2.3.1雙曲線的標準方程(李用2)

2.3.1雙曲線的標準方程2021/5/912例題講評［例1］已知定點F1(-3，0)，F2(3，0)，坐標平面上滿足下列條件之一的動點P的軌跡：其中，是雙曲線的有：（3）（5）2021/5/92練一練判斷下列方程是否表示雙曲線？若是，求出及焦點坐標。答案：2021/5/93例2:如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.解:方程表示焦點在y軸雙曲線時，則m的取值范圍_____________.思考：2021/5/94變式二:上述方程表示焦點在y軸的雙曲線時，求m的范圍和焦點坐標。分析:方程表示雙曲線時，則m的取值范圍_________________.變式一:2021/5/95例3.如果方程表示雙曲線，求m的取值范圍.

方程表示雙曲線時，則m的取值范圍_________________.變式一:返回變式二:2021/5/962021/5/97定義圖象方程焦點a.b.c的關系||MF1|-|MF2||=2a（０<2a<|F1F2|）F(±c,0)

F(0,±c)雙曲線定義及標準方程2021/5/98定義

方程

焦點a.b.c的關系F（±c，0）F（±c，0）a>0，b>0，但a不一定大于b，c2=a2+b2a>b>0，a2=b2+c2雙曲線與橢圓之間的區(qū)別與聯系||MF1|－|MF2||=2a

|MF1|+|MF2|=2a橢圓雙曲線F（0，±c）F（0，±c）2021/5/99例1、已知雙曲線兩個焦點的坐標為F1(-5,0)、F2(5,0),雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差

的絕對值等于6，求雙曲線的標準方程。基本例題2021/5/910例2：k>1,則關于x、y的方程(1-k)x2+y2=k2-1

所表示的曲線是（)

解：原方程化為：A、焦點在x軸上的橢圓C、焦點在y軸上的橢圓B、焦點在y軸上的雙曲線D、焦點在x軸上的雙曲線∵k>0∴k2-1>01+k>0∴方程的曲線為焦點在y軸上的雙曲線。故選（B）2021/5/911例3.已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．解：設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于點A

和B，根據兩圓外切的條件，|MC1|-|AC1|=|MA|,|MC2|-|BC2|=|MB|這表明動點M與兩定點C2、C1的距離的差是常數2．根據雙曲線的定義，動點M的軌跡為雙曲線的左支(點M與C2的距離大，與C1的距離小)，這里a=1，c=3，則b2=8，設點M的坐標為(x，y)，其軌跡方程為：2021/5/912變式.已知圓C1：(x-3)2+y2=9和圓外一定點P（-3，0），M是圓上任一點，PM的垂直平分線與C1M交于Q點，求點Q的軌跡方程．2021/5/913例4、已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)雙曲線上一點到焦點的距離差的絕對值等于6，

（1）雙曲線的標準方程為______________

（2）若|ＰF1|=10,則|ＰF2|=_________4或16（3）若|ＰF1|=7，則|ＰF2|=_________132021/5/914變式：已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于8，求雙曲線的標準方程.∵

2a=8,

c=5∴

a=4,c=5∴

b2=52-42=9所以所求雙曲線的標準方程為：根據雙曲線的焦點在x軸上，設它的標準方程為：解:2021/5/9152021/5/9162021/5/9172021/5/918例6已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標分別為（3，）、（9/4,5），求雙曲線的標準方程.解：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設所求雙曲線的標準方程為：

因為點P1、P2在雙曲線上，所以點P1、P2的坐標適合方程①.將（3，）、（）分別代入方程①中，得方程組2021/5/919解得：a2=16,b2=9.故所求雙曲線的標準方程為：2021/5/9202021/5/921例8一炮彈在某處爆炸，在A處聽到爆炸聲的時間比在B處晚2s.（1）爆炸點應在什么樣的曲線上？（2）已知A、B兩地相距800m，并且此時聲速為340m/s，求曲線的方程.解（1）由聲速及A、B兩處聽到爆炸聲的時間差，可知A、B兩處與爆炸點的距離的差，因此爆炸點應位于以A、B為焦點的雙曲線上.2021/5/922（2）如圖8—14，建立直角坐標系xOy，使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合.

設爆炸點P的坐標為（x,y），則即2a=680,a=340.2c=800,c=400b2=c2－a2=44400

所求雙曲線的方程為：(x>0).xyoPBA2021/5/923

使A、B兩點在x軸上，并且點O與線段AB的中點重合解:由聲速及在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,可知A地與爆炸點的距離比B地與爆炸點的距離遠680m.因為|AB|>680m,所以爆炸點的軌跡是以A、B為焦點的雙曲線在靠近B處的一支上.

例9.(課本第54頁例)已知A,B兩地相距800m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2s,且聲速為340m/s,求炮彈爆炸點的軌跡方程.如圖所示，建立直角坐標系xOy,設爆炸點P的坐標為(x,y)，則即2a=680，a=340xyoPBA因此炮彈爆炸點的軌跡方程為2021/5/924

答:再增設一個觀測點C，利用B、C（或A、C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準確位置.這是雙曲線的一個重要應用.2021/5/925PBACxyo2021/5/9262021/5/927(3)應用(1)定義:||MF1|-|MF2||=2a（0<2a<|F1F2|）課后思考返回小結2021/5/928解:在△ABC中,|BC|=10，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的左支又因c=5，a=3，則b=4則頂點A的軌跡方程為2021/5/929課堂練習：2、若橢圓與雙曲線

的焦點相同,則a=32021/5/930練習若去掉焦點在X軸上的條件呢?(3)經過點（5，2）與點（10，8）2021/5/9311.過雙曲線的焦點且垂直x軸的弦的長度

為