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第頁共頁函數(shù)的單調(diào)性〔教案〕一函數(shù)的單調(diào)性〔教案〕一一、三維目的〔一〕、知識(shí)與技能1、理解函數(shù)單調(diào)性的概念,會(huì)根據(jù)函數(shù)的圖像判斷函數(shù)的單調(diào)性;2、可以根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明函數(shù)在某一區(qū)間上的單調(diào)性。〔二〕、過程與方法1、培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)語言對(duì)概念進(jìn)展概括的才能;2、通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性定義的探究,浸透數(shù)形結(jié)合的思想方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的才能和語言表達(dá)才能;通過對(duì)函數(shù)單調(diào)性的證明,進(jìn)步學(xué)生的推理論證才能?!踩城楦袘B(tài)度與價(jià)值觀1、通過本節(jié)課的教學(xué),啟發(fā)學(xué)生養(yǎng)成細(xì)心觀察,認(rèn)真分析^p,嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好習(xí)慣;2、通過問題鏈的引入,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,學(xué)生通過積極參與教學(xué)活動(dòng),獲得成功的體驗(yàn),鍛煉克制困難的意志,簡歷學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。二、教學(xué)重點(diǎn)領(lǐng)會(huì)函數(shù)單調(diào)性的本質(zhì),明確單調(diào)性是一個(gè)部分概念。三、教學(xué)難點(diǎn)利用函數(shù)單調(diào)性的定義證明詳細(xì)函數(shù)的單調(diào)性。四、教學(xué)過程〔一〕創(chuàng)設(shè)情景,引入新課師:同學(xué)們,在初中的時(shí)候我們已經(jīng)學(xué)過了函數(shù)圖像的一些根本畫法,而且我們也知道,函數(shù)的圖像在一定的程度上可以反映一個(gè)函數(shù)的根本性質(zhì)。那么如今就讓我們通過函數(shù)的圖像來進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì)。請(qǐng)同學(xué)們觀察下面兩組在相應(yīng)區(qū)間上的函數(shù)圖像,然后指出這兩組圖像有什么區(qū)別?〔多媒體顯示下面兩組圖像〕第一組:第二組:〔請(qǐng)一位同學(xué)答復(fù):從第一組函數(shù)的圖像可以看到,圖像從左到右是上升的;第二組函數(shù)圖像,從左到右是下降的。師總結(jié):對(duì),這位同學(xué)答復(fù)得很好。在第一組圖像中,我們可以看到,在給定的區(qū)間上圖像呈上升趨勢;在第二組圖像中,在給定區(qū)間上呈下降趨勢。函數(shù)圖像的“上升”“下降”反映了函數(shù)的一個(gè)根本性質(zhì)——單調(diào)性。那么如何描繪函數(shù)的“上升”“下降”呢?〔請(qǐng)一位同學(xué)答復(fù)。也許學(xué)生答復(fù)得不全,老師可適當(dāng)提示和引導(dǎo),以為例?!成汉瘮?shù)的圖像在區(qū)間上“上升”,也就說當(dāng)在區(qū)間上取值時(shí),隨著的增大,相應(yīng)的`值也增大;函數(shù)的圖像在區(qū)間上“下降”,也就是說當(dāng)在區(qū)間上取值時(shí),相應(yīng)的值反而減小。師:對(duì),這正是兩組函數(shù)的主要區(qū)別.當(dāng)x變大時(shí),第一組函數(shù)的函數(shù)值都變大,而第二組函數(shù)的函數(shù)值都變?。m然在每一組函數(shù)中,函數(shù)值變大或變小的方式并不一樣,但每一組函數(shù)卻具有一種共同的性質(zhì).我們?cè)趯W(xué)習(xí)一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)以及冪函數(shù)時(shí),就曾經(jīng)根據(jù)函數(shù)的圖象研究過函數(shù)的函數(shù)值隨自變量的變大而變大或變小的性質(zhì).而這些研究結(jié)論是直觀地由圖象得到的.在函數(shù)的集合中,有很多函數(shù)具有這種性質(zhì),因此我們有必要對(duì)函數(shù)這種性質(zhì)作更進(jìn)一步的一般性的討論和研究,這就是我們今天這一節(jié)課的內(nèi)容.〔點(diǎn)明本節(jié)課的內(nèi)容,既是曾經(jīng)有所認(rèn)識(shí)的,又是新的知識(shí),引起學(xué)生的注意.〕〔二〕新課講解師:請(qǐng)同學(xué)們翻開課本第33頁,大家一起把增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間的定義朗讀一遍.〔學(xué)生朗讀.〕師:通過剛剛閱讀增函數(shù)和減函數(shù)的定義,請(qǐng)同學(xué)們考慮一個(gè)問題:這種定義方法和我們剛剛所討論的函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大或減小是否一致?假如一致,定義中是怎樣描繪的?生:我認(rèn)為是一致的.定義中的“當(dāng)時(shí),都有”描繪了y隨x的增大而增大;“當(dāng)時(shí),都有”描繪了y隨x的增大而減少.師:說得非常正確.定義中用了兩個(gè)簡單的不等關(guān)系“”和“或”,它刻劃了函數(shù)的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減的性質(zhì).這就是數(shù)學(xué)的魅力!〔通過老師的情緒感染學(xué)生,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.〕師:如今請(qǐng)同學(xué)們和我一起來看剛剛的兩組圖中的第一個(gè)函數(shù)和的圖象,體會(huì)這種魅力.〔指圖說明.〕師:圖中對(duì)于區(qū)間[a,b]上的任意,,當(dāng)時(shí),都有,因此在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞增的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間;而圖中對(duì)于區(qū)間[a,b]上的任意,,當(dāng)時(shí),都有,因此在區(qū)間[a,b]上是單調(diào)遞減的,區(qū)間[a,b]是函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間.〔老師指圖說明分析^p定義,使學(xué)生把函數(shù)單調(diào)性的定義與直觀圖象結(jié)合起來,使新舊知識(shí)融為一體,加深對(duì)概念的理解.浸透數(shù)形結(jié)合分析^p問題的數(shù)學(xué)思想方法.〕師:因此我們可以說,增函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)……〔不把話說完,指一名學(xué)生接著說完,讓學(xué)生的思維始終跟著老師.〕生:較大的函數(shù)值的函數(shù).師:那么減函數(shù)呢?生:減函數(shù)就其本質(zhì)而言是在相應(yīng)區(qū)間上較大的自變量對(duì)應(yīng)較小的函數(shù)值的函數(shù).〔學(xué)生可能答復(fù)得不完好,老師應(yīng)指導(dǎo)他說完好.〕師:好.我們剛剛以增函數(shù)和減函數(shù)的定義作了初步的分析^p,通過閱讀和分析^p你認(rèn)為在定義中我們應(yīng)該抓住哪些【關(guān)鍵詞】:^p語,才能更透徹地認(rèn)識(shí)定義?〔學(xué)生思索.〕學(xué)生在高中階段以致在以后的學(xué)習(xí)中經(jīng)常會(huì)遇到一些概念〔或定義〕,能否抓住定義中的【關(guān)鍵詞】:^p語,是能否正確地、深化地理解和掌握概念的重要條件,更是學(xué)好數(shù)學(xué)及其他各學(xué)科的重要一環(huán).因此老師應(yīng)該學(xué)生如何深化理解一個(gè)概念,以培養(yǎng)學(xué)生分析^p問題,認(rèn)識(shí)問題的才能.〔老師在學(xué)生思索過程中,再一次有感情地朗讀定義,并注意在【關(guān)鍵詞】:^p語處適當(dāng)加重語氣.在學(xué)生感到無從下手時(shí),給以適當(dāng)?shù)奶崾荆成何艺J(rèn)為在定義中,有一個(gè)詞“給定區(qū)間”是定義中的【關(guān)鍵詞】:^p語.師:很好,我們?cè)趯W(xué)習(xí)任何一個(gè)概念的時(shí)候,都要擅長抓住定義中的【關(guān)鍵詞】:^p語,在學(xué)習(xí)幾個(gè)相近的概念時(shí)還要注意區(qū)別它們之間的不同.增函數(shù)和減函數(shù)都是對(duì)相應(yīng)的區(qū)間而言的,分開了相應(yīng)的區(qū)間就根本談不上函數(shù)的增減性.請(qǐng)大家考慮一個(gè)問題,我們能否說一個(gè)函數(shù)在x=5時(shí)是遞增或遞減的?為什么?生:不能.因?yàn)榇藭r(shí)函數(shù)值是一個(gè)數(shù).師:對(duì).函數(shù)在某一點(diǎn),由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)〔注意這四個(gè)字“唯一確定”〕,因此沒有增減的變化.那么,我們能不能脫離區(qū)間泛泛議論某一個(gè)函數(shù)是增函數(shù)或是減函數(shù)呢?你能否舉一個(gè)我們學(xué)過的例子?生:不能.比方二次函數(shù),在y軸左側(cè)它是減函數(shù),在y軸右側(cè)它是增函數(shù).因此我們不能說是增函數(shù)或是減函數(shù).〔在學(xué)生答復(fù)下列問題時(shí),老師板演函數(shù)的圖像,從“形”上感知.〕師:好.他〔她〕舉了一個(gè)例子來幫助我們理解定義中的詞語“給定區(qū)間”.這說明函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在某一個(gè)區(qū)間上的性質(zhì),但這不排擠有些函數(shù)在其定義域內(nèi)都是增函數(shù)或減函數(shù).因此,今后我們?cè)谧h論函數(shù)的增減性時(shí)必須指明相應(yīng)的區(qū)間.師:還有沒有其他的【關(guān)鍵詞】:^p語?生:還有定義中的“屬于這個(gè)區(qū)間的任意兩個(gè)”和“都有”也是【關(guān)鍵詞】:^p語.師:你答的很對(duì).能解釋一下為什么嗎?〔學(xué)生不一定能答全,老師應(yīng)給予必要的提示.〕師:“屬于”是什么意思?生:就是說兩個(gè)自變量,必須取自給定的區(qū)間,不能從其他區(qū)間上?。畮煟杭偃缡情]區(qū)間的話,能否取自區(qū)間端點(diǎn)?生:可以.師:那么“任意”和“都有”又如何理解?生:“任意”就是指不能取特定的值來判斷函數(shù)的增減性,而“都有”那么是說只要,就必須都小于,或都大于.師:能不能構(gòu)造一個(gè)反例來說明“任意”呢?〔讓學(xué)生考慮片刻.〕生:可以構(gòu)造一個(gè)反例.考察函數(shù),在區(qū)間[-2,2]上,假如取兩個(gè)特定的值,,顯然,而,,有,假設(shè)由此斷定是[-2,2]上的減函數(shù),那就錯(cuò)了.師:那么如何來說明“都有”呢?生:在[-2,2]上,當(dāng),時(shí),有;當(dāng),時(shí),有,這時(shí)就不能說,在[-2,2]上是增函數(shù)或減函數(shù).師:好極了!通過分析^p定義和舉反例,我們知道要判斷函數(shù)y=f〔x〕在某個(gè)區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)或減函數(shù),不能由特定的兩個(gè)點(diǎn)的情況來判斷,而必須嚴(yán)
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