《光學信息處理》二維傅立葉變換

1.2二維傅立葉變換二維傅立葉變換特殊函數的傅立葉變換

傅立葉變換的性質11、二維傅立葉變換傅立葉級數傅立葉積分與變換二維傅立葉變換意義2（1）傅立葉級數一個隨時間變化的量可以分解成它的簡諧分量某點隨聲波的通過而變化著的壓強因光波、無線電波通過而變化的電場強度電壓、電流等任何周期信號都可以變化成傅立葉級數的形式31.傅立葉級數（2）4周期函數函數f(t)，周期、基頻=2/，頻率v=1/f(t)滿足狄利克雷條件，即在一個周期內存在有限個極值點或第一類間斷點。（2）傅立葉積分對于非周期函數5什么是傅立葉變換？正變換逆變換（3）二維傅立葉變換對于一個二維物函數g(x,y)，其傅立葉變換也為二維，記為G(u,v)：傅立葉正變換傅立葉逆變換

g(x,y)原函數G(u,v)傅立葉變換函數6空間頻率變換存在的客觀條件數學表述(絕對可積和狄里赫利條件)g(x,y)在全平面絕對可積在全平面只有有限個間斷點，在有限區(qū)域有有限個極值沒有無窮大間斷點實際上，“物理的真實”是變換存在的充分條件直角坐標系下（特例）光學傅立葉變換對

Spatialdomainfrequencydomain

空域頻域

spatialvariablespatialfrequencyvariable

空間變量空間頻率變量

8（4）意義9幾何投影區(qū)：光場分布與孔徑形狀相同菲涅耳衍射區(qū)衍射圖中心產生明暗變化夫瑯禾費衍射區(qū)相對強度不變、尺寸與距離成正比，幅度降低二維傅立葉變換光學模擬光學模擬f1＝f2，4F系統，輸出面上得到等大實像10f1f1f2f2yx1uv傅立葉處理器1傅立葉處理器2g(x,y)G(u,v)g(-x,-y)P1P2P32、特殊函數傅立葉變換函數符號函數階躍函數梳狀函數其它特殊函數的傅立葉變換11（1）函數12物理意義：表示點源函數具有權重為1的最豐富的頻譜特性。

在光學中，常用點光源檢測系統的響應特性。13常數的傅立葉變換14（2）符號函數證明：當a=0時，g(x)sgn(x)15１－１１－１16（3）階躍函數17方法：先將階躍函數變換為已知傅立葉變換信號的組合，然后求其傅立葉變換（4）梳狀函數方法：先將梳狀函數展開為傅立葉級數形式，然后求其傅立葉變換傅立葉級數形式18傅立葉變換19梳狀函數comb(x)的傅立葉變換仍為梳狀函數comb(u)20梳狀函數的應用之一

：復現復現函數x0x00*21梳狀函數的應用之二

：抽樣x抽樣函數0x0x0正實數常數?22抽樣函數的抽樣函數抽樣間隙抽樣點抽樣值的抽樣函數即是以抽樣值為權重的函數序列（5）其它特殊函數233、傅立葉變換的性質1.線性性2.縮放性3.位移性4.共軛性5.卷積定理6.函數導數的傅立葉變換7.相關定理8.Parseval定理9.函數的矩Moment2425（1）.

線性性

Ag(x,y)+Bh(x,y)AG(u,v)+BH(u,v)

提示：光學模擬－圖像相減將兩個圖像透明片置于相干光學處理器中，并在空間頻率

平面放一正弦光柵T(p)=(1+sinap)/2輸出平面的光軸衍射出相減了的圖像[f1(α,β)-f2(α,β)]26舉例－圖像相減27（2）.縮放性

g(ax,by)28g(-x,-y)稱為

Inversionproperty:反演性意義：空域展寬、頻域收縮；空域收縮、頻域展寬提示：特例：當a=b=-1時（3）.位移性空域中的位移頻域中的位移29(A).空域中的位移

30提示：說明：當物體在空域中有位移時，頻譜的空間位置不變，只存在位相的變化，稱為“相移”(2).頻域中的位移頻域中的位移由空域中的相移引起的例如：實現空域相移最簡單的方法是改變入射角的方向，單狹縫在傾斜光照射下的頻率改變入射光的角度，可實現衍射圖像的橫向位移31

（4）.共軛性3233

（5）.卷積定理定義定理

函數的卷積34（6）.

函數導數的傅立葉變換

證：表明函數微分的傅立葉變換可以轉化為乘積運算（7）相關定理（維納－辛欽定理）定義定理35自相關定理的意義表明一個函數的自相關與其功率譜構成傅立葉變換對表示功率譜是空間自相關函數的傅里葉變換．空間自相關函數表征空間相距為(x,y)的兩點之間場的相似性或關聯性．它是場的空間相干性的度量．場的相干性較高時，功率譜的彌散就較小，表示光功率在頻域內集中在很小的區(qū)域中(這樣的光波可稱為準單色光)；當場的相干性較差時，功率譜s的彌散就較大，表示光功率在頻域中分布在較大的區(qū)域內，包含較寬的波段．3637Proof：（8）.

Parseval定理物理意義：在物理學上表述了物空間和象空間的能量守恒原理，也稱瑞利定理表現了能量守恒定律在空域和頻域中表達式的一致性若g(x,y)表光場的復振幅分布，則|g(x,y)|2代表光強的分布，

該積分式代表該光場在空間的總光能；|G(u,v)|2表示單位頻率間隔的光能量，稱功率譜