第04講數(shù)列的存在性與構(gòu)造

第04講數(shù)列的存在性與構(gòu)造【典例例題】例1．（2022·北京·高一統(tǒng)考競賽）設(shè)遞推數(shù)列滿足：，如果對(duì)任意的首項(xiàng)且，數(shù)列中一定存在某項(xiàng)，則不超過的最大整數(shù)是____________．【答案】21【詳解】考慮二次函數(shù)，它的不動(dòng)點(diǎn)為與，考慮它的二階不動(dòng)點(diǎn)：，可解得：，以及，這樣．可以構(gòu)造例子為周期2的數(shù)列：，這個(gè)例子說明可行的．另一方面，我們可以證明數(shù)列中一定有某項(xiàng)，我們用反證法，假設(shè)．如果數(shù)列中有數(shù)，則．因此我們假設(shè)，這樣就有或，即．綜合來看，我們有對(duì)成立．另一方面，．因此我們有，即對(duì)任意正整數(shù)k成立，這樣可得，矛盾．因此對(duì)首項(xiàng)且數(shù)列中一定某項(xiàng)．即滿足題意的最大的實(shí)數(shù)．故答案為：21.例2．（2022秋·上海徐匯·高三位育中學(xué)校考期中）設(shè)?為常數(shù)，若存在大于1的整數(shù)，使得無窮數(shù)列滿足，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.(1)設(shè)，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“（3）數(shù)列”，求；(2)若首項(xiàng)為1的等比數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并指出相應(yīng)的的值；(3)設(shè)，若首項(xiàng)為1的數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】(1)3；(2)①，此時(shí)，q＝1，k≥2，k∈；②，此時(shí)d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈；(3).【分析】（1），k＝3，寫出此時(shí)的式子，根據(jù)規(guī)律求出即可求出；（2）根據(jù)題設(shè)條件，求出數(shù)列前三項(xiàng)，根據(jù)數(shù)列是等比數(shù)列即可求出通項(xiàng)公式；（3）根據(jù)題設(shè)條件，分析數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律，從而求出其前10n項(xiàng)的和.【詳解】（1）由題知，，∵，∴，∴；（2）①若，則，由，得≠0，∴d≠－1；由，得.聯(lián)立兩式，得或，則或，經(jīng)檢驗(yàn)k≥3時(shí)也均合題意.②若，則，由，得，得，則，q＝1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意.綜上①②，滿足條件的{}的通項(xiàng)公式為：①，此時(shí)，q＝1，k≥2，k∈；②，此時(shí)d＝－2，q＝－1，k≥2，k∈.（3）由題可知，,數(shù)列項(xiàng)的規(guī)律為，，從而求出其前10n項(xiàng)的和,,即，.例3．（2021·全國·高三競賽）求所有無窮正整數(shù)列滿足下列條件：（1）；（2）不存在正整數(shù)（可以相同i、j、k）使．（3）有無窮多個(gè)正整數(shù)k，使．【答案】答案見解析【詳解】所求的正整數(shù)列只有．一方面，不難驗(yàn)證此數(shù)列滿足條件．另一方面，我們證明所求的數(shù)列只能是此數(shù)列．設(shè)．我們證明：，設(shè)．由數(shù)列單調(diào)遞增，知均在中．又由條件（2），知．將集合劃分為個(gè)二元組．由抽屜原理，中必有兩數(shù)在同一個(gè)二元組內(nèi)，這與條件（2）矛盾．所以．進(jìn)而，對(duì)非負(fù)整數(shù)m，有．

①于是，對(duì)任意正整數(shù)r滿足，均有，由條件（3），知存在無窮多組使得等號(hào)成立，任取其中一組．等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，三式同時(shí)成立．又因?yàn)?，所以．而因?yàn)?，所以，結(jié)合條件（1），知．由①取等知．若，則，所以，與條件（2）矛盾．所以．由①，，由條件（2）及知數(shù)列的項(xiàng)兩兩不相鄰．又由條件（3）及數(shù)列單調(diào)遞增，知所求的正整數(shù)列只有（否則，若使得，則不存在，矛盾?。?．（2021·全國·高三競賽）若數(shù)列，求證：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得，并確定是否存在無窮多個(gè)正整數(shù)n使得？（這里表示不超過x的最大整數(shù)）【答案】證明見解析，存在無窮多個(gè)n，使.【詳解】用表示正整數(shù)i的正因數(shù)個(gè)數(shù)，則.所以若取，則，所以.而.所以，于是，故存在無窮多個(gè)n使.若取（p為質(zhì)數(shù)，），則，.當(dāng)時(shí)，.所以.所以，于是.故存在無窮多個(gè)n，使.例5．（2021·浙江金華·高三浙江金華第一中學(xué)?？几傎悾?shù)列定義為，．證明，存在正整數(shù)，使得．【答案】證明見解析【詳解】由題意．對(duì)，我們有：；．兩式相減，得：，即．對(duì)有．取，則，從而滿足要求．例6．（2021·全國·高三競賽）求具有下述性質(zhì)的最大整數(shù)m：對(duì)全體正整數(shù)的任意一個(gè)排列，總存在正整數(shù)，使得：構(gòu)成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列．（可以認(rèn)為：兩項(xiàng)也是等差的）【答案】3【詳解】首先定義一個(gè)優(yōu)越數(shù)：，如果，均有：．可以證明：對(duì)于任意的正整數(shù)的排列，優(yōu)越數(shù)是有無窮多個(gè)的．事實(shí)上，我們使用數(shù)學(xué)歸納法便可以得證：（1）當(dāng)然我們可以認(rèn)為是優(yōu)越數(shù)，再往后走，當(dāng)然是有第一個(gè)比大的數(shù)，它就是第二個(gè)優(yōu)越數(shù)；（2）假設(shè)有第k個(gè)優(yōu)越數(shù)，則往數(shù)列，，，…的后面看，仍舊會(huì)出現(xiàn)第一個(gè)比，大的數(shù)（不可能后的數(shù)均比小，與正整數(shù)的無窮性矛盾?。┻@樣就有第個(gè)優(yōu)越數(shù)，這樣就完成了歸納證明．再者，我們能夠證明：因?yàn)閮?yōu)越數(shù)是有無窮多個(gè)的，則我們可以找到一個(gè)，使得中有奇數(shù)也有偶數(shù)，這樣，我們就可以在其中尋找一個(gè)與奇偶性不同的數(shù)，我們考慮：，知此數(shù)在之后，故這樣的，能保證是成公差為奇數(shù)的等差數(shù)列．故．最后，我們說．因?yàn)?，如果將正整?shù)排列為：則若其存在項(xiàng)數(shù)大于等于4的奇數(shù)公差的等差數(shù)列，則必存在連續(xù)三項(xiàng)是偶數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)的，不妨記為，則根據(jù)上述排列的特點(diǎn)，是奇數(shù)的項(xiàng)的后面接的偶數(shù)至少是其2倍，則，這與a、b、c成等差數(shù)列矛盾！故，只能m的最大值為3．例7．（2021·全國·高三競賽）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列．滿足．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且．對(duì)于任意，在和之間插入個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列．記，是否存在正整數(shù)，使成立?若存在，求出所有的正整數(shù)對(duì)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】存在，及．【詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，則有條件，可得，所以．又由可得．將代入上式得，所以．因?yàn)樗?，所以．由?/p>

①當(dāng)時(shí)，．

②得，所以．又，所以．故是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故，在和之間插入個(gè)數(shù)．因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，設(shè)公差為，則：，則．所以，所以．

③則．

④得，所以．若，因?yàn)?，所以，則：，從而，故．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，﹔當(dāng)時(shí)，．下設(shè)時(shí)，有，即證．設(shè)，則．所以在上單調(diào)遞增．故時(shí)，，即．從而時(shí)，不是整數(shù)，故所求的所有整數(shù)對(duì)為及．例8．（2021·全國·高三競賽）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)使得對(duì)任意正整數(shù)成立，則稱是有界數(shù)列．已知數(shù)列滿足遞推式，求證：（1）若，則不是有界數(shù)列．（2）若，則是有界數(shù)列．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【詳解】（1）歸納證明．當(dāng)時(shí)命題成立．假設(shè)當(dāng)時(shí)命題成立，則當(dāng)時(shí)，．因此命題成立，不是有界數(shù)列．（2）顯然．注意到．因此時(shí)，．而．因此，即是有界數(shù)列．例9．（2021·全國·高三競賽）已知數(shù)列滿足．（1）求證：．（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得，若存在求出的值；若不存在．請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）存在實(shí)數(shù)滿足題意，．【詳解】（1）運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法易證，所以，故，此.（2），所以，故，.若存在實(shí)數(shù)，滿足，則有，故.下證成立．由，假設(shè)，則：，，故．綜上所述，命題成立．例10．（2021·全國·高三競賽）設(shè)多項(xiàng)式的系數(shù)為正整數(shù)．定義數(shù)列：．證明：對(duì)于任意的整數(shù)，均存在質(zhì)數(shù)p，使得，且．【答案】證明見解析【詳解】假設(shè)存在整數(shù)，使得的任意一個(gè)質(zhì)因子均為某個(gè)的因子（對(duì)于的不同的質(zhì)因子，i的取值可以不同）．令p為的一個(gè)質(zhì)因子，且，其中．則假設(shè)成立，則．所以由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)任意的正整數(shù)，均有．進(jìn)而有，所以．定義表示正整數(shù)m的標(biāo)準(zhǔn)分解中所含的的冪次數(shù)，由，得．令對(duì)某個(gè)成立，同上可證．于是．從而，若p為的一個(gè)質(zhì)因子，則它在的中的次數(shù)等于在某個(gè)中的次數(shù)．所以，進(jìn)而．由，得，所以，矛盾，故原命題成立．【過關(guān)測(cè)試】一、單選題1．（2019春·上海奉賢·高三上海市奉賢中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知等差數(shù)列的公差為2，記前項(xiàng)和為則A． B． C． D．不存在【答案】A【解析】由得，則，則故選A二、多選題2．（2021秋·重慶沙坪壩·高三重慶南開中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，則下列說法正確的是（

）A．存在，使得 B．是等比數(shù)列C．的個(gè)位數(shù)是5 D．的個(gè)位數(shù)是1【答案】BD【解析】，.由題可得為正整數(shù)，故，所以數(shù)列為遞增數(shù)列，故當(dāng)時(shí)，．又當(dāng)時(shí)，即，故即.又，結(jié)合、均為正整數(shù)可得，其中，而，故，其中.故，又，故，故，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，3為公比的等比數(shù)列，因此，，因此A錯(cuò)誤，B正確．又，因?yàn)闉?0的倍數(shù)，故的個(gè)位數(shù)為，因此C錯(cuò)誤．設(shè)，則，故的個(gè)位數(shù)為，因此D正確.故選：BD．三、填空題3．（2020秋·江蘇宿遷·高三沭陽如東中學(xué)校考階段練習(xí)）已知兩個(gè)無窮數(shù)列，分別滿足，，其中，設(shè)數(shù)列，的前n項(xiàng)和分別為，．若數(shù)列滿足：存在唯一的正整數(shù)，使得，稱數(shù)列為“k墜點(diǎn)數(shù)列”．若數(shù)列為“p墜點(diǎn)數(shù)列”，數(shù)列為“q墜點(diǎn)數(shù)列”，若，則m的最大值為________．【答案】6【解析】∵，即bn+1＝±2bn，∴，而數(shù)列{bn}為“墜點(diǎn)數(shù)列”且，所以數(shù)列{bn}中有且只有兩個(gè)負(fù)項(xiàng)．假設(shè)存在正整數(shù)m，使得Sm+1＝Tm，顯然m≠1，且Tm為奇數(shù)，而{an}中各項(xiàng)均為奇數(shù)，∴m必為偶數(shù)，

首先證明：．若m＞7，數(shù)列{an}中（Sm+1）max＝1+3+…+（2m+1）＝，而數(shù)列{bn}中，bm必然為正，否則，顯然矛盾；∴設(shè)設(shè)而∴{dm}（m＞7）為增數(shù)列，且d7＞0，則（m＞7）為增數(shù)列，而＞0，∴（Tm）min＞（Sm）max，即m≤6．

當(dāng)m＝6時(shí)，構(gòu)造：{an}為1，3，1，3，5，7，9，…，{bn}為﹣1，2，4，8，﹣16，32，64，…此時(shí)p＝2，q＝4．∴mmax＝6，對(duì)應(yīng)的p＝2，q＝4．故答案為：64．（2019·全國·高三競賽）給定正整數(shù).則使得存在正整數(shù)滿足的所有正整數(shù)是__________.【答案】【解析】【詳解】首先有.取，，，.則.取，，，，，.則故.故答案為四、解答題5．（2021·全國·高三競賽）設(shè)函數(shù)滿足對(duì)于每個(gè)，均存在一個(gè)，使得，其中，是f復(fù)合m次．設(shè)是滿足上述條件的k中的最小值，證明：數(shù)列無界．【答案】證明見解析.【解析】【分析】設(shè)，對(duì)于每個(gè)正整數(shù)，存在正整數(shù)k，使得．因此，集合S是無界的，且函數(shù)f將S映射到S．此外，函數(shù)f在集合S上是單射．事實(shí)上，若，則（1）從某個(gè)值開始周期性地進(jìn)行重復(fù)．于是，集合S是有界的，矛盾．定義為．首先證明：g也是單射．假設(shè)，則，于是，．因?yàn)楹瘮?shù)f在集合S上是單射，所以．又，與的最小性矛盾．設(shè)T是集合S中非形如的元素構(gòu)成的集合．由于對(duì)每個(gè)，均有，則．于是，T是非空集合．對(duì)每個(gè)，記，且稱為從t開始的“鏈”．因?yàn)間是單射，所以，不同的鏈不交．對(duì)每個(gè)，均有，其中，，．重復(fù)上述過程，知存在，使得，從而，集合S是鏈的并．若是從開始的鏈中的元素，則，其中，．故．

①其次證明：集合T是無限的．假設(shè)集合T中只有有限個(gè)元素則只有有限個(gè)鏈．固定N．若是鏈中的元素，則由式①知：．由于個(gè)不同的正整數(shù)1，均不超過，則．當(dāng)N足夠大時(shí)，這是不可能的.因此，集合，T是無限的．選取任意正整數(shù)k，考慮從集合T中前個(gè)數(shù)開始的個(gè)鏈．設(shè)t是這個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)．則每個(gè)鏈中均包含一個(gè)元素不超過t，且至少有一個(gè)鏈中不含中的任何一個(gè)數(shù)．于是，在這個(gè)鏈中存在一個(gè)元素n，使得，即．從而，數(shù)列，無界．6．（2021·全國·高三競賽）求最大的，使對(duì)于給定n，任意一個(gè)實(shí)數(shù)列，總存在一個(gè)子列滿足：（a）中有1項(xiàng)或2項(xiàng)屬于T；（b）．【答案】【解析】【分析】取數(shù)列，考查其中項(xiàng)，其中至多有4項(xiàng)屬于T，至少有2項(xiàng)屬于T．若其中有4項(xiàng)屬于T，則必然為2個(gè)1和2個(gè)；若其中有3項(xiàng)屬于T，則3項(xiàng)和為1或；若其中有2項(xiàng)屬于T，則2項(xiàng)和為0．取，m是正整數(shù)，則．不妨設(shè)，下面證明：．規(guī)定：若X為一個(gè)數(shù)列，則表示所有非負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的子列，表示所有負(fù)項(xiàng)構(gòu)成的子列．考慮下面?zhèn)€數(shù)陣，其中，，…，，我們得到上面的個(gè)數(shù)列的和為：，，…，，對(duì)其求和，總和為，由抽屜原理可知，存在一個(gè)子列，所有數(shù)和的絕對(duì)值．7．（2021·全國·高三競賽）對(duì)于正整數(shù)，如果嚴(yán)格遞增的非負(fù)整數(shù)數(shù)列，使得所有非負(fù)整數(shù)可以唯一地表示為，其中i?j?k可以相同，則稱數(shù)列，為好的.（1）證明：對(duì)任意正整數(shù)n，存在唯一的好的數(shù)列.（2）已知存在最小的正奇數(shù)m，使得在好的數(shù)列中有，求的值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明：唯一性.假設(shè)有兩個(gè)不同的好的數(shù)列，取滿足的最小的r，不妨設(shè)，顯然，，則.從而，在好的數(shù)列中，可唯一表示為，在好的數(shù)列中，可唯一表示為.則i，j，，故，所以，與關(guān)于的唯一表示矛盾.故假設(shè)不成立，即好的數(shù)列至多有一個(gè).存在性：下面構(gòu)造滿足條件的，對(duì)任意非負(fù)整數(shù)m，設(shè).其中為m的n進(jìn)制表示中第位數(shù)碼.定義，顯然，嚴(yán)格遞增，且:.每個(gè)m的表示唯一.（2）由（1）.又，從而n的素因子只能為2?3?5?7?19.由知.若，則，矛盾.故.若，則.如果，則，矛盾.如果，則，矛盾.如果，則，矛盾.如果，則，矛盾.故.若，則.對(duì)應(yīng)，12，15，30，A分別有因數(shù)8?11?14?29，矛盾?如果，則.由，知，則，矛盾.故.若，則，矛盾.故，即.對(duì)應(yīng)?10，A分別有因數(shù)24?11，矛盾.若，則，故，矛盾.故，則，故，矛盾.若，則，則.由m為滿足要求的最小正奇數(shù)，知.從而.8．（2021春·北京·高二北京四中校考期中）已知有窮數(shù)列，，，，滿足，且當(dāng)時(shí)，，令．（1）寫出所有可能的值；（2）求證：一定為奇數(shù)；（3）是否存在數(shù)列，使得？若存在，求出數(shù)列；若不存在，說明理由．．【解析】（1）由題意，滿足條件的數(shù)列的所有可能情況有：0，1，2，1，0，此時(shí)；0，1，0，1，0，此時(shí)；0，1，0，，0，此時(shí)；0，，，，0，此時(shí)；0，，0，1，0，此時(shí)；0，，0，，0，此時(shí)．綜上所述，的所有可能取值為4，2，0，，；（2）證明：由，可設(shè)，則或，所以，因?yàn)椋?，設(shè)中有個(gè)1，個(gè)，則，故為奇數(shù)；（3）為奇數(shù)，，，，，是由個(gè)1和個(gè)構(gòu)成的數(shù)列，，則當(dāng)，，，，的前項(xiàng)取1，后項(xiàng)取時(shí)，最大，此時(shí)，不符合題意；如果，，，，的前項(xiàng)中恰有項(xiàng)，，，取，后項(xiàng)中恰有項(xiàng)，，，取1，則，若，則，因?yàn)槭瞧鏀?shù)，所以是奇數(shù)，而是偶數(shù)，因此不存在數(shù)列，使得．9．（2022·全國·高三專題練習(xí)）若正整數(shù)的二進(jìn)制表示是，這里()，稱有窮數(shù)列1，，，，為的生成數(shù)列，設(shè)是一個(gè)給定的實(shí)數(shù)，稱為的生成數(shù).（1）求的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)；（2）求由的生成數(shù)列，，，的前項(xiàng)的和(用?表示)；（3）若實(shí)數(shù)滿足，證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)滿足.【解析】因?yàn)?，所以且，，故確定即可確定的生成數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，令，解得，因?yàn)?，所以，所以的生成?shù)列的項(xiàng)數(shù)為；（2）法一：(數(shù)學(xué)歸納法)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，猜想：，接下來用數(shù)學(xué)歸納法證明，當(dāng)時(shí)，已證，假設(shè)結(jié)論對(duì)成立，則對(duì)有，故結(jié)論對(duì)也成立，所以；（3）對(duì)，設(shè)二進(jìn)制表示下，我們證明不存在，使得，事實(shí)上，對(duì)這樣的，有，如果存在，使得，設(shè)的二進(jìn)制表示為，則，①若，則，這時(shí)，如果，那么(因?yàn)?，所?，矛盾，如果，那么或，也矛盾，②設(shè)時(shí)可以推出矛盾，考慮的情形，若，則，矛盾，若，則，矛盾，上述推導(dǎo)中都用到了，所以，這時(shí)，記，進(jìn)而，有，于是，由得，與歸納假設(shè)不符.綜上所述，存在無窮多個(gè)正整數(shù)，使得不存在正整數(shù)，滿足.10．（2019·福建·高三校聯(lián)考競賽）已知實(shí)數(shù)滿足，且.證明：存在整數(shù)，使得.【答案】證明見解析【解析】【分析】記.構(gòu)造下列51個(gè)數(shù)：，，.下面證明中至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi).由上述符號(hào)的含義，知，且.所以.（1）若，則由，得.因此.（2）若，假設(shè)都不在區(qū)間內(nèi)，則由，知.結(jié)合假設(shè)，得.又由，知.所以中存在比小的數(shù)，也存在比大的數(shù).又，且都不在區(qū)間內(nèi).因此，存在j∈{1，2，……，50}，使得.此時(shí)，.另一方面，，兩者矛盾.所以中至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi).由（1）?（2）知，中至少有一個(gè)在區(qū)間內(nèi).由的定義知，結(jié)論成立解法二：首先用數(shù)學(xué)歸納法證明對(duì)于任意正整數(shù)n，若實(shí)數(shù)滿足，則存在的一個(gè)排列，使得.證明如下：（1）當(dāng)n=1時(shí)，結(jié)論顯然成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，則當(dāng)n=k+1時(shí)，由歸納假設(shè)知，存在的一個(gè)排列，使得.記，，則.從而當(dāng)時(shí)：；當(dāng)時(shí)：.即當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立.由（1）?（2）知，對(duì)于任意正整數(shù)n，結(jié)論都成立.回到本題，利用上述結(jié)論容易知道存在的一個(gè)排列滿足，，且.又，所以或.因此結(jié)論成立.11．（2019·重慶·高三校聯(lián)考競賽）數(shù)列{an}滿足.（1）證明：數(shù)列{an}是正整數(shù)數(shù)列；（2）是否存在m∈Z+，使得2109|am，并說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）不存在；詳見解析【解析】【分析】（1）由已知得a3=15，，所以.相減得.所以為常數(shù)數(shù)列.所以.所以，又因?yàn)椋?又因?yàn)閍n>0，所以.（2）因?yàn)?109=3×19×37，假設(shè)有，則.解法一：由，得.所以，所以.解法二：因?yàn)?，所以，由費(fèi)馬小定理得1≡－1(mod19)，矛盾.所以不存在，使得，得證.12．（2022春·北京·高三北京市第一六一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，設(shè)A是由個(gè)實(shí)數(shù)組成的n行n列的數(shù)表，其中aij(i，j=1，2，3，…，n)表示位于第i行第j列的實(shí)數(shù)，且aij{1，-1}.記S(n，n)為所有這樣的數(shù)表構(gòu)成的集合．對(duì)于，記ri(A)為A的第i行各數(shù)之積，cj(A)為A的第j列各數(shù)之積．令a11a12…a1na21a22a2n…………an1an2…ann（Ⅰ）請(qǐng)寫出一個(gè)AS(4，4)，使得l(A)=0；（Ⅱ）是否存在AS(9，9)，使得l(A)=0？說明理由；（Ⅲ）給定正整數(shù)n，對(duì)于所有的AS(n，n)，求l(A)的取值集合．【解析】（Ⅰ）答案不唯一，如圖所示數(shù)表符合要求.（Ⅱ）不存在AS(9，9)，使得l(A)=0，證明如下:假如存在，使得.因?yàn)?，，所以，?..，，，，...，這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1，9個(gè)-1.令.一方面，由于這18個(gè)數(shù)中有9個(gè)1，9個(gè)-1，從而①，另一方面，表示數(shù)表中所有元素之積（記這81個(gè)實(shí)數(shù)之積為m）；也表示m，從而②，①，②相矛盾，從而不存在，使得.（Ⅲ）記這個(gè)實(shí)數(shù)之積為p.一方面，從“行”的角度看，有；另一方面，從“列”的角度看，有；從而有③，注意到，，下面考慮，，...，，，，...，中-1的個(gè)數(shù)，由③知，上述2n個(gè)實(shí)數(shù)中，-1的個(gè)數(shù)一定為偶數(shù)，該偶數(shù)記為，則1的個(gè)數(shù)為2n-2k，所以，對(duì)數(shù)表，顯然.將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，顯然，將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，顯然，依此類推，將數(shù)表中的由1變?yōu)?1，得到數(shù)表，即數(shù)表滿足：，其余，所以，，所以，由k的任意性知，l（A）的取值集合為.13．（2020秋·北京·高三北京市十一學(xué)校校考階段練習(xí)）設(shè)正整數(shù)數(shù)列滿足.(1)若，請(qǐng)寫出所有可能的的取值；(2)求證：中一定有一項(xiàng)的值為1或3；(3)若正整數(shù)m滿足當(dāng)時(shí)，中存在一項(xiàng)值為1，則稱m為“歸一數(shù)”，是否存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”？若存在，請(qǐng)求出m的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【解析】（1）由題知：數(shù)列各項(xiàng)均為正整數(shù)，或，解得：或（舍去）.或，解得：或（舍去）.或，解得：或.當(dāng)時(shí)，或，解得：或.當(dāng)時(shí)，或，解得：或（舍去）.故可能取得值為：，，.（2）因?yàn)闉檎麛?shù)數(shù)列，設(shè)中最小的奇數(shù)為，所以為偶數(shù).所以，此時(shí)可能為奇數(shù)或偶數(shù).當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，則，解得：.所以或.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，則，解得：.所以或.綜上所述：中一定有一項(xiàng)的值為或.（3）由（2）知：中一定有，由題知：因?yàn)椋曰?設(shè)，則，，…….均為的倍數(shù).故不存在正整數(shù)m，使得m與都不是“歸一數(shù)”.14．（2017秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？计谥校┮阎獢?shù)列：，，，（），與數(shù)列：，，，，（），記.（1）若，求的值；（2）求的表達(dá)式；（3）已知，且存在正整數(shù)，使得在中有4項(xiàng)為100，求的值，并指出哪4項(xiàng)為100.【解析】(1)易得,,,,,…故,解得.(2)由得.猜測(cè),用數(shù)學(xué)歸納法證明,①當(dāng)時(shí),成立.②假設(shè)當(dāng),時(shí)等式成立,即,則當(dāng)時(shí),也成立.根據(jù)①,②可以判定：當(dāng)時(shí),(3)根據(jù)(2)有.當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),；因?yàn)槭瞧鏀?shù),,,均為負(fù)數(shù).故這些數(shù)均不可能取到100,故當(dāng)或,即,時(shí),,,為100.15．（2018·湖北武漢·高三強(qiáng)基計(jì)劃）對(duì)于數(shù)列，若存在常數(shù)M>0，對(duì)任意的n∈N*，恒有，則稱數(shù)列為B-數(shù)列.(1)首項(xiàng)為1，公比q()的等比數(shù)列是否為B-數(shù)列？請(qǐng)說明理由；(2)設(shè)Sn是數(shù)列{xn}的前n項(xiàng)和，給出下列兩組論斷：A組：①數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，②數(shù)列{xn}不是B-數(shù)列B組：①數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，②數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列請(qǐng)以其中一組的一個(gè)論斷為條件，另一組的一個(gè)論斷為結(jié)論組成一個(gè)命題.判斷所給命題的真假，并證明你的結(jié)論.(3)若數(shù)列{an}、都是B-數(shù)列，證明：數(shù)列{anbn}也是B-數(shù)列【答案】（1）是B-數(shù)列（2）命題1為假命題.命題2為真命題.（3）見解析【解析】【分析】(1)設(shè)滿足條件的等比數(shù)列為{an}，則.于是因此，因?yàn)閨q|<1，所以即故首項(xiàng)為1，公比q(|q|<1)的等比數(shù)列是B-數(shù)列.(2)命題1：若數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{Sn}也是B-數(shù)列此命題為假命題.事實(shí)上，設(shè)x=1，n∈N*，易知數(shù)列{xn}是B-數(shù)列，但Sn=n，此時(shí).由n的任意性，知數(shù)列{Sn}不是B-數(shù)列命題2：若數(shù)列{Sn}是B-數(shù)列，則數(shù)列{xn}也是B-數(shù)列此命題為真命題.事實(shí)上，因?yàn)閿?shù)列{Sn}是B-數(shù)列，所以存正數(shù)M，對(duì)任意n∈N*有即.于是所以數(shù)列{xn}是B-數(shù)列按題中要求組成其它命題時(shí)，仿上述解法即可獲得解決.(3)若數(shù)列{an}、{bn}都是B-數(shù)列，則存在正數(shù)M1，M2，使得對(duì)任意n∈N*，有，.注意到同理，可得.記，則有因此，.故數(shù)列數(shù)列{anbn}是B-數(shù)列.16．（2018·全國·高三競賽）設(shè)為實(shí)數(shù)，.證明：(1)把寫成無窮乘積有唯一的表達(dá)式其中，為正整數(shù)，滿足；(2)是有理數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)它的無窮乘積具有下列性質(zhì)：存在，對(duì)所有的，滿足【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）用歸納法來構(gòu)造數(shù)列和比滿足對(duì)所有的.取為滿足下列式子的最小的：.因此，對(duì)于每個(gè)，.故.因?yàn)?，，所以?從而，.無窮乘積的唯一性可以由在上述遞推步驟中必須滿足式①得到.事實(shí)上，若對(duì)于某一個(gè)有，則，.于是，就不能收斂于1.注意到，對(duì)于，有.②假設(shè)對(duì)于某些，有，則，矛盾.（2）由式②，知當(dāng)乘積按上述方式終止時(shí)，是有理數(shù).另一方面，設(shè)是