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第7講：橢圓的第三定義1.基礎(chǔ)知識：如圖，橢圓上任意一點與過原點為中心的弦的兩端點、連線、與坐標(biāo)軸不平行，則直線、的斜率之積為定值．證明設(shè)，，則．所以①②由①－②得，所以，所以為定值．這條性質(zhì)是圓的性質(zhì)：圓上一點對直徑所張成的角為直角在橢圓中的推廣，它充分揭示了橢圓的本質(zhì)屬性.：(2019年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)全國Ⅱ卷理科)已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為．記的軌跡為曲線．求的方程，并說明是什么曲線；過坐標(biāo)原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結(jié)并延長交于點．證明：是直角三角形；求面積的最大值．【詳解】（1）直線的斜率為，直線的斜率為，由題意可知：，所以曲線C是以坐標(biāo)原點為中心，焦點在軸上，不包括左右兩頂點的橢圓，其方程為；（2）（i）設(shè)直線的方程為,由題意可知,直線的方程與橢圓方程聯(lián)立,即或,點P在第一象限，所以，因此點的坐標(biāo)為直線的斜率為，可得直線方程：，與橢圓方程聯(lián)立，，消去得，（*），設(shè)點，顯然點的橫坐標(biāo)和是方程（*）的解所以有，代入直線方程中，得，所以點的坐標(biāo)為，直線的斜率為;,因為所以，因此是直角三角形；（ii）由（i）可知：，的坐標(biāo)為，，,,因為，所以當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)
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