2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷真題及答案_第1頁
2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷真題及答案_第2頁
2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷真題及答案_第3頁
2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試卷真題及答案_第4頁
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年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題復(fù)數(shù)滿足，求證：當(dāng)且僅當(dāng)．2.設(shè)為中的五個非零向量．求證：存在非零向量，使得存在，滿足與的夾角均不超過．3.甲、乙兩盒中各放2只兔子，一雌一雄．稱一次操作是從甲、乙盒中各隨機抽一支兔子交換，記次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率為．求及．4.(1)，證明．

(2)，．證明：對任意正整數(shù)，都有．5.將正整數(shù)去除完全平方數(shù)后由小到大排成一排，記作．比如求證：對任意正整數(shù)，都有．2023年中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)創(chuàng)新班初試數(shù)學(xué)試題答案1.復(fù)數(shù)滿足，求證：當(dāng)且僅當(dāng)證明：由題意知：，兩邊取模得：．于是即．于是2.設(shè)為中的五個非零向量．求證：存在非零向量，使得存在，滿足與的夾角均不超過．證明：從點做，以得到平面（若共線，則過該線任做一個平面）過做垂直于的直線在兩側(cè)各取一個點，這個由平面將空及分為2個部分，中必存在2個點為同一側(cè)（平面上的點既屬于所在側(cè)也屬于所在側(cè)），不妨假設(shè)在一側(cè)，則取，，即存在．3.甲、乙兩盒中各放2只兔子，一雌一雄．稱一次操作是從甲、乙盒中各隨機抽一支兔子交換，記次操作后甲、乙盒中仍各有一雌一雄的概率為．求及．解答：若交換前籠子里均為一雄一雌，則一共有種交換情況，其中兩種交換后仍均為一雄一雌（雄換雄或雌換雌），另兩種交換后籠子里為兩雄和兩雌．而兩雄和兩雌的情況交換后必然回到均為一雄一雌．于是有遞推關(guān)系：于是，可得于是．4.(1)，證明．

(2)，．證明：對任意正整數(shù)，都有．證明：(1)求導(dǎo)易證，實際上為一階和三階的泰勒展開，是第二問的提示．(2)由題意知：于是，歸納易知遞減，因此累加得：解得：，證畢．5.將正整數(shù)去除完全平方數(shù)后由小到大排成一排，記作．比如求證：對任意正整數(shù)，都有．證明：滿足的共有個，此時有即

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