用相應(yīng)的3點積分表示。

發(fā)散部分的計算：

其中對于共線發(fā)散：2023/5/1036第36頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

對于軟發(fā)散：例:五點圖發(fā)散部分的計算2023/5/1037第37頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四

根據(jù)前面的公式計算出相應(yīng)不為零的3點函數(shù)的系數(shù)：2023/5/1038第38頁，共42頁，2023年，2月20日，星期四最后得到該五點函數(shù)的極點項表達