河南省部分學(xué)校高三下學(xué)期5月考前最后一卷數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省部分學(xué)校高三下學(xué)期5月考前最后一卷數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知復(fù)數(shù)z滿足，則z＝（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】把復(fù)數(shù)z分離出來，然后運算即可.【詳解】由題意可得.故選：A.2．已知集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)集合的交集與補集運算即可【詳解】由題意可得，則，故.故選：B3．“五一”勞動節(jié)是紀(jì)念國際工人階級爭取解放的節(jié)日，也是贊美廣大勞動者的世界性節(jié)日.如圖所示的是某景區(qū)某年“五一”期間日接待游客人數(shù)的折線圖，則該景區(qū)該年“五一”期間日接待游客人數(shù)的中位數(shù)是（

）【答案】C【分析】先將數(shù)據(jù)從小到大排列，再求中位數(shù)即可.【詳解】將“五一”期間該景區(qū)日接待游客人數(shù)按從小到大的順序排列：0.6，0.8，1.1，1.5，2.1.故該景區(qū)“五一”期間日接待游客人數(shù)的中位數(shù)是1.1.故選：C.4．已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分別判斷出每個數(shù)的范圍，然后比較即可.【詳解】因為，，，所以.故選：D.5．曲線在處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【分析】求出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出切線斜率，即可求得切線方程；然后找到切線與坐標(biāo)軸的交點，即可求出該切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積【詳解】由題意可得，則所求切線的斜率，當(dāng)時，，故所求切線方程為，即.令，得，令，得，則所求切線與坐標(biāo)軸分別交于點，，故所求面積為.故選：C.6．圓是中華民族傳統(tǒng)文化的形態(tài)象征，象征著“圓滿”和“飽滿”，是自古以和為貴的中國人所崇尚的圖騰.如圖所示的是一個圓形，圓心為O，A，B是圓O上的兩點，若，則（

）A．4 B．8 C． D．16【答案】B【分析】由平面向量數(shù)量積的定義結(jié)合圓的性質(zhì)特征求解即可【詳解】由題意可得.故選：B7．已知橢圓的左頂點為A，直線與橢圓C交于M，N兩點，若坐標(biāo)原點O到直線AM的距離為，則b＝（

）A． B． C．8 D．12【答案】A【分析】過點O作，垂足為D，由題目可得，記直線與x軸的交點為P，且不妨設(shè)，求出即可得出，即可求出b的值.【詳解】過點O作，垂足為D，坐標(biāo)原點O到直線AM的距離為，則.記直線與x軸的交點為P，且不妨設(shè)，則，故.因為，所以，解得.故選：A.8．已知函數(shù)，若，則（

）A． B．2 C．5 D．7【答案】C【分析】設(shè)，再利用函數(shù)的奇偶性求解即可【詳解】設(shè)，則，故，即，所以.故，因為，所以.故選：C9．手工課可以提高學(xué)生的動手能力、反應(yīng)能力、創(chuàng)造力，使學(xué)生在德、智、體、美、勞各方面得到全面發(fā)展.某小學(xué)生在一次手工課上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一個直三棱柱和一個長方體的組合圖形.其直觀圖如圖所示，，，P，Q，M，N分別是棱AB，，，的中點，則異面直線PQ與MN所成角的余弦值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由異面直線所成角的定義與余弦定理求解【詳解】分別取棱，的中點G，H，連接AH，HQ，NH，MG，GH.易證四邊形APQH是平行四邊形，四邊形MNHG是平行四邊形，則，，故是異面直線PQ與MN所成的角或其補角.因為，，所以，，，則，故異面直線PQ與MN所成角的余弦值是.故選：B10．設(shè)數(shù)列的前n項和為，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)通項與的關(guān)系可得遞推公式，再構(gòu)造等比數(shù)列求的通項公式，進而代入求得得到即可【詳解】當(dāng)時，，解得.當(dāng)時，，所，即，所以，即，所以數(shù)列是首項為3，公比為2的等比數(shù)列，則，從而，故.故選：C11．已知雙曲線的左焦點是，直線與雙曲線C的左、右兩支分別交于A，B兩點，若，則雙曲線C的離心率是（

）A． B．3 C． D．6【答案】D【分析】依題意可得是線段的中點，設(shè)，根據(jù)雙曲線的定義得到，，再由余弦定理得到，即可得解.【詳解】解：因為，所以是線段的中點，設(shè)，雙曲線C的右焦點為，則，由雙曲線的定義可得，.由，解得，故雙曲線C的離心率.故選：D12．在三棱錐中，是邊長為的等邊三角形，，二面角是150°，則三棱錐外接球的表面積是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意畫出簡圖，通過作圖分析出幾何體外接球的球心位置，算出半徑，即可求出表面積.【詳解】如圖，作平面ABC，垂足為E，連接BE，記，連接PD.由題意可得D為AC的中點.在中，，D為AC的中點，因為，所以，則.因為二面角是150°，所以，所以，.因為是邊長為的等邊三角形，且D為AC的中點，所以.設(shè)為外接圓的圓心，則.設(shè)三棱錐外接球的球心為O，因為，所以O(shè)在平面ABC下方，連接，OB，OP，作，垂足為H，則，.設(shè)三棱錐外接球的半徑為，，即，解得，故三棱錐外接球的表面積是.故選：A.二、填空題13．在等差數(shù)列中，，則______.【答案】6【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可【詳解】由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，則.故答案為：614．展開式中項的系數(shù)是______.（用數(shù)字作答）【答案】【分析】由展開式的通項求出含的項，即可求解.【詳解】展開式的通項為，令，得，則.故答案為：.15．公元前6世紀(jì)，古希臘畢達哥拉斯學(xué)派已經(jīng)知道五種正多面體，即正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體.后來，柏拉圖學(xué)派的泰阿泰德證明出正多面體總共只有上述五種.如圖所示的就是正八面體圖形，從該正八面體的6個頂點中隨機抽取2個，則這2個頂點的連線是該正八面體的一條棱的概率是______.【答案】【分析】根據(jù)題意可知該正八面體的6個頂點中隨機抽取個的情況有種，由于該正八面體共有條棱，可知滿足題意的有種情況，再根據(jù)古典概型即可求出結(jié)果.【詳解】從該正八面體的6個頂點中隨機抽取個的情況有種，由于該正八面體共有條棱，則這個頂點的連線是該正八面體的一條棱的情況有種，故所求概率.故答案為：.16．已知函數(shù)，對任意的實數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，則整數(shù)的最小值是______.【答案】4【分析】根據(jù)同角基本關(guān)系和二倍角公式對函數(shù)進行化簡，可得，再根據(jù)題意可知函數(shù)的最小正周期，根據(jù)周期公式即可求出的范圍，進而求出結(jié)果.【詳解】由題意可得，則的最小正周期.因為對任意的實數(shù)a，在上既能取得最大值，也能取得最小值，所以，解得.因為，所以整數(shù)的最小值是4.故答案為：.三、解答題17．在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知.(1)求角B的大??；(2)若點D在BC上，，，，求的面積.【答案】(1)(2)【分析】（1）由正弦定理邊角互換可得：，由，化簡可求得，可求出；（2）在中，由正弦定理可得求出邊長，在中，由正弦定理可得，再利用可得，由面積公式即可求出結(jié)果.【詳解】(1)因為，所以，所以.因為，所以，所以，即.因為，所以.(2)因為，所以.在中，由正弦定理可得，則.在中，由正弦定理可得，則.因為，所以，所以.因為，所以，則的面積為.18．舉辦親子活動，不僅能促進家庭和幼兒園的合作，還能增進親子之間的感情，對促進幼兒園教育也具有重要作用.某幼兒園舉辦了一場親子活動，活動中，從某班8組家庭中（每組家庭由1名家長和1名小朋友組成）隨機抽取4名家長和4名小朋友參與活動，若抽取的家長和小朋友來自同一個家庭，則稱為1組家庭.(1)求抽取的8人中恰有2組家庭的概率；(2)記抽取到的家庭組數(shù)為X，求X的分布列和期望.【答案】(1)(2)分布列見解析，2【分析】（1）總的抽法為，恰有2組家庭的抽法為（8個家庭抽2個家庭，剩余6個家長抽2個家長，剩余4個小朋友抽2個小朋友），即可求出概率；（2）X的可能取值是0，1，2，3，4，寫出對應(yīng)的概率，可得分布列，再依據(jù)定義求期望即可【詳解】(1)從這8組家庭中隨機抽取4名家長和4名小朋友的不同抽法有種，其中恰有2組家庭的抽法有種，故所求概率.(2)由題意可知X的所有可能取值是0，1，2，3，4.由（1）知.，，，.X的分布列為：X01234P故.19．如圖，在四棱柱中，四邊形ABCD是正方形，E，F(xiàn)，G分別是棱，，的中點.(1)證明：平面平面；(2)若點在底面ABCD的投影是四邊形ABCD的中心，，求直線AG與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】小問1：利用線面平行與面面平行的判定定理即可證明；小問2：通過建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量即可求出線面角.【詳解】(1)證明：連接EG，.因為E，G分別是棱，的中點，所以，.因為，，所以，，所以四邊形是平行四邊形，則.因為平面，平面，所以平面.因為E，F(xiàn)分別是棱，的中點，所以.因為，所以.因為平面，平面，所以平面.因為平面，平面，且，所以平面平面.(2)連接AC，BD，記，連接，則平面ABCD.因為四邊形ABCD是正方形，所以，所以AC，BD，兩兩垂直，故以O(shè)為原點，分別以，，的方向為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，則，，，.故，，.設(shè)平面的法向量為，則，令，得.設(shè)直線AG與平面所成的角為，.20．已知拋物線的焦點為F，點在拋物線C上，且.(1)求拋物線C的方程；(2)過點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點，分別過點A，B作拋物線C的切線，記兩切線的交點為P，求面積的最小值.【答案】(1)(2)4【分析】（1）根據(jù)拋物線的焦半徑公式求解即可；（2）設(shè)直線，，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，得出韋達定理，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解兩切線，進而求得，再得出的面積關(guān)于的表達，進而分析最小值即可【詳解】(1)因為點在拋物線C上，所以.由拋物線的定義可得，則，從而，解得.故拋物線C的方程為.(2)由（1）可知.由題意可得直線l的斜率存在，設(shè)直線，，，聯(lián)立，整理得，則，，從而，故.因為，所以，則直線AP的方程為，即.同理可得直線BP的方程為.聯(lián)立，解得，即.點P到直線l的距離，則的面積.因為，所以，所以，即面積的最小值是4，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號21．已知函數(shù).(1)求的最小值；(2)證明：.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）用導(dǎo)數(shù)法直接求解即可；（2）要證，即證，即證.構(gòu)造函數(shù)與，這問題可轉(zhuǎn)化為，利用導(dǎo)數(shù)法即可求解【詳解】(1)由題意可得.由，得；由，得.在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故.(2)證明：要證，即證，即證.設(shè)，則，由，得，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.設(shè)，則.由（1）可知當(dāng)時，.由，得，由，得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.因為與等號成立的條件不同，所以，即.【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，考查了轉(zhuǎn)化的思想22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程是.(1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)若P是曲線C上的動點，求點P到直線l距離的最大值，并求此時點P的坐標(biāo).【答案】(1)，(2)，【分析】（1）結(jié)合消元即可得出曲線C的普通方程；由即可得出直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)點，結(jié)合點線距離公式，討論最大值即可【詳解】(1)由（為參數(shù)），得，故曲線C的普通方程為.由，得，故直線l的直角坐標(biāo)方程為.(2)設(shè)點，則點P到