數(shù)學(xué)模型 數(shù)學(xué)論文指導(dǎo) 傳染病模型1

傳染病模型王秀蓮2021/10/101一、問題在人類的生活中，一直受傳染病的困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的疾病已經(jīng)得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病卻悄悄向人類襲來，如20世紀(jì)80年代開始的十分險惡的愛滋?。?1世紀(jì)第一個在世界范圍內(nèi)傳播的SARS（俗稱非典型肺炎）等等，給人們的生命財產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國專家和官員關(guān)注的課題。2021/10/102研究傳染病模型，不可能通過實驗獲取數(shù)據(jù)，而從醫(yī)療部門得到的資料也是不完全和不充分的，同時不同的傳染病的傳播過程各有不同的特點，所以，我們在這里只能是按照機(jī)理分析的方法，按一般的傳播機(jī)理建立幾種簡單的模型。2021/10/103*機(jī)理分析法根據(jù)對現(xiàn)實對象特性的認(rèn)識，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律.2021/10/104１、模型的假設(shè)1、在疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設(shè)在t時刻它們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）和i（t）2、每個病人在t時刻有效接觸的人數(shù)為，在較短時間內(nèi)，可以設(shè)為常數(shù)（成為日接觸率）。3、在開始時刻病人數(shù)為2021/10/105模型1（SI模型）（控制前自然傳播）每個病人每天可使個健康人變?yōu)椴∪耍杂校?/p>

（此模型為阻滯增長

logistic）模型）2021/10/106解此微分方程組得

2021/10/107此式中當(dāng)時，，說明在不進(jìn)行控制的情況下，最終所有人全變?yōu)椴∪?。同時由（1）式知，當(dāng)時，達(dá)到最大，這個時刻為2021/10/108這時病人增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療部門關(guān)注的時刻。與成反比。說明的值越大，該地區(qū)的衛(wèi)生水平越高，傳染病高峰期的到來越遲。2021/10/109模型2（SIS模型）（控制后的傳播模型）有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應(yīng)考慮治療情況。設(shè)每天治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為（稱為日治愈率）。顯然，為這種傳染病的平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?/p>

2021/10/1010（2）2021/10/1011此微分方程的解為（3）2021/10/1012定義（整個傳染期內(nèi)每個病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)）。此時方程組（2）的第一、二式可以改寫為（4）2021/10/1013此時（3）式變?yōu)椋?021/10/1014當(dāng)時，由（4）可以看出，時，達(dá)到最大，預(yù)示著傳染病高潮的到來；同時當(dāng)時，病人比例越來小?？梢娛且粋€閾值。2021/10/1015模型3（SIR模型）有一些傳染病如天花、肝炎等治愈后具有很強的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他們已經(jīng)退出了傳染系統(tǒng)，此時，人群分為三類，健康人、病人和治愈后的移出者。設(shè)他們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）、i（t）、r（t）。又設(shè)開始時病人數(shù)，移出者數(shù)為，于是所建立模型為：2021/10/1016方程（5）無法求出相應(yīng)的解析解，我們利用相軌線討論解的性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域為（5）2021/10/1017

若微分方程組其右端的函數(shù)不顯含自變量t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動力系統(tǒng)).2021/10/1018一般二維駐定系統(tǒng)形式為2021/10/1019存在且唯一，則在三維空間(x,y,t)中有且僅有一條解曲線通過點(x0,y0,t0).基本思想將空間曲線投影到平面上進(jìn)行分析.

2021/10/1020定義：稱平面(x,y)為相平面，稱解曲線在相平面上的投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.2021/10/1021xytot0(x,y,t)解曲線投影曲線相軌線

軌線方程由原方程（2）消去t而得到,相點的運動方向由原方程確定.

2021/10/1022使P(x0,y0)=Q(x0,y0)=0的(x0,y0)稱為方程(2)的平衡點.2021/10/1023在（5）式中消去，并注意到的定義，得：解得：1、可以證明極限都存在，并且，即病人最終全部消失。（6）2021/10/10242、最終未被感染的健康人數(shù)的比例滿足（在（6）式中，令）：（7）該方程在內(nèi)有根，即取值在內(nèi)。2021/10/10253、當(dāng)時，達(dá)到最大4、當(dāng)時，傳染病會蔓延時，傳染病不會蔓延，是一個閾值。于是提高閾值，減少接觸數(shù)，即日接觸率減小，日治愈率增大，也即提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平有助于控制傳染病的蔓延。2021/10/10265、（群體免疫和預(yù)防）當(dāng)時，傳染病不會蔓延，所以除了提高衛(wèi)生水平和醫(yī)療水平外，另一控制傳染病蔓延的途徑是降低，從而提高，即通過群體免疫，使開始時的移出者增大。

2021/10/10276、實際中，的值很難估計，在（7）式中求得：可以通過此式來分析傳染病的蔓延過程。2021/10/10287、（被傳染比例的估計）令，則由（6）式得：取對數(shù)函數(shù)