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文檔簡(jiǎn)介
2.3.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程2021/5/912例題講評(píng)[例1]已知定點(diǎn)F1(-3,0),F(xiàn)2(3,0),坐標(biāo)平面上滿足下列條件之一的動(dòng)點(diǎn)P的軌跡:其中,是雙曲線的有:(3)(5)2021/5/92練一練判斷下列方程是否表示雙曲線?若是,求出及焦點(diǎn)坐標(biāo)。答案:2021/5/93例2:如果方程表示雙曲線,求m的取值范圍.解:方程表示焦點(diǎn)在y軸雙曲線時(shí),則m的取值范圍_____________.思考:2021/5/94變式二:上述方程表示焦點(diǎn)在y軸的雙曲線時(shí),求m的范圍和焦點(diǎn)坐標(biāo)。分析:方程表示雙曲線時(shí),則m的取值范圍_________________.變式一:2021/5/95例3.如果方程表示雙曲線,求m的取值范圍.
方程表示雙曲線時(shí),則m的取值范圍_________________.變式一:返回變式二:2021/5/962021/5/97定義圖象方程焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)F(±c,0)
F(0,±c)雙曲線定義及標(biāo)準(zhǔn)方程2021/5/98定義
方程
焦點(diǎn)a.b.c的關(guān)系F(±c,0)F(±c,0)a>0,b>0,但a不一定大于b,c2=a2+b2a>b>0,a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系||MF1|-|MF2||=2a
|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F(0,±c)F(0,±c)2021/5/99例1、已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1(-5,0)、F2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差
的絕對(duì)值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程?;纠}2021/5/910例2:k>1,則關(guān)于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1
所表示的曲線是()
解:原方程化為:A、焦點(diǎn)在x軸上的橢圓C、焦點(diǎn)在y軸上的橢圓B、焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線D、焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線∵k>0∴k2-1>01+k>0∴方程的曲線為焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線。故選(B)2021/5/911例3.已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x-3)2+y2=9,動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切,求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.解:設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A
和B,根據(jù)兩圓外切的條件,|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2、C1的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義,動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支(點(diǎn)M與C2的距離大,與C1的距離小),這里a=1,c=3,則b2=8,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),其軌跡方程為:2021/5/912變式.已知圓C1:(x-3)2+y2=9和圓外一定點(diǎn)P(-3,0),M是圓上任一點(diǎn),PM的垂直平分線與C1M交于Q點(diǎn),求點(diǎn)Q的軌跡方程.2021/5/913例4、已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)雙曲線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值等于6,
(1)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_____________
(2)若|PF1|=10,則|PF2|=_________4或16(3)若|PF1|=7,則|PF2|=_________132021/5/914變式:已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0),雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于8,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.∵
2a=8,
c=5∴
a=4,c=5∴
b2=52-42=9所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:根據(jù)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上,設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為:解:2021/5/9152021/5/9162021/5/9172021/5/918例6已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上,并且雙曲線上兩點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)分別為(3,)、(9/4,5),求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.解:因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在y軸上,所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:
因?yàn)辄c(diǎn)P1、P2在雙曲線上,所以點(diǎn)P1、P2的坐標(biāo)適合方程①.將(3,)、()分別代入方程①中,得方程組2021/5/919解得:a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為:2021/5/9202021/5/921例8一炮彈在某處爆炸,在A處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s.(1)爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上?(2)已知A、B兩地相距800m,并且此時(shí)聲速為340m/s,求曲線的方程.解(1)由聲速及A、B兩處聽(tīng)到爆炸聲的時(shí)間差,可知A、B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差,因此爆炸點(diǎn)應(yīng)位于以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線上.2021/5/922(2)如圖8—14,建立直角坐標(biāo)系xOy,使A、B兩點(diǎn)在x軸上,并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.
設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則即2a=680,a=340.2c=800,c=400b2=c2-a2=44400
所求雙曲線的方程為:(x>0).xyoPBA2021/5/923
使A、B兩點(diǎn)在x軸上,并且點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合解:由聲速及在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點(diǎn)的距離比B地與爆炸點(diǎn)的距離遠(yuǎn)680m.因?yàn)閨AB|>680m,所以爆炸點(diǎn)的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的雙曲線在靠近B處的一支上.
例9.(課本第54頁(yè)例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽(tīng)到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.如圖所示,建立直角坐標(biāo)系xOy,設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y),則即2a=680,a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程為2021/5/924
答:再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,利用B、C(或A、C)兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差,可以求出另一個(gè)雙曲線的方程,解這兩個(gè)方程組成的方程組,就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.2021/5/925PBACxyo2021/5/9262021/5/927(3)應(yīng)用(1)定義:||MF1|-|MF2||=2a(0<2a<|F1F2|)課后思考返回小結(jié)2021/5/928解:在△ABC中,|BC|=10,故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支又因c=5,a=3,則b=4則頂點(diǎn)A的軌跡方程為2021/5/929課堂練習(xí):2、若橢圓與雙曲線
的焦點(diǎn)相同,則a=32021/5/930練習(xí)若去掉焦點(diǎn)在X軸上的條件呢?(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)(5,2)與點(diǎn)(10,8)2021/5/9311.過(guò)雙曲線的焦點(diǎn)且垂直x軸的弦的長(zhǎng)度
為
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